이차방정식의 꼭짓점 구하는 방법

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꼭짓점 공식으로 구하기

완전제곱식으로 구하기

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출처

이차방정식의 꼭짓점은 이차방정식을 그래프로 그렸을 때 나타나는 포물선의 가장 높거나 가장 낮은 지점을 의미한다. 또한 포물선은 꼭짓점을 중심축으로 했을 때 대칭, 즉 중심축의 왼쪽과 오른쪽의 그래프가 거울상을 이루기 때문에 이차방정식의 꼭짓점을 찾는 것은 아주 중요하다고 할 수 있다. 그렇다면 어떤 방법으로 구할 수 있을까? 이 글을 통해 꼭짓점 공식과 완전제곱식의 두 가지 방법을 배워보도록 하자.

단계

방법 1

방법 1 의 2:

꼭짓점 공식으로 구하기

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1. 
   1
   먼저 이차방정식을 일반형으로 바꿔 각 계수의 값 a,b,c를 구하자. $x^{2}$의 계수 = a, $x$의 계수 = b, 상수항 = c이다. 위 그림을 예로 들어 우리에게 주어진 식을 '$y=x^{2}+9x+18$라고 하자. 이 경우, $a$ = 1, $b$ = 9, $c$ = 18임을 알 수 있다.
2. 
   2
   공식을 이용해 꼭짓점의 x값 구하기. 꼭짓점은 대칭축을 형성하는 점이다. 이차방정식의 꼭짓점의 x값을 구하는 공식은 $x={\frac {-b}{2a}}$이므로 좀 전에 구한 값을 대입해 x를 구한다. a와 b에 값을 대입하되 과정을 쓰는 것을 잊지 않도록 한다:

   • $x={\frac {-b}{2a}}$
   • $x={\frac {-(9)}{(2)(1)}}$
   • $x={\frac {-9}{2}}$
3. 
   3
   x값을 이차방정식에 대입하기. 이제 y값을 구하기 위해 x값을 주어진 이차방정식에 대입하자. 따라서 꼭짓점 공식을 y값까지 포함시켜 써보자면 $(x,y)=\left[({\frac {-b}{2a}}),f({\frac {-b}{2a}})\right]$와 같은 형태로 나타날 것이다. 즉, y값을 구하기 위해서는 공식을 사용해 먼저 꼭짓점의 $x$값을 찾아야 한다. 아래에 과정을 적어놓았으니 참고하도록 한다:

   • $y=x^{2}+9x+18$
   • $y={\frac {(-9)}{(2)}}^{2}+9{\frac {(-9)}{(2)}}+18$
   • $y={\frac {81}{4}}-{\frac {81}{2}}+18$
   • $y={\frac {81}{4}}-{\frac {162}{4}}+{\frac {72}{4}}$
   • $y={\frac {(81-162+72)}{4}}$
   • $y={\frac {-9}{4}}$
4. 
   4
   $$ x {\displaystyle x} 값과 $$ y {\displaystyle y} 값을 순서쌍 형태로 적기. 이제$x={\frac {-9}{2}}$, $y={\frac {-9}{4}}$와 같이 꼭짓점의 좌표를 구했으니 순서쌍의 형태로 쓰기만 하면 끝난다. 즉, $({\frac {-9}{2}},{\frac {-9}{4}})$ 처럼 쓰면 된다. 우리가 계산한 이차방정식의 꼭짓점은$({\frac {-9}{2}},{\frac {-9}{4}})$이며, 만약 포물선 그래프를 그리고 싶다면 방금 구한 꼭짓점이 최소값을 지닌 점이 될 것이다. $x^{2}$은 무조건 양수이기 때문에 꼭짓점이 최대값으로 나오지 않을 것이다.
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방법 2

방법 2 의 2:

완전제곱식으로 구하기

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1. 
   1
   이차방정식 일반형으로 정리하기. 주어진 식을 완전제곱꼴로 바꾸는 것 역시 이차방정식의 꼭짓점을 구하는 방법이다. 이 방법을 사용하면 완전제곱식을 만들었을 때 곧바로 꼭짓점의 x 및 y좌표를 알 수 있을 것이다. 완전제곱식으로 바꾸는 것이 어려울 수는 있지만 x좌표를 먼저 구해서 함수에 대입해 y좌표를 구하는 번거로운 계산을 할 필요가 없다는 이점이 있다. 이번에는 다음 식이 주어졌다고 가정하고 완전제곱식을 만들어보자:$x^{2}+4x+1=0$.
2. 
   2
   양변을 $$ x 2 {\displaystyle x^{2}} 의 계수로 나누기. 이 식에서$x^{2}$의 계수는 1이기 때문에 이 과정을 건너뛰어도 상관없다. 1로 양변을 나눠도 똑같기 때문이다. 하지만 양변을 0으로 나눠야한다면 모든 것이 바뀔 것이다.
3. 
   3
   상수항을 우변으로 넘기기. 상수항은 계수가 없는 항이며 위 식에서는 1에 해당한다. 이제 이 값을 우변으로 넘기도록 한다. 넘기는 방법은 양변에서 1을 빼는 방식으로 한다.

   • $x^{2}+4x+1=0$
   • $x^{2}+4x+1-1=0-1$
   • $x^{2}+4x=-1$
4. 
   4
   좌변을 완전제곱식으로 바꾸기. $({\frac {b}{2}})^{2}$를 찾은 후 그 결과를 양변에 더해주어야 한다. 식을 보면 $4x$가 b이기 때문에 $b$에 4를 넣는다.

   • $({\frac {4}{2}})^{2}=2^{2}=4$. 이제 4를 양변에 더해준다:
     • $x^{2}+4x+4=-1+4$
     • $x^{2}+4x+4=3$
5. 
   5
   좌변을 제곱식으로 바꾸기. 이제 좌변의$x^{2}+4x+4$가 완전제곱식임을 알 수 있을 것이다. 그리고 이 식은 $(x+2)^{2}=3$과 동일하다.
6. 
   6
   이 형식을 통해 $$ x {\displaystyle x} 와 $$ y {\displaystyle y} 좌표 구하기. 이제 $(x+2)^{2}$ = 0으로 놓고 $x$ 좌표를 구하면 된다. 이 식에서 좌변을 $(x+2)^{2}=0$으로 만들기 위해서는 $x$의 값이 무엇이 되어야 할까? 정답은 -2이다. -2를 +2에 더하면 0이 될 것이고 따라서 좌변은 0이 될 것이다. 그러면 y좌표는 무엇일까? y좌표는 더 쉽게 구할 수 있다. 단순히 원래 식의 우변 값을 적으면 된다. 우리가 구한 식의 우변은 3이므로$y=3$이 된다. 만약 x값을 더 빠르게 구하고 싶으면 제곱식 안에 있는 상수에 -1을 곱하기만 하면 된다. 결론적으로 이 식의 꼭짓점은$x^{2}+4x+1=(-2,-3)$가 됨을 알 수 있다.
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팁

• a, b, c의 값을 정확히 쓰도록 하자.
• 항상 과정을 쓰도록 하자. 과정을 쓰는 것은 스스로 문제를 풀면서 검산을 하는 것과 같다. 게다가채점하는 사람 입장에서도 당신이 어떻게 답을 유도했는지 쉽게 확인할 수 있다.
• 이 글에서 설명한 공식과 방법을 제대로 적용시켰다면 무조건 정답을 얻을 것이다.

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경고

• 과정을 보이고 검산하자!
• a,b,c의 값이 각각 어떤 것인지 정확히 알고 적는 것이 중요하다. 만약 모른다면 오답을 얻을 수도 있다.
• 이 방법들은 연습이 필요하니 답을 구하지 못했다고 스트레스받지 말아라.

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필요한 것

• 컴퓨터의 그래프 툴 혹은 그래프를 그릴 수 있는 공책.
• 계산기