Comment trouver algébriquement une fonction inverse

Vous connaissez ces fonctions mathématiques, habituellement désignées par f(x), qui permettent de trouver « y » (f(x) = y) à partir d'un « x » donné. Avec la fonction inverse (notée f^-1(x)), on fait exactement… l'inverse, c'est-à-dire que f^-1(y) = x. On pourrait croire que trouver la fonction inverse d'une fonction est compliqué, mais il n'en est rien, tout au moins pour des fonctions simples. Il faut juste maitriser quelques notions de base en algèbre. Voyons cela petit à petit et à travers un exemple.

Étapes

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Inscrivez en premier votre fonction de départ en remplaçant éventuellement f(x) par « y ». Ce « y » sera à gauche d'un signe = et la fonction, avec l'inconnue « x », sera à droite. Si l'on vous donne l'équation directement avec « x » et « y », c'est parfait ! Sinon, modifiez l'équation pour avoir tous les « y » d'un côté et tous les « x » et toutes les constantes, de l'autre. Si l'on vous donne par exemple : 2 + y = 3x², elle deviendra : y = 3x² -2.
- Exemple : on vous donne f(x) = 5x - 2. Vous pouvez la récrire ainsi : y = 5x - 2 (on a juste remplacé « f(x) » par « y »).
- Nota bene : f(x) est la notation classique d'une fonction. Si on vous donne d'autres fonctions, dans un même problème, on les appellera, par exemple, g(x), h(x)… La lettre change, mais tout le monde saura que ce sont des fonctions différentes les unes des autres.
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Trouvez x. En d'autres termes, effectuez les opérations nécessaires afin d'isoler « x » dans un des termes de l'équation. Rappelons tout d'abord quelques principes d'algèbre touchant aux équations. Si x a un coefficient (genre 3x) et que vous voulez faire disparaitre ce dernier, il faut diviser les deux membres de l'équation par ce coefficient ; si vous voulez faire disparaitre une constante (+ 3, par exemple), il suffit d'ajouter aux deux membres la valeur opposée (ici, - 3)…
- Lorsque vous touchez un des membres de l'équation, il faut modifier l'autre de la même façon.
- Exemple : y = 5x - 2. Pour isoler « x », vous commencez par ajouter 2 des deux côtés. On obtient : y + 2 = 5x - 2 +2, soit y + 2 = 5x. Pour des raisons pratiques, on inverse les deux membres : 5x = y +2. On divise ensuite des deux côtés par 5. On obtient alors : 5x/5 = (y+2)/5. On fait les opérations, ce qui nous donne au final : x = (y + 2)/5.
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Permutez les variables. Remplacez « x » par « y » et vice-versa. Cette manipulation donne l'inverse de la fonction d'origine. Dit autrement, si « y » est l'image de « x » par f(x), alors « x » est l'image de « y » par f^-1(y).
- Exemple : après permutation de « x » et « y », on a : y = (x + 2)/5
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Remplacez « y » par « f^-1(x) ». Par convention, la fonction inverse de f(x) est toujours notée f^-1(x). Dans ce cas très précis, le « -1 » n'est nullement un exposant, mais une convention qui fait comprendre à qui la lit que l'on a affaire à une fonction inverse.
- À l'image de x^-1 qui vaut 1/x, on peut dire que f^-1(x) est une façon d'écrire « 1/f(x) », l'inverse de f(x).
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Faites une vérification de votre transformation. Vous avez vos deux fonctions (l'originelle et l'inverse). Prenez une valeur quelconque pour « x » et calculez f(x). Ce résultat, qu'on appelle « y », vous le prenez et vous calculez f^-1(y). Si vous retrouvez « x », c'est parfait, vous avez trouvé la bonne fonction inverse.
- Exemple : reprenons la fonction f(x) = 5x - 2 et faisons le calcul pour x = 4. On obtient : f(4) = 5(4) - 2 ou encore f(4) = 18.
- Maintenant, on reprend la fonction inverse de f(x), soit f^-1(x) = (x + 2)/5. On prend 18 (précédemment trouvé) et l'on calcule f^-1(18). Le calcul est le suivant : f^-1(18) = (18 + 2)/5 = 20/5 = 4. CQFD ! On retrouve bien la valeur de départ, x = 4. Vous avez bien trouvé la bonne fonction inverse.
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Conseils

Quand on travaille avec plusieurs fonctions, il est vivement conseillé de bien distinguer une fonction de sa fonction inverse en utilisant les notations que l'on a vues, soit f (x) pour la fonction origine et f^-^-1(x) pour la fonction inverse. Si vous appelez la fonction inverse g(x) (et c'est possible !), vous risquez de l'oublier au bout d'une heure de calcul, d'où une confusion possible !
Notez que l'inverse d'une fonction est généralement, mais pas toujours, une fonction !