कैसे एल्जेब्रा (बीजगणित) सीखें

एल्जेब्रा सीखना आपको कठिन लग सकता है, लेकिन एक बार आप इसके साथ जुड़ जाते हैं, तो फिर ये आपको ज्यादा मुश्किल नहीं लगेगा! आपको सिर्फ इक़्वेशन के पार्ट्स को पूरा करने के लिए ऑर्डर फॉलो करना होगा और किसी भी गलती से बचने के लिए ऑर्गनाइज़ तरीके से काम करना होगा!

विधि 1

विधि 1 का 5:

बेसिक एल्जेब्रा रूल्स सीखना (Learning Basic Algebra Rules)

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अपने बेसिक मैथ ऑपरेशन्स को रिव्यू करें: एल्जेब्रा सीखना शुरू करने के लिए, आपको बेसिक मैथ स्किल्स, जैसे कि एड करना (जोड़ना), सबट्रेक्ट करना (घटाना), मल्टीप्लाइ करना (गुणा करना) और डिवाइड (भाग देना) जानना होगा।^{[१]Xरिसर्च सोर्स} एल्जेब्रा सीखना शुरू करने से पहले, ये प्राइमरी/एलीमेंटरी स्कूल मैथ आना काफी जरूरी होती है। अगर आप इन स्किल्स में बहुत अच्छे नहीं हैं, तो फिर आपके लिए एल्जेब्रा के दूसरे और भी मुश्किल कान्सैप्ट को समझना मुश्किल रहेगा। अगर आपको इन ऑपरेशन्स को याद करने की जरूरत है, तो फिर बेसिक मैथ स्किल्स पर मौजूद हमारे दूसरे आर्टिकल देखें।
- एल्जेब्रा प्रॉब्लम्स को करने के लिए जरूरी नहीं, कि आपको अपने मन में इन बेसिक ऑपरेशन्स के ऊपर अच्छा ही होना है। काफी सारी एल्जेब्रा क्लासेस आपको इन ऑपरेशन्स को करते वक़्त टाइम बचाने के लिए कैलकुलेटर यूज करने देती हैं। हालांकि, आपको ऐसे वक़्त के लिए कम से कम इन ऑपरेशन्स को कैलकुलेटर के बिना करते आना चाहिए, जब आपको इसे यूज करने की अनुमति न हो।
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ऑपरेशन्स के ऑर्डर (क्रम) को जानें: शुरुआत कहाँ से की जाए, ये किसी भी एलजेब्रा को सॉल्व करने के सबसे मुश्किल काम में से एक है। अच्छी बात ये है, कि प्रॉब्लम्स को सॉल्व करने का एक खास ऑर्डर हुआ करता है: पहला ब्रैकेट्स में मौजूद ऑपरेशन्स को सॉल्व करना, फिर एक्स्पोनेंट्स को, फिर मल्टीप्लाय, फिर डिवाइड, फिर एड और फिर आखिर में स्ब्ट्रेक्ट करें। PEMDAS एक्रोनिम, इस ऑपरेशन्स के ऑर्डर को याद रखने का एक उपयोगी टूल है।^{[२]Xरिसर्च सोर्स} इन ऑपरेशन्स को अप्लाई करने के तरीके को सीख लें। ऑपरेशन्स का ऑर्डर इस तरह से है:
- Parentheses (ब्रैकेट्स पहले)
- Exponents (फिर एक्स्पोनेंट्स, पावर्स)
- Multiplication (गुणा करना)
- Division (भाग करना)
- Addition (जोड़ना)
- Subtraction (घटाना)
- एल्जेब्रा में ऑपरेशन्स का ऑर्डर सही होना बहुत मायने रखता है, क्योंकि अगर एल्जेब्रा प्रॉब्लम के ऑपरेशन्स को गलत ऑर्डर में किया जाए, तो इससे कभी-कभी इसके आन्सर (जवाब) पर असर पड़ सकता है। उदाहरण के लिए, अगर हम 8 + 2 × 5 मैथ प्रॉब्लम को सॉल्व कर रहे हैं, और अगर हम पहले 2 और 8 को एड कर लेते हैं, तो इससे हमें 10 × 5 = 50 मिलता है, लेकिन अगर हम पहले 2 और 5 को मल्टीप्लाय कर लेते हैं, तो इससे हमें 8 + 10 = 18 मिल जाता है। सिर्फ सेकंड आन्सर ही करेक्ट है।
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नेगेटिव नंबर्स को यूज करने का तरीका सीखें: एल्जेब्रा में, नेगेटिव नंबर्स को यूज करना बहुत कॉमन होता है, इसलिए एल्जेब्रा सीखना शुरू करने से पहले आपके लिए नेगेटिव नंबर्स को एड, सबट्रेक्ट,मल्टीप्लाय और डिवाइड करने के बारे में जानना ठीक रहता है।^{[३]Xरिसर्च सोर्स} नीचे ध्यान में रखे जाने लायक कुछ नेगेटिव नंबर्स बेसिक्स दिए गए हैं — और ज्यादा जानकारी पाने के लिए नेगेटिव नंबर्स पर ऑपरेशन्स इस्तेमाल किए जाने के ऊपर मौजूद हमारे दूसरे आर्टिकल्स पढ़ें।
- नंबर लाइन (Number Line) पर, किसी भी नंबर का एक नेगेटिव वर्जन भी जीरो से ठीक उतनी ही दूरी पर होता है, जितनी दूरी पर इसका पॉज़िटिव वर्जन, लेकिन फर्क सिर्फ इतना होता है, कि नेगेटिव वर्जन नंबर लाइन पर अपोजिट डाइरैक्शन में होता है।
- कोई भी दो नेगेटिव नंबर को एड करने से, वो नंबर और भी ज्यादा नेगेटिव (दूसरे शब्दों में बोलें, तो डिजिट्स तो बड़ी होंगी, लेकिन क्योंकि ये नंबर नेगेटिव है, इसलिए इसकी गिनती कम ही मानी जाएगी) बन जाता है।
- दो नेगेटिव साइन कैंसिल हो जाते हैं — किसी भी नेगेटिव नंबर को सबट्रेक्ट करना, पॉज़िटिव नंबर को एड करने जैसा ही होता है।
- दो नेगेटिव नंबर को मल्टीप्लाय या डिवाइड करना, एक पॉज़िटिव आन्सर देता है।
- एक पॉज़िटिव और एक नेगेटिव नंबर को नंबर को मल्टीप्लाय या डिवाइड करना, एक नेगेटिव आन्सर ही देता है।
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सीखें, किस तरह से लॉन्ग प्रॉब्लम्स को ऑर्गनाइज़ रखा जाए: भले सिम्पल एल्जेब्रा प्रॉब्लम्स बस चुटकी में सॉल्व हो जाती हो, लेकिन ज्यादा कोम्प्लीकेटेड प्रॉब्लम्स में कई सारे स्टेप्स हो सकते हैं। गलतियाँ करने से बचने के लिए, जब भी आप प्रॉब्लम सॉल्व करते वक़्त एक नए स्टेप की तरफ बढ़ें, तब हर बार एक नई लाइन से स्टार्ट करते हुए अपने काम को ऑर्गनाइज़ रखें। अगर आप किसी दो साइड वाली इक़्वेशन को सॉल्व कर रहे हैं, तो हर एक इक्वल्स साइन को ("="s) एक-दूसरे के नीचे ही रखें। इस तरह से, अगर आप कहीं पर भी गलती कर देते हैं, तो आपके लिए उसे तलाशना और उसे करेक्ट करना बहुत आसान होगा।
- उदाहरण के लिए, 9/3 - 5 + 3 × 4 इक़्वेशन को सॉल्व करने के लिए, हमें कुछ इस तरह प्रॉब्लम को ऑर्गनाइज़ रखना होगा:
  9/3 - 5 + 3 × 4
  9/3 - 5 + 12
  3 - 5 + 12
  3 + 7
  10

विधि 2

विधि 2 का 5:

वेरिएबल्स को समझना (Understanding Variables)

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ऐसे सिंबल्स को देखें, जो नंबर्स नहीं हैं: एल्जेब्रा में, आप आपकी मैथ प्रॉब्लम्स के अंदर सिर्फ नंबर्स के अलावा, लैटर्स और सिंबल्स को भी देखना शुरू कर देंगे। इन्हें वेरिएबल्स बोला जाता है। वेरिएबल्स उतने भी कन्फ़्यूजिंग नहीं होते, जितने कि ये देखने में लगते हैं - ये तो सिर्फ अनजानी वैल्यू वाले नंबर्स को दर्शाने का एक तरीका होते हैं।^{[४]Xरिसर्च सोर्स} नीचे एल्जेब्रा में पाए जाने वाले कुछ कॉमन वेरिएबल्स के उदाहरण दिए हुए हैं:
- x, y, z, a, b, और c जैसे लैटर्स
- थीटा या θ जैसे ग्रीक लैटर्स
- एक बात नोट कर लें, कि सारे सिंबल्स अनजाने वेरिएबल्स नहीं हुआ करते हैं। उदाहरण के लिए, pi, या π, हमेशा ही करीब 3.14159 के बराबर होता है।
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वेरिएबल्स को "अनजाने" नंबर्स की तरह सोचें: ऊपर दर्शाए अनुसार, वेरिएबल्स सिर्फ अनजानी वैल्यू वाले नंबर्स हुआ करते हैं। दूसरे शब्दों में, ऐसे कुछ नंबर्स मौजूद हैं, जो किसी भी इक़्वेशन को काम करने लायक बनाने के लिए, वेरिएबल की जगह पर जाते हैं। आमतौर पर, किसी भी एल्जेब्रा प्रॉब्लम में आपका मकसद ये पता लगाना होता है, कि वेरिबेल क्या है — इसे एक ऐसे "मिस्ट्री नंबर (अनजाने नंबर)" की तरह सोचना है, जिसे खोजने की आप कोशिश कर रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, 2x + 3 = 11 इक़्वेशन में, x हमारा वेरिएबल है। इसका मतलब, कि यहाँ पर ऐसी कुछ वैल्यूज हैं, जो x की जगह पर जाकर, इक़्वेशन की लेफ्ट साइड को 11 के बराबर कर देती हैं। चूंकि, 2 × 4 + 3 = 11 होता है, इस मामले में, x = 4 होगा।
- एल्जेब्रा प्रॉब्लम्स में, वेरिएबल्स की जगह पर क्वेश्चन मार्क लगा लेना, वेरिएबल्स को समझना शुरू करने का आसान तरीका होता है। उदाहरण के लिए, हम इस इक़्वेशन को फिर से 2 + 3 + x = 9 as 2 + 3 + ? = 9 की तरह लिख सकते हैं। ये हमारे लिए, हम जो करना चाह रहे हैं, उसे समझना आसान कर देता है — हमें सिर्फ इतना पता लगाना है, कि 2 + 3 = 5 में ऐसा कौन सा नंबर एड किया जाए, जिससे हमें 9 मिले। इसका आन्सर भी फिर से 4 है।
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बार-बार आने वाले वेरिएबल्स पर नजर रखें: अगर कोई वेरिएबल एक से ज्यादा बार नजर आता है, तो वेरिएबल्स को सिम्प्लिफ़ाई करें। अगर आपको किसी इक़्वेशन में एक ही वेरिएबल बार-बार नजर आए, तो आप क्या करेंगे? हालांकि, ये मामला सॉल्व करने में जरा सा मुश्किल जरूर लग सकता है, आप वेरिएबल्स को भी ठीक उसी तरह से ट्रीट कर सकते हैं, जैसे आप किसी भी नॉर्मल नंबर को किया करते हैं — दूसरे शब्दों में बोलें, तो आप उन्हें एड, सबट्रेक्ट कर सकते हैं और ऐसा बहुत कुछ कर सकते हैं, बशर्ते इसके लिए आपके वेरिएबल को एक जैसे होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, x + x = 2x होगा, लेकिन x + y का मतलब 2xy नहीं हो जाएगा।
- उदाहरण के लिए, इक़्वेशन 2x + 1x = 9 का उदाहरण लेकर चलते हैं। इस मामले में, हम 3x = 9 पाने के लिए, 2x और 1x को एड कर सकते हैं। चूंकि, 3 x 3 = 9 होता है, इसलिए हमें मालूम है, कि x = 3 होगा।
- एक बार फिर से समझ लें, कि आप सिर्फ एक जैसे वेरिएबल को ही एड कर सकते हैं। इक़्वेशन 2x + 1y = 9 में, हम 2x और 1y को कम्बाइन नहीं कर सकते हैं, ऐसा इसलिए क्योंकि ये दोनों ही दो अलग-अलग वेरिएबल्स हैं।
- ये किसी एक वेरिएबल पर, दूसरे के मुक़ाबले एक अलग एक्स्पोनेंट (पावर) होने के ऊपर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, इक़्वेशन 2x + 3x² = 10 में, हम 2x और 3x² को कम्बाइन नहीं कर सकते हैं, क्योंकि x वेरिएबल्स पर अलग-अलग एक्स्पोनेंट मौजूद हैं। और ज्यादा जानकारी पाने के लिए एक्स्पोनेंट्स एड करने के ऊपर मौजूद हमारे दूसरे आर्टिकल देखें।

विधि 3

विधि 3 का 5:

"कैंसिल करके" इक़्वेशन सॉल्व करना सीखना (Learning to Solve Equations by "Canceling")

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एल्जेब्रा इक़्वेशन में वेरिएबल को खुद से ही निकालने की कोशिश करना: एल्जेब्रा में इक़्वेशन सॉल्व करने का मतलब आमतौर पर वेरिएबल का मान निकालना होता है। एल्जेब्रा इक्वेशंस आमतौर पर नंबर्स और/या दोनों साइड्स पर मौजूद वेरिएबल के साथ में कुछ इस तरह से: x + 2 = 9 × 4 सेट की हुई होती हैं। वेरिएबल का पता लगाने के लिए, आपको इसे इक्वल साइन के एक साइड पर लाना होगा। इक्वल साइन के दूरी तरफ जो कुछ भी बचा होगा, वही आपका आन्सर होगा।
- उदाहरण (x + 2 = 9 × 4) में, x को इक़्वेशन के लेफ्ट साइड पर पाने के लिए, हमें "+ 2" से छुटकारा पाना होगा। इसे करने के लिए, हम सिर्फ इस साइड से 2 को सबट्रेक्ट (घटा) कर देंगे, जिससे हमें x = 9 × 4 मिल जाएगा। हालांकि, दोनों साइड की इक़्वेशन को इक्वल बनाए रखने के लिए, हमें दूसरी साइड से भी 2 को सबट्रेक्ट करना होगा। इससे हमारे पास में x = 9 × 4 - 2 रह जाएगा। ऑपरेशन्स के ऑर्डर को फॉलो करते हुए, पहले हम मल्टीप्लाय करेंगे, फिर सबट्रेक्ट करेंगे, जिससे हमें आन्सर में x = 36 - 2 = 34 मिलेगा।
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एडिशन (जोड़ने) को सबट्रेक्शन (घटाने) के साथ (और इसके विपरीत) में कैंसिल करें: जैसा हमने ऊपर देखा, x को इक्वल्स साइन के एक साइड पर लाने का मतलब आमतौर पर उसके आगे मौजूद नंबर्स से पीछा छुड़ाना होता है। इसे करने के लिए, हम इक़्वेशन के दोनों साइड्स पर "अपोजिट" ऑपरेशन परफ़ोर्म करेंगे। उदाहरण के लिए, इक़्वेशन x + 3 = 0 में, चूंकि हम हमारे x के आगे "+ 3" को देख रहे हैं, इसलिए हम दोनों ही साइड्स पर "- 3" रखेंगे। "+ 3" और "- 3", x को अकेला छोड़ देंगे और इक्वल साइन के दूसरी तरफ "-3" कुछ इस तरह: x = -3 से रहेगा।
- आमतौर पर, एडिशन और सबट्रेक्शन एक-दूसरे के "अपोजिट्स" होते हैं — एक से बचने के लिए दूसरे का यूज करें। नीचे देखें:
  एडिशन के लिए, सबट्रेक्ट करें। उदाहरण: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
  सबट्रेक्शन के लिए, एड करें। उदाहरण: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
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मल्टिप्लिकेशन को डिवीजन से (और इसके विपरीत) कैंसिल करें: मल्टिप्लिकेशन और डिवीजन के ऊपर काम करना, एडिशन और सबट्रेक्शन के मुक़ाबले जरा सा मुश्किल होता है, लेकिन उनका भी सेम "अपोजिट" रिलेशन होता है। अगर आप एक साइड पर "× 3" को देखें, तो आप इसे दोनों साइड्स को 3 से डिवाइड करके कैंसिल कर सकते हैं।
- मल्टिप्लिकेशन और डिवीजन के साथ, आपको इक्वल साइन के दूसरी साइड पर मौजूद हर कुछ के ऊपर अपोजिट ऑपरेशन करना चाहिए, फिर भले ये एक से भी ज्यादा नंबर क्यों न हो। नीचे देखें:
  मल्टिप्लिकेशन के लिए, डिवाइड करें, उदाहरण: 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2)/6
  डिवीजन के लिए, मल्टीप्लाय करें। उदाहरण: x/5 = 25 → x = 25 × 5
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रूट लेकर (और इसका विपरीत करके) एक्स्पोनेंट्स को कैंसिल करें: एक्स्पोनेंट्स एक एडवान्स्ड प्री-एल्जेब्रा टॉपिक है — अगर आपको इन्हें करना नहीं आता है, तो फिर और ज्यादा जानकारी पाने के लिए, बेसिक एक्स्पोनेंट से जुड़े हमारे दूसरे आर्टिकल्स देखें। एक्स्पोनेंट का "अपोजिट" होता है रूट, जिसका भी सेम नंबर होता है। उदाहरण के लिए, ² एक्स्पोनेंट का अपोजिट एक स्क्वेयर रूट (√) होता है, ³ एक्स्पोनेंट का अपोजिट क्यूब रूट (³√) होता है और ऐसे ही चलते रहता है।^{[५]Xरिसर्च सोर्स}
- ये आपको जरा सा कन्फ़्यूजिंग लग सकता है, लेकिन ऐसे मामलों में, जब एक्स्पोनेंट के साथ में डील करें, तब आप दोनों साइड्स का रूट लेते हैं। वहीं दूसरी तरफ, आप जब रूट के साथ में डील करें, तब दोनों ही साइड्स का एक्स्पोनेंट लें। नीचे देखिए:
  एक्स्पोनेंट्स के लिए, रूट लें। उदाहरण: x² = 49 → x = √49
  रूट्स के लिए, एक्स्पोनेंट लें। उदाहरण: √x = 12 → x = 12²

विधि 4

विधि 4 का 5:

अपनी एल्जेब्रा स्किल्स को शार्प करना (Sharpening Your Algebra Skills)

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प्रॉब्लम्स को स्पष्ट करने के लिए पिक्चर्स यूज करें: अगर आपको एल्जेब्रा प्रॉब्लम विज्युलाइज करने में मुश्किल जा रही है, अपने इक़्वेशन को उदाहरण देकर स्पष्ट करने के लिए, डायग्राम या पिक्चर्स यूज करके देखें। आप अगर चाहें तो अगर आपके पास में मौजूद हो, तो किसी फिजिकल ऑब्जेक्ट्स (ब्लॉक्स या कोइन्स) के ग्रुप का यूज करके भी देख सकते हैं।^{[६]Xरिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, x + 2 = 3 इक़्वेशन को बॉक्सेस (☐) यूज करके सॉल्व करके देखते हैं।
  x +2 = 3
  ☒+☐☐ =☐☐☐
  इस पॉइंट पर, हम दोनों ही साइड से 2 बॉक्स (☐☐) निकालकर दोनों साइड्स से 2 सबट्रेक्ट करेंगे:
  ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
  ☒=☐, या x = 1
- दूसरे उदाहरण के तौर पर, 2x = 4 ट्राई करके देखें
  ☒☒ =☐☐☐☐
  इस पॉइंट पर, हम दोनों साइड्स के बॉक्स को दो ग्रुप में अलग करके,हम दोनों साइड्स को डिवाइड कर लेंगे:
  ☒|☒ =☐☐|☐☐
  ☒ = ☐☐, या x = 2
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"कॉमन सेंस चेक्स (common sense checks)" यूज करें (खासतौर पर वर्ड प्रॉब्लम्स के लिए): वर्ड प्रॉब्लम को एल्जेब्रा में कन्वर्ट करते वक़्त, अपने वेरिएबल के लिए सिम्पल वैल्यूज रखते हुए, अपने फॉर्मूला को चेक करें। क्या आपकी इक़्वेशन x=0? पर, x=1? पर, x = -1? पूरी होती है। आपके लिए p=6d लिखकर मिस्टेक करना बहुत आसान है, जबकि आपका असली मतलब p=d/6 था, लेकिन अगर आप आगे बढ़ने से पहले एक बार चेक कर लेते हैं, तो आप इस तरह की छोटी मिस्टेक्स को बड़ी आसानी से पकड़ सकते हैं।
- उदाहरण के लिए, मान लेते हैं, कि हमें कहा गया है, कि एक फुटबाल फील्ड चौड़ाई की तुलना में 30 yards (27.4 m) लंबा है। हम इसे रिप्रेजेंट करने के लिए, l = w + 30 इक़्वेशन का यूज करते हैं। हम w की सिम्पल वैल्यज रखकर, इस इक़्वेशन के काम कर रहे होने का अंदाजा ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, अगर वो फील्ड w = 10 yards (9.1 m) चौड़ा है, तो ये 10 + 30 = 40 yards (36.6 m) लंबा होगा। ये अगर 30 yards (27.4 m) तक चौड़ा है, तो ये 30 + 30 = 60 yards (54.9 m) लंबा होगा और ऐसे ही आगे भी बढ़ते जाएँ। ये इससे ये समझ आता है — कि हम फील्ड के चौड़ा होने के साथ, उसके उतने ही लंबे होने की उम्मीद कर सकते हैं, इसलिए ये इक़्वेशन उचित होगी।
3
इस बात से अवगत रहें, कि एल्जेब्रा में मिलने वाला आन्सर हमेशा इंटिजर्स में ही नहीं मिलता: एल्जेब्रा में मिलने वाले आन्सर्स और मैथ के दूसरे एडवान्स्ड फॉर्म्स हमेशा राउंड, ईजी नंबर्स भी नहीं होते। ये अक्सर डेसीमल्स, फ्रेक्शन्स या इरेशनल नंबर्स हो सकते हैं। एक कैलकुलेटर आपको इन मुश्किल आन्सर्स को पाने में मदद कर सकता है, लेकिन एक बात का ध्यान रखें, कि आपके टीचर शायद आप से इसके आन्सर को, इसके असली फॉर्म में, न कि बहुत बड़े डेसिमल्स में माँग सकते हैं।
- उदाहरण के लिए, ऐसा कह सकते हैं, कि हमने एल्जेब्रा इक़्वेशन को x = 1250⁷ छोटा कर लिया है। अगर हम कैलकुलेटर में 1250⁷ टाइप करते हैं, तो इससे हमें डेसिमल्स की एक लंबी स्ट्रिंग (साथ ही, क्योंकि कैलकुलेटर कि स्क्रीन भी बहुत ज्यादा बड़ी नहीं होती हैं, इसलिए ये पूरे आन्सर को डिस्प्ले नहीं कर सकता है) मिलेगी। ऐसे मामले में, हमें अपने आन्सर को सिम्पली 1250⁷ की तरह या फिर इसे साइंटिफिक नोटेशन में लिखकर आन्सर को सिंप्लिफ़ाई कर सकते हैं।
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अपनी स्किल को बढ़ाकर देखें: जब आप बेसिक एल्जेब्रा के साथ कॉन्फिडेंट हो जाएँ, फिर फ़ैक्टरिंग — कॉम्प्लेक्स इक़्वेशन को सिम्पल फॉर्म में लाने का एक शॉर्ट शॉर्टकट, ट्राई करके देखें। फ़ैक्टरिंग एक सेमी-एडवान्स्ड एल्जेब्रा टॉपिक है, इसलिए इसे सीखने में मुश्किल पड़ने पर, इससे जुड़े हुए हमारे दूसरे आर्टिकल्स देखें। नीचे इक़्वेशन की फ़ैक्टरिंग की कुछ आसान टिप्स दी हुई हैं:
- ax + ba वाली इक़्वेशन को a(x + b) फ़ैक्टर किया जा सकता है। उदाहरण: 2x + 4 = 2(x + 2)
- ax² + bx वाली इक़्वेशन को cx((a/c)x + (b/c)) फ़ैक्टर किया जा सकता है, जहां c सबसे बड़ा नंबर है, जो a और b को बराबर से डिवाइड कर रहा है। उदाहरण: 3y² + 12y = 3y(y + 4)
- x² + bx + c वाली इक़्वेशन को (x + y)(x + z) फ़ैक्टर किया जा सकता है, जहां y × z = c और yx + zx = bx है। उदाहरण: x² + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)
एल्जेब्रा (और किसी भी तरह की मैथ) में प्रोग्रेस के लिए बहुत सारा हार्ड वर्क और रिपीटीशन की जरूरत होती है। परेशान न हों — क्लास में ध्यान देकर, अपने सारे असाइनमेंट्स करके और जरूरत पड़ने पर, अपने टीचर या दूसरे स्टूडेंट्स की मदद लेकर एल्जेब्रा आपके बाँए हाँथ का काम बन जाएगी।
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अपने टीचर से मुश्किल एल्जेब्रा टॉपिक्स को समझने में आपकी मदद करने की माँग करें: अगर आपको एल्जेब्रा सीखने में बहुत ज्यादा मुश्किल जा रही है, परेशान मत हों — आपको अकेले ही इसे सीखने की जरूरत नहीं है। आपके टीचर ही हैं, कोई भी सवाल उठने पर आप जिनके पास जा सकते हैं। क्लास के बाद, बहुत ही पोलाइट तरीके से अपने टीचर से हेल्प मांगें। अच्छे टीचर्स हमेशा आपको क्लास में पढ़ाए हुए टॉपिक को दोबारा समझाने के लिए तैयार रहेंगे और वो शायद आपको एक्सट्रा प्रैक्टिस मटेरियल भी दे सकेंगे।
- अगर, किसी वजह से, आपके टीचर आपकी हेल्प नहीं कर पा रहे हैं, तो उन से स्कूल में ही ट्यूशन देने के ऑप्शन के बारे में पूछकर देखें। काफी सारे स्कूल्स में ऐसे ही कुछ आफ्टर-स्कूल (स्कूल के बाद होने वाले) प्रोग्राम्स होते हैं, जो आपको एल्जेब्रा सीखने के लिए जरूरी एक्सट्रा टाइम और अटेन्शन पाने में मदद कर सकते हैं। याद रखिए, आपके सामने मौजूद किसी भी फ्री हेल्प का यूज करने में शर्माने जैसी कोई बात नहीं है — ये इस बात का इशारा होता है, कि आप खुद से ही आपकी प्रॉब्लम्स को सॉल्व करने के लायक हैं!

विधि 5

विधि 5 का 5:

दूसरे, बीच के टॉपिक्स को समझना (Exploring Intermediate Topics)

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1
ग्राफ एल्जेब्रा के लिए एक बहुत जरूरी टूल हो सकता है, क्योंकि ये आपको अपने आइडियाज को डिस्प्ले करने का मौका देते हैं, जिन्हें आसानी से समझने लायक पिक्चर के लिए आमतौर पर नंबर्स की जरूरत होती है।^{[७]Xरिसर्च सोर्स} आमतौर पर, एल्जेब्रा की शुरुआत में, ग्राफिंग प्रॉब्लम्स इक़्वेशन में दो वेरिएबल्स तक ही सीमित हुआ करती हैं (आमतौर पर x और y) और इसे सिम्पल 2-D ग्राफ में x एक्सिस आर एक y एक्सिस के साथ किया जाता है। इन इक्वेशंस के साथ, ग्राफ पर एक-दूसरे के सामने एक पॉइंट के लिए दो नंबर्स निकालने के लिए, आपको सिर्फ x के लिए वैल्यू रखना है, फिर y (या इसका उल्टा करें) के लिए सॉल्व करना है।
- उदाहरण के लिए, इक़्वेशन y = 3x में, अगर हम x के लिए 2 रखते हैं, हमें y = 6 मिलता है। इसका मतलब, वो पॉइंट (2,6) (सेंटर से राइट पर दो स्पेस और सेंटर से ऊपर छह स्पेस) इक़्वेशन के ग्राफ का एक हिस्सा है।
- y = mx + b (जिसमें m और b नंबर्स हैं), इस तरह की इक्वेशंस बेसिक एल्जेब्रा में खासतौर पर कॉमन होती हैं। इस तरह की इक्वेशंस में हमेशा ही m के लिए एक स्लोप होता है और y एक्सिस को y = b पर क्रॉस करते हैं।
2
असमानताओं (inequalities) को सॉल्व करना सीखें: तब आप क्या करेंगे, जब आपकी इक़्वेशन में इक्वल साइन ही नहीं है? आप जो नॉर्मली किया करते हैं, उससे कुछ भी अलग नहीं। असमानताओं के लिए, जो > ("ग्रेटर देन") और < ("लेस देन") जैसे साइन यूज करती है, बस नॉर्मल जैसे ही सॉल्व करें। आपके पास में एक ऐसा आन्सर रह जाएगा, जो आपके वेरिएबल से बड़ा या तो छोटा होगा।
- उदाहरण के लिए, इक़्वेशन 3 > 5x - 2 के साथ, हम इसे ठीक वैसे ही सॉल्व करेंगे, जैसे कि आमतौर पर किया करते हैं:
  3 > 5x - 2
  5 > 5x
  1 > x, या x < 1.
- इसका मतलब, कि एक से छोटा हर एक नंबर x के लिए काम करेगा। दूसरे शब्दों में, x 0, -1, -2, और ऐसा ही हो सकता है। अगर हम इन नंबर्स को इक़्वेशन में x के लिए रखते हैं, हमें हमेशा ही 3 से छोटा नंबर मिलता है।
3
क्वाड्रेटिक इक्वेशंस (quadratic equations) को हैंडल करना सीखें: क्वाड्रेटिक इक्वेशंस एक ऐसा एल्जेब्रा टॉपिक है, जिन्हें सॉल्व करते वक़्त बहुत से बिगिनर्स परेशानी महसूस करते हैं। क्वाड्रेटिक इक्वेशंस x² + bx + c = 0 फॉर्म वाली इक्वेशंस होती हैं, जहां a, b, और c नंबर्स (बस a 0 नहीं हो सकता) होते हैं। इस तरह की इक्वेशंस को x = [-b +/- √(b² - 4ac)]/2a के जरिए सॉल्व किया जाता है। सावधान रहें — +/- साइन का मतलब कि आपको एड करने और सबट्रेक्ट करने के लिए आन्सर पाना है, इसलिए आपके पास में इस तरह की प्रॉब्लम्स के लिए दो आन्सर्स हो सकते हैं।
- एक उदाहरण की तरह, क्वाड्रेटिक फॉर्मूला 3x² + 2x -1 = 0 सॉल्व करते हैं।
  x = [-b +/- √(b² - 4ac)]/2a
  x = [-2 +/- √(2² - 4(3)(-1))]/2(3)
  x = [-2 +/- √(4 - (-12))]/6
  x = [-2 +/- √(16)]/6
  x = [-2 +/- 4]/6
  x = -1 और 1/3
4
इक्वेशंस के सिस्टम के साथ एक्सपेरिमेंट करें: एक बार में एक से ज्यादा इक्वेशंस सॉल्व करना आपको काफी मुश्किल लग सकता है, लेकिन जब आप सिम्पल एल्जेब्रा इक्वेशंस के साथ काम कर रहे हों, तब ये असल में उतना भी मुश्किल नहीं होता। अक्सर, एल्जेब्रा टीचर्स इस तरह की प्रॉब्लम्स को सॉल्व करने के लिए ग्राफिंग अप्रोच फॉलो किया करते हैं। जब आप दो इक्वेशंस के सिस्टम के साथ काम कर रहे हों, तब ग्राफ पर मौजूद पॉइंट्स, जहां पर लाइन दोनों इक्वेशंस को क्रॉस करे, इसके सोल्यूशंस होते हैं।
- उदाहरण के लिए, मान लेते हैं, हम एक ऐसे सिस्टम के साथ काम कर रहे हैं, जिसमें y = 3x - 2 और y = -x - 6 इक्वेशंस शामिल हैं। अगर हम इन दोनों लाइंस को ग्राफ पर ड्रॉ करते हैं, हमें एक ऐसी लाइन मिलती है, जो एक गहरे एंगल में जाती है और एक नीचे एक हल्के से एंगल में जाती है। चूंकि ये लाइंस (-1,-5) पॉइंट क्रॉस होती हैं, यही सिस्टम के लिए एक सोल्यूशन होता है।^{[८]Xरिसर्च सोर्स}
- अगर हम अपनी प्रॉब्लम को चेक करना चाहें, तो हमारे सिस्टम में अपने आन्सर को इक्वेशंस में रखने पर — एक सही आन्सर दोनों के लिए ही "काम" करेगा।
  y = 3x - 2
  -5 = 3(-1) - 2
  -5 = -3 - 2
  -5 = -5
  y = -x - 6
  -5 = -(-1) - 6
  -5 = 1 - 6
  -5 = -5
- दोनों इक्वेशंस की "जांच हो चुकी है", इसलिए हमारा आन्सर सही है!

सलाह

ऑनलाइन एल्जेब्रा सीखने वाले लोगों के लिए रिसोर्सेस के कई सारे ऑप्शन्स होते हैं। उदाहरण के लिए, "algebra help" जैसी बस एक सिम्पल सर्च इंजन क्विरी (सवाल) से भी कई सारे अच्छे रिजल्ट्स मिल जाते हैं। आपको विकिहाउ पर मौजूद मैथ आर्टिकल्स भी ब्राउज़ करके देखना चाहिए। आपके लिए बहुत सारी जानकारी मौजूद है, इसलिए उसे आज से ही एक्सप्लोर करना शुरू कर दें!
khanacademy.com एल्जेब्रा बिगिनर्स के लिए एक बहुत अच्छी साइट है। ये फ्री साइट कई सारे टॉपिक्स के ऊपर आसानी से फॉलो किए जाने वाले लेसन्स ऑफर किया करती है, जिसमें एल्जेब्रा भी शामिल है। बहुत ज्यादा बेसिक्स से लेकर एडवांस्ड यूनिवर्सिटी लेवल टॉपिक्स तक, हर कुछ के लिए वीडियो मौजूद हैं, इसलिए Khan Academy के मटेरियल को देखने और उस साइट पर आपके लिए मौजूद मदद लेने से बिल्कुल भी मत कतराएँ!
जब आप एल्जेब्रा सीखना शुरू कर रहे हों, तब ये मत भूलें, कि ऐसे में वो लोग भी आपके लिए सबसे अच्छे रिसोर्सेस हो सकते हैं, जिनके साथ में पहले से ही काफी कम्फ़र्टेबल हैं। अगर आपको पिछले सेशन के लिए किसी भी तरह की मदद की जरूरत पड़े, तो आपके साथ में क्लास ले रहे फ्रेंड्स या स्टूडेंट्स के साथ में बात करके देखें।
बहुत से लोग BODMAS (बोडमास) की तरह ऑपरेशन्स के ऑर्डर को यूज किया करते हैं। इसका मतलब . Brackets, of, Division, Multiplication, Addition and Subtraction होता है।