Comment calculer la vitesse instantanée

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Calculer une vitesse instantanée

Évaluer graphiquement une vitesse instantanée

Problèmes types

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Références

La vitesse est une grandeur associée au mouvement de tout système, elle indique avec quelle rapidité sa position spatiale varie . Dans de nombreux cas courants, la vitesse est donnée par la formule $V={\frac {d}{t}}$, $V$ étant la vitesse, $d$ la distance parcourue par l'objet et $t$ le temps de parcours. Cette formule, intéressante par ailleurs, ne donne que la vitesse moyenne, mais ne permet pas de savoir la vitesse de l'objet à un moment particulier, ce que l'on appelle la vitesse instantanée. Cette dernière peut cependant être connue grâce à la formule $V={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$. Autrement dit, il s'agit de calculer la dérivée de l'équation de la vitesse moyenne de l'objet.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer une vitesse instantanée

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   Partez de la bonne équation. Ici, nous allons partir d'une fonction $x(t)$ qui donne la position $x$ d'un objet en fonction du temps $t$. Pour calculer la vitesse instantanée de cet objet à un temps $t$ particulier, vous devrez d'abord avoir l'équation qui vous donne sa position en fonction du temps, sous la forme d'une distance parcourue. Autrement dit, la variable $x(t)$ doit être isolée dans un membre de l'équation et la variable $t$ dans l'autre membre, mais cette dernière ne doit pas être obligatoirement seule. Par exemple :
   

   $x(t)=-1,5t^{2}+10t+4$

   • Voici les variables de cette équation :

     - $x$ est la position de l'objet par rapport à son point de départ ($x_{0}$ ). Ainsi, si un objet parcourt 10 m vers l'avant ($x_{1}=+10$), puis 7 mètres vers l'arrière ($x_{2}=-7$), le déplacement total ($\Delta x$) est de 3 m
     ($\Delta x=x_{0}+x_{1}+x_{2}=0+10-7=3\ m)$.

     - $t$ est le temps, rien de spécial à dire, sinon que généralement, le temps est mesuré en secondes.
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   Calculez la dérivée. La dérivée d'une équation est une équation qui permet de trouver la pente du graphe de la première équation en un point donné. L'équation d'une dérivée (dans ce cas-là seulement !) est facile à établir à condition de respecter le principe suivant : « si $y=ax^{n}$, alors sa dérivée ($y^{\prime }$) est
   $y^{\prime }=nax^{n-1}$ ». Cette règle s'applique à chaque terme de l'équation qui contient la variable et la constante disparait.

   • À gauche, $x(t)$ devient $x^{\prime }(t)$. À droite, chaque fois que vous rencontrez un terme en $t$, enlevez 1 de l'exposant et multipliez le terme par l'exposant initial. Les termes constants, c'est-à-dire ceux qui ne contiennent pas la variable $t$, disparaissent. Essayez de trouver la dérivée de notre équation !
     

     $x(t)=-1,5t^{2}+10t+4$
     $x^{\prime }(t)=(2)(-1,5)t^{(2-1)}+(1)10t^{(1-1)}+{\cancel {4}}$
     $x^{\prime }(t)=-3t^{1}+10t^{0}$
     $x^{\prime }(t)=-3t+10$
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   Remplacez $$ x ′ ( t ) {\displaystyle x^{\prime }(t)} par $$ v ( t ) {\displaystyle v(t)} . Précisons que $v={\frac {dx}{dt}}$. Pratiquement, cette notation signifie « la dérivée de $x$ par rapport à $t$ ». En fait, ${\frac {dx}{dt}}$ n'est que la pente du graphe qui donne $x$ en fonction de $t$ pour n'importe quel point de cette courbe. Par exemple, pour trouver la pente de la droite d'équation
   $x(t)=-1,5t^{2}+10t+4$ pour $t=5$, il suffit de remplacer $t$ par 5 dans l'équation dérivée.

   • Dans l'exemple en question, l'équation finale devient :
     

     $v(t)={\frac {dx}{dt}}=-3t+10$
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   Trouvez la vitesse instantanée en remplaçant $$ t {\displaystyle t} par sa valeur . À présent que vous avez la dérivée, il devient aisé de calculer la vitesse instantanée à n'importe quel instant. Il vous suffit de choisir une valeur pour $t$ et de remplacer $t$ par cette valeur dans l'équation de la dérivée. Pour trouver la vitesse instantanée au temps $t=5$, remplacez $t$ par 5 dans la dérivée $v(t)=-3t+10$. Ensuite, il suffit de faire le calcul de la manière suivante :
   

   $v(t)=-3t+10$
   $v(5)=-3(5)+10$
   $v(5)=-15+10=-5m/s$

   • Remarquez que vous avez employé ci-dessus l'unité m/s (mètre/seconde). Cette unité est correcte, car la vitesse correspond à la distance parcourue par unité de temps et que dans la formule, la distance est exprimée en mètres et le temps est exprimé en secondes. Une vitesse négative correspond à un déplacement en sens inverse du sens d'orientation de l'axe de déplacement.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Évaluer graphiquement une vitesse instantanée

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   Tracez la courbe du déplacement en fonction du temps. Dans la section précédente, nous avons indiqué que la dérivée d'une fonction permettait de trouver la pente en tout point du graphe de la fonction en question . En fait, si vous portez sur un graphique la courbe qui donne la distance parcourue par un objet, la pente en tout point de cette courbe est égale à la vitesse instantanée de l'objet en ce point.

   • Pour faire ce tracé, servez-vous de l'axe des $x$ pour représenter le temps et de l'axe des $y$ pour représenter la position de l'objet par rapport à sa position d'origine. Par la suite, il vous suffit de tracer les points du graphe sur le graphique. D'abord, vous devez déterminer les coordonnées $t$ et $x(t)$ (xy) de ces points, en calculant les valeurs de $x(t)$ qui correspondent à un certain nombre de valeurs de $t$. Ensuite, vous tracez sur le graphique les points qui correspondent à ces coordonnées.
   • Si la courbe peut passer sous l'axe des abscisses, c'est que le système en mouvement s'est déplacé dans la direction inverse de la direction initiale. Par contre, comme il n'est pas possible d'avoir un mouvement vers le passé, la courbe ne peut franchir l'axe des ordonnées.
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   Choisissez deux points $$ P {\displaystyle P} et $$ Q {\displaystyle Q} situés sur la courbe. Ils devront être proches l'un de l'autre. Pour trouver la pente $m$ au point $P$, vous utiliserez une méthode qui consiste à calculer une limite . Cela veut dire qu'il faut prendre deux points du graphe, $P$ et $Q$, proches l'un de l'autre, et trouver la pente du graphe sur cet intervalle rapproché, le but étant, pour avoir une vitesse instantanée, d'avoir la distance la plus faible possible (tendant vers 0) entre les points $P$ et $Q$.

   • Prenez deux points ($P$ et $Q$) sur la courbe, le premier de coordonnées (1,3) et le second de coordonnées (4,7). Nous nous donnons comme tâche de trouver la pente au point de coordonnées $P$.
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   Calculez la pente entre $$ P {\displaystyle P} et $$ Q {\displaystyle Q} . Cette pente correspond au rapport entre la différence des ordonnées des points $P$ et $Q$ et la différence entre les abscisses de ces deux points. Autrement dit, $m={\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}$, où $m$ représente la pente du graphe entre les points considérés. Dans votre exemple, la pente entre $P$ et $Q$ est calculée de la manière suivante :
   

   $m={\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}$
   $m={\frac {7-3}{4-1}}$
   $m={\frac {4}{3}}\approx {1,33}$
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   Répétez l'opération plusieurs fois en rapprochant $$ Q {\displaystyle Q} de $$ P {\displaystyle P} . Votre objectif consiste à réduire au maximum la distance entre ces deux points pour atteindre un point unique. Quand la distance entre $P$ et $Q$ sera infiniment réduite (tendant vers 0), la pente du segment $PQ$ sera proche de celle du graphe au point $P$. Faites l'opération plusieurs fois, en rapprochant $Q$ de $P$ avec les coordonnées de $Q$ suivantes :${\begin{pmatrix}2\\4,8\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1,5\\3,95\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}1,25\\3,49\end{pmatrix}}$, et en gardant le point $P$ (1,3) inchangé.
   

   $Q{\begin{pmatrix}2\\4,8\end{pmatrix}}:m={\frac {4,8-3}{2-1}}=1,8$
   
   $Q{\begin{pmatrix}1,5\\3,95\end{pmatrix}}:m={\frac {3,95-3}{1,5-1}}=1,9$
   
   $Q{\begin{pmatrix}1,25\\3,49\end{pmatrix}}:m={\frac {3,49-3}{1,25-1}}=1,96$
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   Estimez la pente sur un intervalle tendant vers 0. Au fur et à mesure que $Q$ se rapproche de $P$, la valeur de $m$ tend vers la pente du graphe au point $P$ et lorsque la distance deviendra infiniment petite, $m$ sera égal à la pente du graphe en $P$. N'ayant pas les moyens de calculer ou de mesurer la longueur d'un segment infiniment petit, vous allez estimer la pente au point $P$ à partir des calculs que vous avez faits précédemment.

   • Dans cet exemple, en rapprochant $Q$ de $P$ le plus possible, vous avez obtenu pour $m$ les valeurs 1,8, 1,9 et 1,96. Puisque ces chiffres semblent tendre vers 2, vous pouvez conclure que 2 représente une bonne estimation de la pente du graphe au point $P$.
   • N'oubliez pas que la pente d'une courbe en un point donné est égale à la dérivée de l'équation du graphe en ce point. En effet, la courbe représente la distance parcourue par l'objet en fonction du temps. D'autre part, il a été établi précédemment que la vitesse instantanée d'un objet est égale à la dérivée de l'équation du déplacement en un point donné. Par conséquent, vous pouvez en déduire que 2 m/s est une bonne estimation de la vitesse instantanée de l'objet à l'instant $t=1$.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Problèmes types

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   Résolvez ce premier problème. Calculez la vitesse instantanée d'un objet à l'instant $t=4$, sachant que la position de l'objet est donnée par l'équation :
   $x(t)=5t^{3}-3t^{2}+2t+9$. La méthode de résolution est analogue à celle de l'exemple de la première partie, sauf que l'équation est du troisième degré au lieu du second.

   • D'abord, calculez la dérivée de cette équation :
     

     $x(t)=5t^{3}-3t^{2}+2t+9$
     $x^{\prime }(t)=(3)5t^{(3-1)}-(2)3t^{(2-1)}+(1)2t^{(1-1)}+{\cancel {9}}$
     $x^{\prime }(t)=15t^{2}-6t^{1}+2t^{0}$
     $x^{\prime }(t)=15t^{2}-6t+2$

   • Ensuite, remplacez $t$ par 4 :
     

     $x^{\prime }(t)=v(t)=15t^{2}-6t+2$
     $v(4)=15(4)^{2}-6(4)+2$
     $v(4)=15(16)-6(4)+2$
     $v(4)=240-24+2=218\ m/s$
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   Résolvez ce second problème. Trouvez la vitesse instantanée au point $P$ de coordonnées (1,3) pour l'équation du déplacement : $v(t)=4t^{2}-t$. Dans la résolution, ce premier point sera votre point $P$, mais vous devrez définir d'autres points proches de $P$ qui seront votre point $Q$. Il ne restera plus qu'à trouver les valeurs de $m$ et de faire une estimation.

   • Calculez les coordonnées du point $Q$ pour $t=2$, $t=1,5$, $t=1,1$ et
     $t=1,01$.
     

     $v(t)=y=4t^{2}-t$
     
     À $t=2$ : $y=4(2)^{2}-2$
     $y=4(4)-2=14$. Donc, $Q{\begin{pmatrix}2\\14\end{pmatrix}}$
     
     À $t=1,5$ : $y=4(1,5)^{2}-1,5$
     $y=4(2,25)-1,5=7,5$. Donc, $Q{\begin{pmatrix}1,5\\7,5\end{pmatrix}}$
     
     À $t=1,1$ : $s=4(1,1)^{2}-1,1$
     $y=4(1,21)-1,1=3,74$. Donc, $Q{\begin{pmatrix}1,1\\3,74\end{pmatrix}}$
     
     À $t=1,01$ : $Y=4(1,01)^{2}-1,01=3,0704$. Donc, $Q{\begin{pmatrix}1,01\\3,0704\end{pmatrix}}$

   • Calculez ensuite les valeurs de $m$ :
     

     $Q{\begin{pmatrix}2\\14\end{pmatrix}}$ : $m=(14-3)/(2-1)$
     $m=(11)/(1)=11$
     
     $Q{\begin{pmatrix}1,5\\7,5\end{pmatrix}}$ $m=(7,5-3)/(1,5-1)$
     $m=(4,5)/(0,5)=9$
     
     $Q{\begin{pmatrix}1,1\\3,74\end{pmatrix}}$ : $m=(3,74-3)/(1,1-1)$
     $m=(0,74)/(0,1)=7,4$
     
     $Q{\begin{pmatrix}1,01\\3,0704\end{pmatrix}}$ : $m=(3,0704-3)/(1,01-1)$
     $m=(0,0704)/(0,01)=7,04$

   • Étant donné que les valeurs de $m$ sont très voisines de 7, vous pouvez en déduire que 7 m/s est une bonne estimation de la vitesse instantanée au point (1,3).
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Conseils

• Pour trouver l'accélération, c'est-à-dire la variation de la vitesse en fonction du temps, utilisez la méthode décrite dans la première partie afin de calculer la dérivée de l'équation qui donne le déplacement en fonction du temps. Ensuite, calculez la dérivée de l'équation dérivée que vous avez déterminée précédemment. Ainsi, vous obtiendrez une équation qui vous servira à déterminer l'accélération à un instant donné, en remplaçant $t$ par sa valeur.
• L'équation qui existe entre $Y$ (distance) et $X$ (temps) peut être très simple, comme
  $Y=6x+3$. Dans ce cas, la pente est une constante et il n'est pas nécessaire de calculer la dérivée. Dans cet exemple, l'équation est de la forme $Y=mx+b$ et elle représente une droite. Donc, la pente ou le coefficient directeur est égal à 6.
• Le déplacement est analogue à la distance, mais il a une orientation. Par conséquent, le déplacement est un vecteur, mais la distance est un scalaire. Le déplacement peut être négatif, alors que la distance sera toujours positive.

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