Kwadraatafsplitsen leren

Pdf downloaden

Pdf downloaden

In dit artikel:

Stappen

Tips en waarschuwingen

Gerelateerde artikelen

Een van de belangrijkste vaardigheden voor wiskundeleerlingen is de abc-formule, ofwel $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ Met de abc-formule wordt het oplossen van een tweedegraadsvergelijking van de vorm $ax^{2}+bx+c=0$ een eenvoudige zaak van het substitueren van de coëfficiënten $a,b,c$ in de formule. Hoewel het eenvoudigweg kennen van de formule vaak genoeg is voor velen, is het begrijpen hoe het wordt afgeleid (met andere woorden: waar het vandaan komt) iets totaal anders. De formule wordt afgeleid via 'kwadraatafsplitsen' welke ook nog andere toepassingen heeft binnen de wiskunde, en dus is het verstandig dat je er bekend mee bent.

Stappen

Pdf downloaden

1. 1
   Begin met de standaardvorm van een algemene tweedegraadsvergelijking. Hoewel elke vergelijking met een term als $x^{2}$ erin, kwadratisch is, stelt de standaardvorm alles op nul. Onthoud dat $a,b,c$ coëfficiënten zijn die elk geheel getal kunnen zijn, dus mag je nu geen getallen invullen voor de variabelen - we willen werken met de algemene vorm.

   • $ax^{2}+bx+c=0$
   • De enige voorwaarde is dat $a\neq 0$, omdat anders de vergelijking wordt vereenvoudigd tot een lineaire vergelijking. Ga na of je algemene oplossingen kunt vinden voor speciale gevallen waarbij $b=0$ en $c=0$.
2. 2
   Trek $$ c {\displaystyle c} af van beide zijden. Ons doel is het isoleren van $x$. We beginnen door het verplaatsen van een van de coëfficiënten naar de andere kant, zodat de linkerkant alleen nog maar bestaat uit termen met $x$.

   • $ax^{2}+bx=-c$
3. 3
   Deel beide zijden door $$ a {\displaystyle a} . Merk op dat we deze hadden kunnen omwisselen in de vorige stap, en toch op hetzelfde antwoord waren uitgekomen. Vergeet niet dat het delen van een polynoom door iets inhoudt dat je elk van de afzonderlijke termen deelt. Hierdoor wordt het gemakkelijker om het kwadraat af te splitsen.

   • $x^{2}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$
4. 4
   Splits het kwadraat af. Vergeet niet dat het doel is om een expressie $x^{2}+2\Box x+\Box ^{2}$ te herschrijven als $(x+\Box )^{2},$ waarbij $\Box$ een coëfficiënt is. Dit is wellicht niet meteen duidelijk voor je. Om het duidelijker te maken, herschrijf je ${\frac {b}{a}}x$ als $2{\frac {b}{2a}}x$ door het vermenigvuldigen van de term met ${\frac {2}{2}}.$ We kunnen dit doen, omdat het vermenigvuldigen met 1 niets verandert. We kunnen nu in ons geval duidelijk zien dat $\Box ={\frac {b}{2a}},$, dus ontbreekt er alleen nog de term $\Box ^{2}$. Aldus, om het kwadraat af te kunnen splitsen, tellen we die op aan beide zijden - namelijk, $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.$ En daarna kunnen we uiteraard ontbinden in factoren.

   • ${\begin{aligned}x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\end{aligned}}$
   • Het is hierbij duidelijk waarom $a\neq 0$, omdat $a$ in de noemer staat en je niet door nul kunt delen.
   • Als het nodig is, dan kun je de linkerkant uitbreiden om er zeker van te zijn dat het kwadraatafsplitsen werkt.
5. 5
   Schrijf de rechterkant onder een gemene deler. We willen hierbij dat beide noemers $4a^{2}$ zijn, dus vermenigvuldig de term ${\frac {-c}{a}}$ met ${\frac {4a}{4a}}$.

   • ${\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}\\&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\end{aligned}}$
6. 6
   Bereken de vierkantswortel van beide zijden. Het is echter essentieel dat je begrijpt dat door dit te doen, je in wezen twee stappen uitvoert. Wanneer je de vierkantswortel neemt van $d^{2}$, dan krijg je $d$ niet. Je krijgt in feite de absolute waarde ervan, $|d|$. Deze absolute waarde is essentieel om beide wortels te krijgen – het eenvoudigweg boven beide zijden plaatsen van vierkantswortels, levert alleen maar een van de wortels op.

   • $\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$
   • Nu kunnen we afkomen van de absolute waardentekens, door $\pm$ aan de rechterkant te plaatsen. We kunnen dit doen omdat de absolute waarde geen onderscheid maakt tussen positieve en negatieve getallen, en ze dus beide geldig zijn. Dit detail is de reden waarom de tweedegraadsvergelijking het mogelijk maakt om twee wortels als resultaat te krijgen.
     • $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$
   • Laten we deze expressie wat meer vereenvoudigen. Omdat de vierkantwortel van een quotiënt het quotiënt is van de vierkantswortels, kunnen we de rechterzijde schrijven als ${\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{\sqrt {4a^{2}}}}.$ Vervolgens kunnen we de vierkantswortel nemen van de noemer.
     • $x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
7. 7
   Isoleer $$ x {\displaystyle x} door het aftrekken van $$ b 2 a {\displaystyle {\frac {b}{2a}}} aan beide zijden.

   • $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
8. 8
   Schrijf de rechterzijde onder een gemene deler. Dit is niet zoals bij de abc-formule, de formule voor het oplossen van een tweedegraadsvergelijking in standaardvorm. Dit werkt voor elke $a,b,c$ en geeft $x$ als resultaat, welke een reëel of complex getal kan zijn. Om te controleren of dit proces werkt, volg je gewoon de stappen in dit artikel in omgekeerde volgorde, om terug te keren naar de standaardvorm.

   • $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
   Advertentie

Tips

• Het is interessant om op te merken dat de abc-formule ook opgaat voor complexe coëfficiënten, hoewel je daarbij wat meer moet vereenvoudigen om het eindantwoord te krijgen, en de wortels zijn geen geconjugeerde paren. Opgaven met kwadratische uitdrukkingen worden nochtans bijna altijd gegeven met reële coëfficiënten.

Advertentie