Come Trovare Algebricamente l'Inverso di una Funzione

Una funzione matematica (solitamente espressa come f(x)) può essere interpretata come una formula che ti permette di ricavare il valore di y in base a un dato valore di x. La funzione inversa di f(x) (che viene espressa come f^-1(x)) è in pratica il procedimento opposto, grazie al quale si ottiene il valore di x una volta inserito quello di y. Trovare l’inverso di una funzione può sembrare un processo complicato, ma per le equazioni semplici basta la conoscenza delle operazioni algebriche di base. Continua a leggere per imparare a farlo.

Passaggi

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Scrivi la funzione sostituendo f(x) con y, se necessario. La formula dovrebbe presentarsi con la y, da sola, a un lato del segno di uguaglianza e i termini con x sull’altro lato. Se l’equazione è scritta con i termini di y e x (ad esempio 2 + y = 3x²), allora devi risolvere per y isolandola su un lato del segno “uguale”.
- Esempio: consideriamo la funzione f(x) = 5x - 2, che può essere scritta come y = 5x - 2 semplicemente sostituendo "f(x)" con y.
- Nota: f(x) è una notazione standard per indicare una funzione, ma se stai trattando più funzioni, ognuna di esse avrà una lettera diversa per renderne l’identificazione più semplice. Ad esempio, puoi scrivere g(x) e h(x) (che sono lettere altrettanto comuni per scrivere una funzione).
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Risolvi l’equazione per x. In altre parole svolgi le necessarie operazioni matematiche per isolare x su un lato del segno di uguaglianza. In questo passaggio i semplici principi algebrici ti saranno d’aiuto. Se x possiede un coefficiente numerico, dividi entrambi i lati dell’equazione per tale numero; se x viene sommato a un valore, sottrai quest’ultimo in entrambi i lati dell’equazione e così via.
- Ricorda di eseguire le operazioni su entrambi i termini presenti ai lati del segno di uguale.
- Esempio: consideriamo sempre l’equazione precedente e sommiamo in entrambi i lati il valore di 2. Questo ci porta a trascrivere la formula come: y + 2 = 5x. Ora dovremmo dividere entrambi i termini per 5 e otterremo: (y + 2)/5 = x. Infine, per rendere più semplice la lettura, portiamo la "x" sul lato sinistro dell’equazione e riscriviamo quest’ultima come: x = (y + 2)/5.
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Sostituisci le variabili. Cambia x con y e viceversa. L’equazione risultante è l’inversa di quella originale. In altre parole se inserisci il valore di x nell’equazione iniziale e ottieni una determinata soluzione, quando inserisci tale dato nell’equazione inversa (sempre per x) troverai di nuovo il valore di partenza!
- Esempio: dopo avere sostituito x e y otteniamo: y = (x + 2)/5.
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Sostituisci y con "f^-1(x)". Le funzioni inverse sono espresse solitamente con la notazione f^-1(x) = (termini in x) . Nota che, in questo caso, l’esponente -1 non significa che devi eseguire un'operazione di potenza sulla funzione. Si tratta solo di una scrittura convenzionale per indicare la funzione inversa dell’originale.
- Poiché elevare x alla -1 ti conduce a una soluzione frazionale (1/x) allora potresti pensare che f^-1(x) sia un modo di scrivere "1/f(x)" che significa appunto inverso di f(x).
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Controlla il tuo lavoro. Prova a sostituire l’incognita x con una costante nella funzione originale. Se hai svolto i passaggi in maniera corretta, dovresti essere in grado di inserire il risultato nella funzione inversa e ritrovare la costante di partenza.
- Esempio: assegniamo a x il valore 4 all’interno dell’equazione di partenza. Questo ti porta a: f(x) = 5(4) - 2, quindi f(x) = 18.
- Ora sostituiamo x della funzione inversa con il risultato appena trovato, 18. Quindi avremo che y = (18 + 2)/5, semplificando: y = 20/5 = 4. 4 è il valore originale che abbiamo assegnato a x, quindi la nostra funzione inversa è corretta.
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Consigli

Puoi liberamente passare da una notazione f(x) = y a una f^(-1)(x) = y senza problemi, quando stai eseguendo delle operazioni algebriche sulle tue funzioni. Tuttavia, può creare della confusione mantenere la funzione originale e la funzione inversa nella forma diretta; è meglio usare la notazione f(x) o f^(-1)(x), se non stai usando una delle due funzioni, che aiuta a distinguerle meglio.
Nota che l'inverso di una funzione è, di solito, ma non sempre, anch’essa una funzione.