楕円の面積を求める方法

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面積を計算する

この公式が成り立つ理由を理解する

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楕円とは、円を平たく伸ばしたような二次元図形の一種です。幾何の授業で習った人もいるでしょう。楕円の面積は、長半径と短半径の長ささえわかれば、簡単に求めることができます。

ステップ

パート 1

パート 1 の 2:

面積を計算する

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   楕円の長半径を特定する　長半径とは、楕円の中心から周上の一番遠い点までの長さのことです。楕円の「出っ張った」部分の半径と考えるとよいでしょう。定規で測るか、図に示された値を確認します。ここでは、長半径をaとします。

   • 長半径は「軌道長半径」とも言います。
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   楕円の短半径を特定する　ご想像のとおり、短半径は楕円の中心から周上の一番近い点までの長さです。ここでは、長半径をbとします。

   • 短半径と長半径は直角にまじわりますが、楕円の面積を求める際には角度を測る必要はありません。
   • 短半径は「軌道短半径」とも言います。
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   円周率を掛ける　楕円の面積はa×b×円周率（π）で求められます。長半径や短半径の長さの単位がセンチメートルならば答えの単位は平方センチメートル、インチならば平方インチになります。

   • たとえば、楕円の長半径が（5インチ）、短半径が（3インチ）ならば、楕円の面積は3×5×πcm²（平方インチ）または、約47cm²（平方インチ）となります。
   • 計算機がない場合、または手元の計算機でπを使えない場合には、πの代わりに「3.14」を使用しましょう。
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パート 2

パート 2 の 2:

この公式が成り立つ理由を理解する

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   円の面積の求め方を考える　円の面積は πr²、つまり、π×r×rで求められるのをご存知でしょう。では、円を楕円の一種と見なして面積を求めるとどうなるでしょうか。円の中心から、円周上のある1点へ引いた線分（半径）の長さをrとします。先ほどと垂直の方向に半径を測っても、やはり長さはrです。これを楕円の面積の公式にあてはめると、π×r×rとなります。このように考えると、円も特殊な楕円の1つと言えるのがわかります。
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   つぶれた円を考える　円を平たくつぶし、楕円形にすると考えてみます。平たくすればするほど、片方の半径が短くなる一方で、それと垂直方向の半径は長くなっていくでしょう。円全体としての面積が増減することはなく、そのまま変わりません。「つぶれて縮む分の面積」と「平たく伸びる分の面積」が打ち消し合うので、長半径と短半径の両方を含む方程式で正しい解を求められるのです。
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ポイント

• 楕円の面積を求める公式を厳密に証明するには、積分という演算子法を学ぶ必要があります。

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