Como Calcular a Velocidade Instantânea

A velocidade é definida como a aceleração de um objeto em determinada direção.^{[1]XFonte de pesquisa} Em muitas situações comuns, usamos a equação v = s/t, onde v é igual à velocidade, s é igual ao deslocamento total do objeto desde o seu ponto de origem e t é igual ao tempo decorrido. Porém, tecnicamente, o resultado da equação representa apenas a velocidade "média" durante o percurso. Com a ajuda do cálculo, é possível encontrar a velocidade do objeto em qualquer instante durante o percurso. Isso se chama "velocidade instantânea", que é definida pela equação v = (ds)/(dt), ou, em outras palavras, a equação da derivada da velocidade média de um objeto.

Parte 1

Parte 1 de 3:

Calcular a velocidade instantânea

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Comece com uma equação para velocidade em termos de deslocamento. Para obter a velocidade instantânea de um objeto, primeiro precisa-se de uma equação que mostra a posição do objeto (em termos de deslocamento) em um certo momento. Isso significa que a equação deve ter a variável s sozinha em um lado e t no outro lado, mas não necessariamente sozinha, assim:
s = -1,5t² + 10t + 4
- Nessa equação, as variáveis são:
  Deslocamento = s . A distância percorrida pelo objeto desde a posição inicial. Por exemplo, se um objeto anda 10 metros para frente e 7 metros para trás, o deslocamento total é 10 - 7 = 3 metros (e não 10 + 7 = 17 metros).
  Tempo = t . Autoexplicativo. Geralmente medido em segundos.
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Calcule a derivada da equação. A derivada de uma equação é apenas uma equação diferente que mostra a sua curva em qualquer ponto no tempo. Para encontrar a derivada da fórmula do deslocamento, diferencie a função com essa regra geral para encontrar derivadas: Se y = a*xⁿ, derivada = a*n*x^n-1. Essa regra é aplicada a cada termo no lado da equação que contém o t.
- Em outras palavras, comece pelo lado da equação com o t, da esquerda à direita. Toda vez que encontrar um t, subtraia 1 do expoente e multiplique todo o termo pelo expoente original. Quaisquer termos constantes (termos que não contêm t) vão desaparecer, já que são multiplicados por 0. Este processo não é tão difícil quanto parece — veja a equação acima derivada como exemplo:
  s = -1,5t² + 10t + 4
  (2)-1,5t^(2-1) + (1)10t^{1 - 1} + (0)4t⁰
  -3t¹ + 10t⁰
  -3t + 10
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Substitua s por ds/dt. Para mostrar que a nova equação é uma derivada da anterior, substitua s com a notação ds/dt. Tecnicamente, a notação significa "a derivada de s a respeito de t". Uma maneira mais simples de entender isso é pensar que ds/dt é apenas a curva de qualquer ponto dado na primeira equação. Por exemplo, para encontrar a curva da linha feita por s = -1,5t² + 10t + 4 em t = 5, apenas atribui-se 5 a t na sua derivada.
- Nesse exemplo, a equação finalizada deve parecer com isso:
  ds/dt = -3t + 10
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Atribua um valor a t na nova equação para encontrar a velocidade instantânea. Após obter a equação derivada, é fácil encontrar a velocidade instantânea em qualquer ponto do tempo. Tudo que você precisa fazer é escolher um valor para t e atribui-lo na equação derivada. Por exemplo, se quiser encontrar a velocidade instantânea com t = 5, apenas substitua t por 5 na derivada ds/dt = -3t + 10. Então, apenas resolva a equação:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 metros/segundo
- Note que foi usada a unidade de medida metros/segundo acima. Já que estamos lidando com deslocamento em termos de metros, tempo em termos de segundo, e a velocidade em geral é apenas deslocamento sobre tempo, a medida é apropriada.
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Parte 2

Parte 2 de 3:

Estimar a velocidade instantânea em um gráfico

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Faça um gráfico do deslocamento do objeto sobre o tempo. Na seção acima, foi mencionado que as derivadas nada mais são do que fórmulas que ajudam a encontrar a curva em qualquer ponto do tempo da equação a qual se refere. Na verdade, ao representar o deslocamento de um objeto com uma linha em um gráfico a curva da linha em determinado ponto é igual à velocidade instantânea do objeto naquele ponto.
- Para fazer o gráfico, use o eixo x para representar o tempo e o eixo y para representar o deslocamento. Então, distribua os pontos atribuindo valores para t na equação de deslocamento, encontrando os valores de s, e marcando t,s (x,y) no gráfico.
- Observe que o gráfico pode se estender abaixo do eixo x. Se a linha que representa o movimento do objeto se estender abaixo do eixo x, isso representa o objeto se movendo para trás de onde iniciou. Geralmente, o gráfico não se estenderá para trás do eixo y — não costuma-se medir a velocidade de objetos que se movem para trás no tempo!
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Escolha um ponto P e um ponto Q perto deste na linha. Para encontrar a curva em um ponto P, usa-se um truque chamado "calcular o limite". Calcular o limite envolve escolher dois pontos (P e Q) na linha curvada e encontrar a curva da linha que liga os dois pontos de novo e de novo, enquanto a distância entre P q Q diminui.
- Digamos que a linha do deslocamento contém os pontos (1,3) e (4,7). Neste caso, se quiser encontrar a curva em (1,3), define-se (1,3) = P e (4,7) = Q.
A curva entre P e Q é a diferença dos valores-y para P e Q sobre a diferença dos valores-x para P e Q. Em outras palavras, H = (y_Q - y_P)/(x_Q - x_P), onde H é a curva entre dois pontos. No exemplo anterior, a curva entre P e Q é:
H = (y_Q - y_P)/(x_Q - x_P)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1,33
O objetivo é diminuir a distância entre Q e P cada vez mais, até que chegue perto de um único ponto. Quanto menor a distância entre Q e P, mais próxima será a curva dos seus pequenos segmentos à curva do ponto P. Vamos fazer isso algumas vezes para a equação de exemplo, usando os pontos (2;4,8), (1,5;3,95) e (1,25;3,49) para Q e o ponto original (1,3) para P:
Q = (2;4,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1,8

Q = (1,5;3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1,9

Q = (1,25;3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1,96
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Faça uma estimativa da curva para um intervalo infinitamente pequeno na linha. À medida em que Q se aproxima de P, H chegará mais perto da curva no ponto P. Eventualmente, em um intervalo infinitamente pequeno, H será igual à curva em P. Como não é possível medir ou calcular esse intervalo, apenas estima-se a curva em P quando ficar claro a partir dos pontos testados.
- No exemplo, ao mover Q mais perto de P, foram obtidos os valores 1,8, 1,9 e 1,96 para H. Já que esses números parecem se aproximar de 2, pode-se dizer que 2 é uma boa estimativa para a curva em P.
- Lembre-se que a curva em determinado ponto de uma linha é igual à derivada da equação da linha naquele ponto. Como a linha mostra o deslocamento do objeto sobre o tempo e, como visto na seção acima, a velocidade instantânea de um objeto é a derivada do seu deslocamento em determinado ponto, também pode-se dizer que 2 metros/segundo é uma boa estimativa para a velocidade instantânea em t = 1.
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Parte 3

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Exemplos de problemas

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Encontre a velocidade instantânea em t = 4, dada a equação de deslocamento s = 5t³ - 3t² + 2t + 9. Este é igual ao exemplo na primeira seção, com a exceção de ser uma equação cúbica em vez de quadrática, então resolve-se da mesma maneira.
- Primeiro, encontra-se a derivada da equação:
  s = 5t³ - 3t² + 2t + 9
  s = (3)5t^{(3 - 1)} - (2)3t^{(2 - 1)} + (1)2t^{(1 - 1) + (0)9t^{0 - 1}
  15t⁽²⁾ - 6t⁽¹⁾ + 2t^{(0)
  15t⁽²⁾ - 6t + 2}}
- Então, atribui-se o valor para t (4):
  s = 15t⁽²⁾ - 6t + 2
  15(4)⁽²⁾ - 6(4) + 2
  15(16) - 6(4) + 2
  240 - 24 + 2 = 218 metros/segundo
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Use uma estimativa gráfica para encontrar a velocidade instantânea em (1,3) para a equação de deslocamento s = 4t² - t. Para esse problema, usa-se (1,3) como o ponto P, mas é necessário encontrar alguns outros pontos próximos para usar como pontos Q. Então, é apenas questão de encontrar os valores H e fazer uma estimativa.
- Primeiro, encontra-se os pontos Q em t = 2, 1,5, 1,1 e 1,01.
  s = 4t² - t
  
  t = 2: s = 4(2)² - (2)
  4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, então Q = (2,14)
  
  t = 1,5: s = 4(1,5)² - (1,5)
  4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, então Q = (1,5;7,5)
  
  t = 1,1: s = 4(1,1)² - (1,1)
  4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, então Q = (1,1;3,74)
  
  t = 1,01: s = 4(1,01)² - (1,01)
  4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, então Q = (1,01;3,0704)
- Depois, encontra-se os valores H:
  Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
  H = (11)/(1) = 11
  
  Q = (1,5;7,5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
  H = (4,5)/(0,5) = 9
  
  Q = (1,1;3,74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
  H = (0,74)/(0,1) = 7,3
  
  Q = (1,01;3,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
  H = (0,0704)/(0,01) = 7,04
- Como os valores de H parecem se aproximar de 7, pode-se dizer que 7 metros/segundo é uma boa estimativa para a velocidade instantânea em (1,3).
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Dicas

Para encontrar a aceleração (alteração de velocidade sobre tempo), use o método na parte um para obter uma equação derivada para a função de deslocamento. Então, obtenha outra derivada, desta vez da equação derivada. Assim você terá uma equação para encontrar a aceleração em determinado tempo — tudo que precisa fazer é atribuir um valor para o tempo.
A equação que relaciona Y (deslocamento) a X (tempo) pode ser bastante simples, por exemplo, Y = 6x + 3. Nesse caso, a curva é constante e não é necessário encontrar uma derivada para obter a curva, que é, seguindo o modelo básico Y = mx + b para gráficos lineares, 6.
O deslocamento é parecido com a distância mas tem uma direção definida, o que faz do deslocamento vetorial e da aceleração escalar. O deslocamento pode ser negativo e a distância apenas positiva.