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この記事の共著者 : Grace Imson, MA. グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。
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分数を用いて行う数学的手法の中で最も簡単な操作の1つが2乗です。整数の2乗と仕組みは似ていて、分子ごと、そして分母ごとに、それぞれ自らの数をかけて求めます。 また、2乗する前に分数を約分しておくと手順がかなり簡単になることもあります。この記事では初めてという人にも分かりやすいよう概要を説明します。ぜひ参考にして理解を深めましょう。
ステップ
整数を2乗する方法を理解する 2という指数が含まれている時は、その数を2乗する必要があるという合図です。整数を2乗する場合は、その整数に自らの数をかけるだけで2乗は完了します。[1] 例えば次のようになります。- 52 = 5 × 5 = 25
分数を2乗する場合も仕組みは同じだということを理解する 分数を2乗する際も、自らの数でかけるという仕組みは同じです。分子は分子で、そして分母は分母でかける、という考え方をしても良いかもしれません。 例として下記を見てみましょう。- (5/2)2 = 5/2 × 5/2 = (52/22)
- それぞれを2乗するので (25/4) となります。
分子だけ、分母だけで2乗する 最終的に分子だけ、分母だけで2乗されていれば、どちらの計算を先に行っても構いません。ここでは、分かりやすくするために分母から計算を始めます。分子の数を分子の数でかけましょう。次に、分母の数を分母の数でかけます。- 計算を行った後も分子は分数線の上に、そして分母は下にとどまります。
- 例えば、 (5/2)2 = (5 x 5/2 x 2) = (25/4) となります。
約分して完了する 分数を扱って計算をする際、最後に約分を行って分数を簡素化したり、仮分数を真分数に直す必要があります。[2]既出の例では、25/4 は分子の方が分母よりも大きい仮分数になっています。- 帯分数に直す場合は、まず25を4で割ります。商が6 (6 x 4 = 24) 、余りが1となるので、従って 6 1/4 となります。
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分数の前に加えられた負の記号を認識する 分数の前に負の記号が加えられている時は、負の分数を扱っているということを意味しています。記号も含め分数全体を括弧でくくると、記号は後に続く数に関わるもので、引き算の記号ではないということが分かりやすくなるでしょう。[3]- 例えば、 (–2/4) となります。
分数をそれだけでかける 正の分数と同じ要領で、分子だけ、そして分母だけで同じ数をかけて2乗にしましょう。あるいは、下記のように分数全体を2乗することもできます。- 例えば、(–2/4)2 = (–2/4) x (–2/4) となります。
負の記号が2回用いられている場合は正の数になるという法則を理解する 負の記号が含まれていれば、その分数全体が負の数になります。この分数を2乗するということは、2つの負の記号をかけ算することになります。2つの負の記号をかけ算すると、負の数は正の数になります。[4]- 例えば、 (-2) x (-8) = (+16) となります。
2乗した後に負の記号を取り除く 分数を2乗した時は、2つの負の記号同士もかけ合わせます。つまり、2乗された分数は正の数です。必ず負の記号を消しましょう。- 既出の例の場合も、答えは正の数になります。
- (–2/4) x (–2/4) = (+4/16)
- 一般的に、正の記号（＋）は表記されません。[5]
約分する 分数を扱った計算の最後の手順は約分です。仮分数はまず帯分数に直し、約分します。- 例えば、(4/16) の公約数は4です。
- 分数を4で割ります。 4/4 = 1 と 16/4= 4 となります。
- 分数を書き直し、(1/4) となります。
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2乗する前に約分ができないか考える 一般的に、2乗をする前に約分をしたほうが計算が簡単になります。分数の約分とは、分数と分母の双方を割ることができる数が1しか残っていない状態になるまで公約数で割っていく作業を指します。[6]まず約分をしておくと、計算後の大きな数を約分するという手間が省けます。- 例として、(12/16)2 で考えてみましょう。
- 12と16のどちらも4で割ることができます。 12/4 = 3 と 16/4 = 4 となります。従って、12/16 を約分すると 3/4 となります。
- 次に 3/4 を2乗します。
- (3/4)2 = 9/16 となり、これは約分することができません。
- 検算として、元々の分数を約分せずに2乗してみましょう。
- (12/16)2 = (12 x 12/16 x 16) = (144/256)
- (144/256) の公約数は16です。分子と分母の両方をそれぞれ16で割ると、 (9/16) となり、先ほどの答えと一致します。
真っ先に約分すべきではない状況を知っておく より複雑な等式を扱う時、因数の1つを消すことができる可能性もあります。こうした場合、先に消してしまった方が処理が簡単になります。既出の例に因数を付け足して考えてみましょう。- 例えば、 16 × (12/16)2 という計算式があるとします。
- 2乗する項を展開し、共通因数の16を消します。
16* 12/16* 12/16 となります。- 16という整数が1つ、さらに分数に2回、16が含まれていますが、消すことができるのは2回のうちのいずれか1つのみです。
- 式を書き直します。12 × 12/16 となります。
- 12/16 の分子と分母をそれぞれ4で割り、3/4 とします。
- かけ算を行います。12 × 3/4 = 36/4
- 約分し、 36/4 = 9 となります。
指数を扱う際の「近道」を学んでおく 指数を先に簡素化するという方法もあります。最終的な答えは同じです。答えにたどり着くまでの手順が異なります。- 例として、既出の 16 * (12/16)2 で考えてみましょう。
- 分数部分を書き直し、分子と分母のそれぞれに2乗を付け足します。16 * (122/162)
- 分母の指数を消すことができます。
16* 122/162- 整数の16には1という指数が加えられていると想像してみましょう（161）。指数の計算法則の割り算の方法に基づいて指数を引き算することができるので、161/162 となります。従って 161-2 = 16-1、つまり、1/16 となります。
- 計算式は、122/16 まで簡素化されました。
- 書き直して約分しましょう。 12*12/16 = 12 * 3/4.
- かけ算を行います。12 × 3/4 = 36/4
- 約分します。36/4 = 9 となります。
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必要なもの
- 計算を行う紙や画面
- 紙を使う場合は筆記用具
出典
- ↑ http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U1L9DP.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/improper-fractions.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/multiplying-negatives.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/multiplying-negatives.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/multiplying-negatives.html
- ↑ http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U4L2GL.html
このHow.com.vn記事について
数学教師
この記事の共著者 : Grace Imson, MA. グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。 この記事は10,412回アクセスされました。
カテゴリ: 数学
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