كيفية الوصول إلى رأس المعادلة التربيعية

تنزيل المقال

تنزيل المقال

رأس المعادلة التربيعية أو القطع المكافئ هو أعلى أو أدنى نقطة لتلك المعادلة. ويقع أيضًا في مستوى التناظر للقطع المكافئ بأكمله؛ كما أن ما يقع على يسار القطع المكافئ، أيًا كان، يُعد صورة مطابقة تمامًا لما يوجد على يمين القطع المكافئ. وإذا أردت إيجاد رأس المعادلة التربيعية، فبإمكانك إمّا استخدام صيغة الرأس أو إكمال المربع.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 2:

استخدام صيغة الرأس

تنزيل المقال

1. 
   1
   حدّد قيم a وb وc. في المعادلة التربيعية، يساوي الحد "x²" = "a"، ويساوي الحد "x" = b، بينما يساوي الحد الثابت (حد بدون متغيّر) = "c". لنفترض أنك تعمل على حلّ المعادلة التالية: "y" = "x² + 9x + 18". ففي هذا المثال، يساوي "a" = 1، ويساوي "b" = 9، ويساوي "c" = 18.
2. 
   2
   استخدم صيغة الرأس لإيجاد القيمة-x الخاصة بالرأس. يُمثل الرأس أيضًا محور تناظر المعادلة، حيث أن الصيغة اللازمة لإيجاد القيمة-x الخاصة برأس المعادلة التربيعية هي كالتالي "x = -b/2a". أدخِل القيم ذات الصلة لإيجاد "x'". قم بتعويض القيم الخاصة بـ a وb. ثم اعرض نتيجتك:

   • x=-b/2a
   • x=-(9)/(2)(1)
   • x=-9/2
3. 
   3
   أدخِل القيمة-x في المعادلة الأصلية للحصول على القيمة-y. الآن وبعد معرفتك للقيمة-x، ما عليك سوى إدخالها في الصيغة الأصلية للقيمة y. ويمكنك التفكير في الصيغة لإيجاد رأس الدالة التربيعية باعتبار أن "(x، y) = [(-b/2a)، f(-b/2a)]". ويعني ذلك أنه من أجل إيجاد القيمة y، يتعين عليك إيجاد القيمة x استنادًا إلى الصيغة، ثم إدخالها مرة أخرى في المعادلة. إليك طريقة القيام بذلك:

   • y = x² + 9x + 18
   • y = (-9/2)² + 9(-9/2) +18
   • y = 81/4 -81/2 + 18
   • y = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81 – 162 + 72)/4
   • y = -9/4
4. 
   4
   اكتب القيمتين x وy كزوج مرتب. الآن وقد عرفت أن القيمة x = -9/2، وأن القيمة y = -9/4، ما عليك سوى كتابة القيمتين كزوج مرتب، كالتالي: (-9/2، -9/4). وبالتالي، يكون رأس هذه المعادلة التربيعية هو (-9/2، -9/4). إذا أردت رسم هذا القطع المكافئ في رسم بياني، تكون هذه النقطة هي أدنى مستوى للقطع المكافئ، نظرًا لأن الحد x² يمثل قيمة موجبة.

طريقة 2

طريقة 2 من 2:

إكمال المربع

تنزيل المقال

1. 
   1
   اكتب المعادلة. يُعد إكمال المربع طريقة أخرى لإيجاد رأس المعادلة التربيعية. وعندما تصل إلى النهاية في هذه الطريقة، ستتمكن على الفور من إيجاد الإحداثيّين x وy (السيني والصادي)، بدلاً من إدخال الإحداثي x مرة أخرى في المعادلة الأصلية. لنفترض أنك تعمل على حلّ المعادلة التربيعية التالية: "x² + 4x + 1 = 0".
2. 
   2
   اقسِم كل حد على مُعامِل الحد x². في هذه الحالة، يساوي مُعامِل الحد x² 1، لذا يمكنك تجاوز هذه الخطوة. علمًا بأن قِسمة كل حد على 1 لن يغيّر أي شيء.
3. 
   3
   انقل الحد الثابت إلى الجانب الأيمن للمعادلة. الحد الثابت هو الحد الذي لا يليه مُعامِل. وعليه، فإن الحد الثابت في هذه الحالة هو "1". انقل 1 إلى الجانب الآخر للمعادلة من خلال طرح 1 من كلا الجانبين. إليك طريقة القيام بذلك:

   • x² + 4x + 1 = صفر
   • x² + 4x + 1 -1 = صفر - 1
   • x² + 4x = - 1
4. 
   4
   أكمِل المربع في الجانب الأيسر للمعادلة. للقيام بذلك، ما عليك سوى إيجاد "(b/2)²" وإضافة الناتج لكلٍ من جانبيّ المعادلة. أدخِل "4" لـ "b"، حيث يمثل "4x" الحد-b لهذه المعادلة.

   • (4/2)² = 2² = 4. والآن، أضِف 4 لكلٍ من جانبيّ المعادلة للحصول على ما يلي:
     • x² + 4x + 4 = -1 + 4
     • x² + 4x + 4 = 3
5. 
   5
   حلّل الجانب الأيسر للمعادلة. ستجد الآن أن x² + 4x + 4 يشكل مربعًا كاملاً. كما يمكن إعادة كتابته على النحو التالي (x + 2)² = 3
6. 
   6
   استخدم هذا النسق لإيجاد الإحداثيّين x وy (السيني والصادي). يمكنك إيجاد الإحداثي x بمجرد تعيين (x + 2)² بحيث يساوي صفر. لذلك عندما يساوي (x + 2)² = صفر، فماذا ستكون قيمة x؟ يجب أن تكون قيمة المتغيّر x -2 لموازنة +2، وبالتالي يساوي الإحداثي x -2. علمًا بأن الإحداثي y يمثل ببساطة الحد الثابت في الجانب الآخر للمعادلة. وبالتالي يساوي الإحداثي y = 3. كما يمكنك اختصار الأمر بمجرد سحب الإشارة المقابلة للعدد الموجود داخل القوسين للحصول على الإحداثي x. وبالتالي يكون رأس المعادلة x² + 4x + 1 = (-2، -3)

أفكار مفيدة

• حدد بدقة "a" و"b" و"c".
• أظهر عملك دائمًا لمعلمك، فهذا لن يساعد فقط في تحسين درجاتك، بل سيتم لفت نظرك إلى أي أخطاء قد ترتكبها.
• يجب الالتزام بترتيب العمليات من أجل الحصول على ناتج صحيح.

تحذيرات

• أظهر وراجع عملك!
• يجب أن تتأكد من معرفتك لـ"a" و"b" و"c"، لكي يكون الناتج صحيحًا.
• لا تتوتر، ربما يتطلب الأمر منك بعض التمرين.

الأشياء التي ستحتاج إليها

• برنامج Math Graph Pad أو شاشة كمبيوتر
• آلة حاسبة