Tải về bản PDFTải về bản PDFBài viết này đã được cùng viết bởi Grace Imson, MA. Grace Imson là giáo viên toán với hơn 40 năm kinh nghiệm giảng dạy. Grace hiện tại là giáo viên dạy toán của Đại học Thành phố San Francisco và trước đây làm việc ở khoa toán của Đại học Saint Louis. Bà đã dạy toán ở cấp tiểu học, trung học cơ sở, trung học phổ thông và đại học. Bà có bằng thạc sĩ về giáo dục của Đại học Saint Louis, chuyên ngành quản lý và giám sát trong giáo dục.
Bài viết này đã được xem 97.585 lần.
Vận tốc được định nghĩa là tốc độ của một vật theo một hướng xác định.[1] Trong nhiều trường hợp, để tìm vận tốc chúng ta sẽ dùng phương trình v = s/t, trong đó v là vận tốc, s là tổng quãng đường dịch chuyển của vật từ vị trí ban đầu, và t là thời gian để vật đi hết quãng đường đó. Tuy nhiên, về lý thuyết công thức này chỉ cho vận tốc trung bình của vật trên quãng đường. Bằng các phép tính chúng ta có thể tính được vận tốc của vật tại thời điểm bất kì trên quãng đường. Đó là vận tốc tức thời và được định nghĩa bởi phương trình v = (ds)/(dt), hoặc nói cách khác, đó là đạo hàm của phương trình tính vận tốc trung bình.[2]
Các bước
Bắt đầu với phương trình tính vận tốc theo khoảng cách dịch chuyển. Để tìm vận tốc tức thời, trước tiên chúng ta phải có phương trình cho biết vị trí của vật (theo khoảng cách dịch chuyển) tại một thời điểm bất kì. Nghĩa là phương trình phải có duy nhất một biến s ở một vế và biến t ở vế còn lại (không nhất thiết chỉ có duy nhất một biến), giống như sau:s = -1.5t2 + 10t + 4
- Trong phương trình này, các biến số là:
- s = khoảng cách dịch chuyển. Khoảng cách vật chuyển động từ vị trí ban đầu. Ví dụ, nếu một vật đi được 10 mét về phía trước và 7 mét về phía sau, tổng khoảng cách dịch chuyển của nó là 10 - 7 = 3 mét (không phải 10 + 7 = 17m).
- t = thời gian. Biến này đơn giản không cần giải thích, thường được tính bằng giây.
- Trong phương trình này, các biến số là:
Lấy đạo hàm của phương trình. Đạo hàm của phương trình là một phương trình khác cho biết độ dốc của quãng đường tại thời điểm cụ thể. Để tìm đạo hàm của phương trình theo khoảng cách dịch chuyển, lấy vi phân của hàm số theo nguyên tắc chung sau để tính đạo hàm: Nếu y = a*xn, Đạo hàm = a*n*xn-1. Nguyên tắc này áp dụng cho mọi số hạng ở phía "t" của phương trình.- Nói một cách khác, bắt đầu lấy vi phân từ trái qua phải ở phía "t" của phương trình. Mỗi khi gặp biến "t", bạn trừ số mũ cho 1 và nhân toàn số hạng cho số mũ ban đầu. Bất kì số hạng hằng số nào (các số hạng không có "t") sẽ biến mất vì chúng được nhân cho 0. Quá trình này thật ra không khó như bạn nghĩ - hãy lấy phương trình trong bước trên làm ví dụ:
s = -1.5t2 + 10t + 4
(2)-1.5t(2-1) + (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
-3t + 10
- Nói một cách khác, bắt đầu lấy vi phân từ trái qua phải ở phía "t" của phương trình. Mỗi khi gặp biến "t", bạn trừ số mũ cho 1 và nhân toàn số hạng cho số mũ ban đầu. Bất kì số hạng hằng số nào (các số hạng không có "t") sẽ biến mất vì chúng được nhân cho 0. Quá trình này thật ra không khó như bạn nghĩ - hãy lấy phương trình trong bước trên làm ví dụ:
Thay "s" bằng "ds/dt". Để thể hiện phương trình mới là đạo hàm của phương bình ban đầu, chúng ta thay "s" bằng ký hiệu "ds/dt". Về lý thuyết, ký hiệu này là "đạo hàm của s theo t". Một cách đơn giản hơn để hiểu ký hiệu này, ds/dt chính là độ dốc của một điểm bất kì trong phương trình ban đầu. Ví dụ, để tìm độ dốc của quãng đường được mô tả bởi phương trình s = -1.5t2 + 10t + 4 tại thời điểm t = 5, chúng ta thay "5" vào t trong đạo hàm của phương trình.- Trong ví dụ trên, đạo hàm của phương trình sẽ như sau:
ds/dt = -3t + 10
- Trong ví dụ trên, đạo hàm của phương trình sẽ như sau:
Thay một giá trị t vào phương trình mới để tìm vận tốc tức thời. Bây giờ chúng ta đã có phương trình đạo hàm, việc tìm vận tốc tức thời tại một thời điểm bất kì rất dễ. Tất cả những gì bạn cần làm là chọn một giá trị t và thay vào phương trình đạo hàm. Ví dụ, nếu muốn tìm vận tốc tức thời tại t = 5, chúng ta chỉ cần thay "5" vào t trong phương trình đạo hàm ds/dt = -3t + 10. Chúng ta sẽ giải phương trình như sau:ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 mét/giây- Lưu ý là chúng ta sử dụng đơn vị "mét/giây" nói trên. Vì chúng ta đang giải bài toán với khoảng cách dịch chuyển theo mét và thời gian theo giây, mà vận tốc chính là khoảng cách dịch chuyển theo thời gian nên đơn vị này là phù hợp.
Quảng cáo
Vẽ đồ thị quãng đường chuyển động của vật theo thời gian. Trong phần trên, chúng ta nói rằng đạo hàm cũng là một công thức mà cho chúng ta tìm độ dốc tại bất kì điểm nào của phương trình được lấy đạo hàm. Thật ra, nếu bạn biểu diễn quãng đường chuyển động của vật trên đồ thị, độ dốc của đồ thị tại một điểm bất kì chính là vận tốc tức thời của vật tại điểm đó.- Để vẽ đồ thị quãng đường chuyển động, bạn sử dụng trục x làm thời gian và trục y làm khoảng cách dịch chuyển. Sau đó bạn xác định một số điểm bằng cách thay các giá trị của t vào phương trình chuyển động, kết quả nhận được là các giá trị s, và bạn chấm các điểm t,s (x,y) trên đồ thị.
- Lưu ý là đồ thị có thể mở rộng xuống dưới trục x. Nếu đường biểu diễn chuyển động của vật đi xuống dưới trục x, điều này có nghĩa vật đó di chuyển thụt lùi so với vị trí ban đầu. Nói chung, đồ thị sẽ không mở rộng về phía sau trục y - chúng ta thường không đo vận tốc của vật thể di chuyển lùi theo thời gian!
Chọn một điểm P và một điểm Q nằm gần điểm P trên đồ thị. Để tìm độ dốc của đồ thị tại điểm P, chúng ta sử dụng kỹ thuật "tìm giới hạn". Tìm giới hạn nghĩa là lấy hai điểm (P và Q (một điểm nằm gần P)) trên đường cong và tìm độ dốc của đường nối hai điểm đó, lặp đi lặp lại quá trình này khi khoảng cách giữa P và Q thu ngắn dần.- Giả sử quãng đường dịch chuyển có các điểm (1;3) và (4;7). Trong trường hợp này, nếu chúng ta muốn tìm độ dốc tại (1;3) thì có thể đặt (1;3) = P và (4;7) = Q.
Tìm độ dốc giữa P và Q. Độ dốc giữa P và Q là độ chênh lệch của các giá trị y cho P và Q trên độ chênh lệch của các giá trị x cho P và Q. Nói một cách khác, H = (yQ - yP)/(xQ - xP), trong đó H là độ dốc giữa hai điểm. Trong ví dụ này, độ dốc giữa P và Q là:H = (yQ - yP)/(xQ - xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1,33
Lặp lại nhiều lần bằng cách di chuyển Q đến gần P hơn. Mục tiêu là làm cho khoảng cách giữa P và Q nhỏ dần đến khi chúng tiến sát thành một điểm duy nhất. Khoảng cách giữa P và Q càng nhỏ thì độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ đó sẽ càng tiến gần đến độ dốc tại điểm P. Lặp lại vài lần cho phương trình ví dụ của chúng ta, sử dụng các điểm (2;4,8), (1,5;3,95) và (1,25;3,49) cho Q và tọa độ ban đầu của P là (1;3):Q = (2;4,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1,8
Q = (1,5;3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1,9
Q = (1,25;3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1,96
Ước lượng độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ trên đường cong đồ thị. Khi Q tiến ngày càng gần hơn đến P, H sẽ dần dần tiến gần hơn đến độ dốc tại P. Cuối cùng, tại một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, H sẽ là độ dốc tại P. Vì chúng ta không thể đo hay tính chiều dài một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, nên chỉ ước lượng độ dốc tại P khi giá trị đó lộ ra rõ từ những điểm chúng ta tính.- Trong ví dụ trên, khi dịch chuyển H tiến gần hơn đến P, chúng ta có các giá trị của H là 1,8; 1,9 và 1,96. Vì những số này đang tiến gần đến 2 nên chúng ta có thể nói 2 là giá trị gần đúng của độ dốc tại P.
- Nhớ rằng độ dốc tại một điểm bất kì trên đồ thị là đạo hàm của phương trình đồ thị tại điểm đó. Vì đồ thị biểu diễn khoảng cách dịch chuyển của vật theo thời gian, như chúng ta thấy trong phần trên, nên vận tốc tức thời của nó tại một điểm bất kì chính là đạo hàm của khoảng cách dịch chuyển của vật đó tại điểm đề cập, chúng ta có thể nói 2 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời khi t = 1.
Quảng cáo
Tìm vận tốc tức thời khi t = 1 với phương trình quãng đường dịch chuyển là s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9. Giống ví dụ trong phần đầu nhưng đây là phương trình bậc 3 thay vì bậc 2, vì vậy chúng ta có thể giải bài toán theo cách tương tự.- Đầu tiên, lấy đạo hàm của phương trình:
s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9
s = (3)5t(3 - 1) - (2)3t(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2 - Sau đó chúng ta thay giá trị của t (4) vào:
s = 15t(2) - 6t + 2
15(4)(2) - 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 mét/giây
- Đầu tiên, lấy đạo hàm của phương trình:
Sử dụng phương pháp ước lượng bằng đồ thị để tìm vận tốc tức thời tại (1;3) cho phương trình quãng đường dịch chuyển s = 4t2 - t. Đối với bài toán này, chúng ta dùng tọa độ (1;3) làm điểm P, nhưng phải tìm các điểm Q khác nằm gần nó. Sau đó, tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm các giá trị H và suy ra giá trị ước lượng.- Đầu tiên, chúng ta tìm các điểm Q khi t = 2; 1,5; 1,1 và 1,01.
s = 4t2 - t
t = 2: s = 4(2)2 - (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, do đó Q = (2;14)
t = 1,5: s = 4(1,5)2 - (1,5)
4(2,25) – 1,5 = 9 – 1,5 = 7,5, do đó Q = (1,5;7,5)
t = 1,1: s = 4(1,1)2 - (1,1)
4(1,21) – 1,1 = 4,84 – 1,1 = 3,74, do đó Q = (1,1;3,74)
t = 1,01: s = 4(1,01)2 - (1,01)
4(1,0201) – 1,01 = 4,0804 – 1,01 = 3,0704, do đó Q = (1,01;3,0704) - Tiếp theo chúng ta sẽ nhận được các giá trị H:
Q = (2;14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) = 11
Q = (1,5;7,5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(0,5) = 9
Q = (1,1;3,74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (0,74)/(0,1) = 7,3
Q = (1,01;3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
H = (0,0704)/(0,01) = 7,04 - Vì các giá trị H dường như tiến gần đến 7, chúng ta có thể nói rằng 7 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời tại tọa độ (1;3).
Quảng cáo- Đầu tiên, chúng ta tìm các điểm Q khi t = 2; 1,5; 1,1 và 1,01.
Lời khuyên
- Để tìm gia tốc (sự thay đổi vận tốc theo thời gian), sử dụng phương pháp trong phần một để lấy đạo hàm của phương trình quãng đường dịch chuyển. Sau đó lấy đạo hàm một lần nữa cho phương trình đạo hàm vừa tìm được. Kết quả là bạn có phương trình tìm gia tốc tại một thời điểm xác định - tất cả những gì bạn phải làm là thay giá trị thời gian vào.
- Phương trình thể hiện mối tương quan giữa Y (khoảng cách dịch chuyển) với X (thời gian) có thể rất đơn giản, như Y = 6x + 3. Trong trường hợp này, độ dốc là hằng số và không cần thiết phải lấy đạo hàm để tính độ dốc, nghĩa là nó tuân theo dạng phương trình cơ bản Y = mx + b cho đồ thị đường thẳng tuyến tính, tức độ dốc bằng 6.
- Quãng đường dịch chuyển cũng giống khoảng cách nhưng có hướng, do đó nó là một đại lượng vectơ, và tốc độ là đại lượng vô hướng. Quãng đường dịch chuyển có thể mang giá trị âm, trong khi khoảng cách chỉ mang giá trị dương.
Tham khảo
Về bài How.com.vn này
Bài viết này đã giúp ích cho bạn?
⚠️ Disclaimer:
Content from Wiki How Tiếng Việt language website. Text is available under the Creative Commons Attribution-Share Alike License; additional terms may apply.
Wiki How does not encourage the violation of any laws, and cannot be responsible for any violations of such laws, should you link to this domain, or use, reproduce, or republish the information contained herein.
- - A few of these subjects are frequently censored by educational, governmental, corporate, parental and other filtering schemes.
- - Some articles may contain names, images, artworks or descriptions of events that some cultures restrict access to
- - Please note: Wiki How does not give you opinion about the law, or advice about medical. If you need specific advice (for example, medical, legal, financial or risk management), please seek a professional who is licensed or knowledgeable in that area.
- - Readers should not judge the importance of topics based on their coverage on Wiki How, nor think a topic is important just because it is the subject of a Wiki article.
