Brüche quadrieren

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In diesem Artikel:

Brüche quadrieren

Brüche mit negativen Zahlen quadrieren

Vereinfache den Bruch oder verwende Abkürzungen

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Literaturhinweise

Quadrieren ist eine der einfachsten Rechenoperationen, die du an Brüchen durchführen kannst. Der Vorgang unterscheidet sich kaum vom Quadrieren von ganzen Zahlen, da du nur den Zähler und den Nenner jeweils für sich quadrieren musst. Es gibt auch einige Fälle, in denen du den Bruch vor dem Quadrieren vereinfachen solltest, um den Vorgang zu vereinfachen. Wenn du noch nicht weißt, wie du Brüche quadrieren kannst, findest du in diesem Artikel eine einfache Übersicht, die dir dabei helfen wird, den Vorgang schnell zu verstehen.

Vorgehensweise

Teil 1

Teil 1 von 3:

Brüche quadrieren

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   Verstehe, wie du ganze Zahlen quadrierst. Wenn eine Zahl einen Exponenten von Zwei hat, musst du sie quadrieren. Um eine ganze Zahl zu quadrieren, musst du sie einfach mit sich selbst multiplizieren. For example:

   • 5² = 5 × 5 = 25
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   Erkenne, dass das Quadrieren von Brüchen genauso funktioniert. Um einen Bruch zu quadrieren, musst du ihn mit sich selbst multiplizieren. Oder anders ausgedrückt, du musst jeweils den Zähler und den Nenner des Bruchs mit sich selbst multiplizieren. Zum Beispiel:

   • (⁵/₂)² = ⁵/₂ × ⁵/₂ oder (⁵²/_2²).
   • Durch das Quadrieren bekommst du: (²⁵/₄).
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   Multipliziere den Zähler mit sich selbst und den Nenner mit sich selbst. In welcher Reihenfolge du das machst, ist nicht wichtig, solange du am Ende beide Zahlen quadriert hast. Um die Sache nicht zu verkomplizieren, fange am besten mit dem Zähler an: multipliziere ihn einfach mit sich selbst. Dann multiplizierst du den Nenner mit sich selbst.

   • Der Zähler steht immer über dem Bruchstrich, der Nenner darunter.
   • Zum Beispiel: (⁵/₂)² = (^{5 x 5}/_{2 x 2}) = (²⁵/₄).
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   Vereinfache den Bruch, wenn du fertig bist. Beim Arbeiten mit Brüchen versuchst du im letzten Schritt immer den Bruch zu vereinfachen, um ihn so einfach wie möglich darzustellen oder ihn in eine gemischte Zahl umzuwandeln. Der Bruch aus unserem Beispiel, ²⁵/₄, ist ein unechter Bruch, da der Zähler größer als der Nenner ist.

   • Um den Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, musst du 25 durch 4 dividieren. 4 geht sechs Mal in 25 (6 x 4 = 24) und es bleibt ein Rest von 1. Also ist die gemischte Zahl 6 ¹/₄.
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Teil 2

Teil 2 von 3:

Brüche mit negativen Zahlen quadrieren

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   Achte auf das Minuszeichen vor dem Bruch. Wenn du es mit negativen Brüchen zu tun hast, steht ein Minuszeichen vor dem Bruch. Es hat sich bewährt, negative Zahlen in Klammern zu schreiben, damit auch sofort zu erkennen ist, dass das „-“ Zeichen sich auf die Zahl bezieht und keine Rechenoperation darstellt.

   • Zum Beispiel: (–²/₄)
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   Multipliziere den Bruch mit sich selbst. Multipliziere den Bruch so, wie du es normal tun würdest, indem du den Zähler und den Nenner jeweils mit sich selbst multiplizierst. Alternativ kannst du auch einfach den ganzen Bruch mit sich selbst multiplizieren.

   • Zum Beispiel: (–²/₄)² = (–²/₄) x (–²/₄)
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   Verstehe, dass zwei negative Zahlen multipliziert eine positive Zahl ergeben. Wenn es ein Minuszeichen gibt, ist der ganze Bruch negativ. Wenn du den Bruch mit sich selbst multiplizierst, multiplizierst du also zwei negative Zahlen miteinander. Wenn zwei negative Zahlen miteinander multipliziert werden, ergibt das eine positive Zahl.

   • Zum Beispiel: (-2) x (-8) = (+16)
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   Entferne nach dem Quadrieren das Minuszeichen. Indem du den Bruch quadriert hast, hast du zwei negative Zahlen miteinander multipliziert. Das bedeutet, dass das Ergebnis positiv ist. Achte also darauf, dass du dein Ergebnis ohne Minuszeichen angibst.

   • Wenn wir unser Beispiel fortführen, ist das Ergebnis ein positiver Bruch.
   • (–²/₄) x (–²/₄) = (+⁴/₁₆)
   • Das „+“ Zeichen für positive Zahlen wird üblicherweise weggelassen.
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   Vereinfache den Bruch auf seine einfachste Form. Der letzte Schritt beim Bruchrechnen ist immer die Vereinfachung des Bruchs. Unechte Brüche müssen zunächst in gemischte Zahlen umgewandelt und dann vereinfacht werden.

   • Zum Beispiel: (⁴/₁₆) hat den gemeinsamen Faktor vier.
   • Dividiere den Bruch durch 4: 4/4 = 1, 16/4= 4
   • Schreibe den vereinfachten Bruch auf: (¹/₄)
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Teil 3

Teil 3 von 3:

Vereinfache den Bruch oder verwende Abkürzungen

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   Überprüfe den Bruch vor dem Quadrieren darauf, ob du ihn vereinfachen kannst. Es ist meistens einfacher, wenn du den Bruch vereinfachst, bevor du ihn quadrierst. Vereinfachen bedeutet, den Zähler und Nenner des Bruches solange durch gemeinsame Teiler zu dividieren, bis der einzige gemeinsame Teiler die Eins ist. Wenn du den Bruch vor dem Quadrieren vereinfachst, musst du es nicht mehr danach machen, wenn die Zahlen größer sind.

   • Zum Beispiel: (¹²/₁₆)²
   • 12 und 16 können beide durch 4 geteilt werden. 12/4 = 3 und 16/4 = 4; also kann ¹²/₁₆ zu ³/₄ vereinfacht werden.
   • Jetzt musst du nur noch den Bruch ³/₄ quadrieren.
   • (³/₄)² = ⁹/₁₆. Dieser Bruch lässt sich nicht weiter vereinfachen.
   • Als Beweis, quadrieren wir den Ausgangsbruch vor der Vereinfachung:
     • (¹²/₁₆)² = (^{12 x 12}/_{16 x 16}) = (¹⁴⁴/₂₅₆)
     • (¹⁴⁴/₂₅₆) hat den gemeinsamen Teiler 16. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs durch 16 teilen, bekommen wir (⁹/₁₆), denselben Bruch, den wir auch bei vorheriger Vereinfachung des Bruchs bekommen haben.
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   Versuche zu lernen, wann du besser mit der Vereinfachung des Bruchs warten solltest. Bei komplexeren Gleichungen lässt sich manchmal einer der Faktoren ganz einfach kürzen. In diesen Fällen ist es sogar einfacher, wenn du mit der Vereinfachung des Bruchs noch wartest. Durch das Hinzufügen eines weiteren Faktors zu unserem Beispiel, lässt sich dieser Vorgang darstellen:

   • Zum Beispiel: 16 × (¹²/₁₆)²
   • Schreibe das Quadrat aus und kürze den gemeinsame Faktor 16: 16 * ¹²/₁₆ * ¹²/₁₆
     • Da wir die 16 einmal als ganze Zahl und zweimal als Nenner haben, können wir EINE davon weg kürzen.
   • Schreibe die vereinfachte Gleichung neu: 12 × ¹²/₁₆
   • Vereinfache ¹²/₁₆, indem du den Bruch durch 4 teilst: ³/₄
   • Multipliziere: 12 × ³/₄ = 36/4
   • Dividiere: 36/4 = 9
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   Verstehe, wie du bei den Exponenten eine Abkürzung nehmen kannst. Eine weitere Herangehensweise an dasselbe Problem ist es, zuerst die Exponenten zu vereinfachen. Das Endergebnis ist dasselbe, es ändert sich nur der Rechenweg.

   • Zum Beispiel: 16 * (¹²/₁₆)²
   • Schreibe den Bruch um, indem du den Zähler und den Nenner hoch zwei nimmst: 16 * (¹²²/_16²)
   • Kürze den Exponenten des Nenners: 16 * ¹²²/_16²
     • Stelle dir die erste 16 mit einem Exponenten von 1 vor: 16¹. Indem du die Divisionsregel für Potenzen anwendest, subtrahierst du die Exponenten voneinander. 16¹/16², bekommst also 16^1-2 = 16^-1 oder 1/16.
   • Damit hast du jetzt: ¹²²/₁₆
   • Schreibe den Bruch um und vereinfache ihn: ^12*12/₁₆ = ¹² * ³/₄.
   • Multipliziere: 12 × ³/₄ = 36/4
   • Dividiere: 36/4 = 9
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Was du brauchst

• Arbeitspapier oder Computer
• Beistift/Stift (für die Arbeit auf Papier)