Cara Menurunkan Rumus Persamaan Kuadrat

Unduh PDF

Unduh PDF

Dalam Artikel Ini:

Langkah

Tip dan Peringatan

Artikel Terkait

Salah satu keterampilan penting dalam matematika yang digunakan semua murid kelas aljabar adalah rumus persamaan kuadrat, atau $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ Menggunakan rumus ini, persamaan kuadrat yang berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$ dapat diselesaikan cukup dengan memasukkan koefisien $a,b,c$ ke dalam rumus. Walaupun biasanya Anda cukup mengetahui rumus kuadrat saja, “memahami” cara rumus diturunkan (dengan kata lain, asal mula rumus tersebut) adalah hal yang sama sekali lain. Rumus diturunkan dengan “melengkapkan kuadrat” yang sebaiknya turut dipelajari karena juga digunakan dalam banyak operasional matematika lain

Langkah

Unduh PDF

1. 1
   Awali dengan bentuk standar persamaan kuadrat. Walaupun semua persamaan yang memiliki suku $x^{2}$ memenuhi syarat sebagai persamaan kuadrat, bentuk standarnya adalah persamaan sama dengan nol. Jangan lupa bahwa $a,b,c$ merupakan koefisien dan dapat berupa bilangan riil sehingga tidak tidak bisa digantikan dengan sembarang angka. Berikut adalah bentuk standar persamaan kuadrat.

   • $ax^{2}+bx+c=0$
   • Satu-satunya kondisi adalah $a\neq 0,$ karena kalau tidak, persamaan akan menjadi persamaan linear. Coba lihat apakah soal memiliki kasus khusus, yaitu $b=0$ dan $c=0.$
2. 2
   Kurangkan $$ c {\displaystyle c} dari kedua sisi. Tujuan kita adalah menyendirikan/mengisolasi $x.$ Awali dengan memindahkan satu koefisien ke sisi lain sehingga sisi kiri persamaan hanya memiliki suku dengan variabel $x$.

   • $ax^{2}+bx=-c$
3. 3
   Bagi kedua sisi persamaan dengan $$ a {\displaystyle a} . Ketahui bahwa tahap ini dan tahap sebelumnya dapat bertukar urutan, dan hasilnya akan sama saja. Jangan lupa bahwa membagi polinomial (suku banyak) berarti Anda membagi setiap suku di dalam persamaan. Dengan demikian, suku kuadrat lebih mudah diselesaikan.

   • $x^{2}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$
4. 4
   Lengkapkan kuadrat. Tujuan kita adalah menulis ulang $x^{2}+2\Box x+\Box ^{2}$ sebagai$(x+\Box )^{2},$ dan $\Box$ adalah koefisien apa saja. Mungkin Anda masih ragu bahwa kita bisa melakukannya. Supaya lebih jelas, tulis ulang ${\frac {b}{a}}x$ sebagai$2{\frac {b}{2a}}x$ dengan mengalikan suku dengan ${\frac {2}{2}}.$ Kita dapat melakukannya karena bilangan yang dikali 1 nilainya tidak berubah. Sekarang, kita dapat melihat soal dengan jelas $\Box ={\frac {b}{2a}},$ sehingga suku yang kurang hanyalah $\Box ^{2}$. Oleh karenanya, untuk dapat menyelesaikan persamaan kuadrat, kita menambahkannya ke kedua sisi persamaan, seperti $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.$ Lalu, kita memfaktorkan persamaan.

   • ${\begin{aligned}x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\end{aligned}}$
   • Di sini, jelas kenapa $a\neq 0,$ karena $a$ berada di dalam penyebut dan Anda tidak bisa membaginya dengan 0.
   • Kalau perlu, Anda bisa mengembangkan sisi kiri untuk memastikan sudah melengkapkan kuadrat dengan benar.
5. 5
   Tuliskan sisi kanan persamaan di bawah penyebut yang sama. Di sini, kedua penyebut diubah menjadi $4a^{2},$ dengan mengalikan suku ${\frac {-c}{a}}$ dengan ${\frac {4a}{4a}}.$

   • ${\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}\\&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\end{aligned}}$
6. 6
   Ambil akar kuadrat di kedua sisi persamaan. Namun, Anda harus mengetahui bahwa proses ini sebenarnya terdiri dari dua langkah. Ketika Anda mengambil akar kuadrat $d^{2},$ hasil yang diperoleh bukan $d.$ melainkan nilai absolutnya, $|d|.$ Nilai absolut ini penting dalam memperoleh kedua akar. Anda hanya mendapatkan salah satu akar jika meletakkan akar kuadrat di kedua sisi persamaan.

   • $\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$
   • Sekarang, kita bisa menyingkirkan garis nilai absolut dengan meletakkan $\pm$ di sisi kanan persamaan. Hal ini dapat dilakukan karena nilai absolut tidak dibedakan positif dan negatifnya sehingga keduanya bisa dipakai. Inilah sebabnya persamaan kuadrat memungkinkan kita memperoleh dua akar.
     • $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$
   • Mari sederhanakan persamaan ini lebih lanjut. Oleh karena akar kuadrat sebuah kuosien (bilangan hasil bagi) adalah kuosien akar kuadrat, sisi kanan persamaan dapat ditulis sebagai berikut ${\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{\sqrt {4a^{2}}}}.$ Setelah itu, kita bisa mengambil akar kuadrat penyebut.
     • $x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
7. 7
   Isolasikan $$ x {\displaystyle x} dengan mengurangi $$ b 2 a {\displaystyle {\frac {b}{2a}}} dari kedua sisi persamaan.

   • $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
8. 8
   Tuliskan sisi kanan di bawah penyebut yang sama. Langkah ini menyudahi rumus persamaan kuadrat, rumus yang menyelesaikan semua persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk. Rumus ini bisa digunakan untuk semua $a,b,c$ dan menghasilkan $x$ yang merupakan bilangan asli atau kompleks. Untuk mengecek hasil kerja Anda, cukup ikuti langkah-langkah artikel ini secara terbalik untuk memperoleh bentuk standarnya.

   • $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
   Iklan

Tips

• Perlu diketahui bahwa rumus kuadrat juga mampu menyelesaikan persamaan dengan koefisien kompleks, walaupun Anda perlu menyederhanakan hasil akhirnya, dan akarnya tidak lagi berupa pasangan konjugasi. Soal dengan ekspresi kuadrat hampir selalu diberikan dengan koefisien bilangan asli.

Iklan