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この記事の共著者 : Daron Cam. ダロン・キャムはサンフランシスコ・ベイエリアにて数学、科学、全体的な学力向上をサポートする家庭教師サービス「Bay Area Tutors, Inc.」を経営しています。教員として8年以上、個人教師として9年以上の教職経験があります。微積分学、プレ代数学、代数学 I、幾何学、SAT/ACTの数学対策など、あらゆる数学科目に関する指導を提供。カリフォルニア大学バークレー校にて学士号を、セントメアリーズ大学にて数学の教員免許を取得しました。
この記事には8件の参照文献があり、文献一覧は記事の最後に表示されています。
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代数はとても難しそうに見えるかもしれませんが、仕組みを理解することができれば思った以上に簡単です。正しい順序に従って等式を解き、ミスをしないよう整理しながら計算を行いましょう。
ステップ
基本的な数学の演算を確認する 代数を学ぶ時は、まず基本の演算（足し算、引き算、かけ算、割り算）を理解していなければなりません。小学校で習う算数が代数をこなすうえで重要になります。 これらの基礎があやふやなままで代数に進むと、より複雑な概念で躓く可能性があります。必要に応じて復習をしておきましょう。- 必ずしもこうした演算が「得意」でなくても、代数の問題を解くことはできます。例えばアメリカでは、基本的な演算の手間を省くために計算機の使用が認められていることもあります。ただし、万が一計算機の使用が許されない場合でも対処できるよう、自分で計算はできるようになっておきましょう。
演算の順序を理解する 代数方程式を解くうえで、初心者が躓きやすい要素の一つとして挙げられるのが、何から計算し始めるべきかという点です。幸い、こうした問題を解く際は計算の順序が決まっています。まずは括弧の中身を計算し、次に指数、その後にかけ算、割り算、そして足し算、最後に引き算となります。アメリカの子供は括弧（Perentheses）、指数（Exponents）、かけ算（Multiply）、割り算（Divide）、足し算（Add）、引き算（Subtract）の頭文字を並べてPEMDASと暗記します。慣れていない人は、演算の優先順位が身につく練習問題等を解いてみましょう。[1]復習のために、演算の優先順位を繰り返しておきます。- 括弧（Parentheses）
- 指数（Exponents）
- かけ算（Multiplication）
- 割り算（Division）
- 足し算（Addition）
- 引き算（Subtraction）
- 演算の優先順位は代数で重要な役割を担います。誤った順序で解くと答えが変わってしまうこともあるためです。例えば、 8 + 2 × 5 という問題があるとしましょう。足し算を先に行うと 10 × 5 = 50 となりますが、かけ算を先に行うと 8 + 10 = 18 となります。正解は後者のみです。
負の数の扱い方を理解する 代数では負の数も頻繁に用いられるので、負の数が含まれる足し算、引き算、かけ算、そして割り算もこなせるようになっておきましょう。[2]下記は負の数を理解する際の基本の考え方です。より詳しく学ぶ必要がある場合は、負の数を用いた計算ついて別途確認しましょう。- 数直線上に見ると、負の数はゼロを起点として正の数とは反対方向に、正の数と同じ間隔で記載されています。
- 2つの負の数を足すと、より大きな負の数になります。つまり、数値そのものは大きくなるものの、負の数であるため、より減ることとなります。
- 2つの負の符号は相殺されます。つまり、負の数を引くということは、正の数を足すことと同じです。
- 2つの負の数を用いてかけ算、あるいは割り算を行うと、答えは正の数になります。
- 負の数と正の数をかけたり、割ったりすると、答えは負の数になります。
長い問題も整理しながら解けるようになる 短い問題であれば代数も手早く解くことができるかもしれませんが、より複雑な問題になると、何段階もの手順を踏みながら解くことが求められます。ミスをしないためにも、次の手順に進む際は新しい段に計算を書くことで整理しながら解くことを心がけましょう。方程式の両辺に計算式がある際は、すべての段に等号（＝）を書きましょう。こうすることで、間違いがあった際も、どこで間違えたのか見つけやすくなり、すぐに修正できます。- 例えば、 9/3 - 5 + 3 × 4 という方程式は、次のように整理することができます。
- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- 10
広告- 例えば、 9/3 - 5 + 3 × 4 という方程式は、次のように整理することができます。
数字でない記号を探す 代数の問題を解いていると、数字以外の文字や記号も含まれることがあるということに気づくでしょう。これらは変数と呼ばれています。初めて目にすると難しそうに感じるかもしれませんが、実際の値が分からない数字を示しているだけのことです。[3]例えば、下記のような変数が一般的に用いられています。- アルファベット（x、y、z、a、b、cなど）
- ギリシャ文字（例えばセータ「θ」）
- 数字以外の文字全ての値が分からないとは限りません。円周率を意味する「π」であれば、常に3.14159...です。
変数は「未知数」として考える 上記にもあるように変数とは値の分からない数字です。つまり、何らかの数字を当てはめて方程式を完成させることができるということを意味しています。一般的に、代数の問題では変数の値を見つけることが求められます。言い換えれば、発見すべき未知数だと言えるでしょう。- 例えば、 2x + 3 = 11 という方程式では、x が変数です。この左辺の x に何らかの数字を当てはめると 11 になるということを意味しています。 2 × 4 + 3 = 11 なので、この場合 x = 4 となります。
- 変数をクエスチョンマークに置き換えて考えてみると分かりやすいかもしれません。例えば、 2 + 3 + x = 9 は 2 + 3 + ? = 9 と書き換えることができます。こうすると、何をすべきなのかが視覚的にも伝わりやすくなります。つまり、 2 + 3 = 5 にどの数字を当てはめると9になるのかを突き止めれば良いので、もちろん 4 となります。
複数回登場する変数に対応する 変数が2回以上用いられている場合は簡素化しましょう。2回以上同じ変数が用いられている時は、一見難しそうに見えますが、実は正常数と同じような考えで対処すれば良いだけです。つまり、同じ変数である限り、変数も足し算や引き算などをすることができます。例えば、x + x = 2x であっても x + y を 2xy とすることはできません。- 2x + 1x = 9 という問題があるとしましょう。この場合、2x と 1x を足して 3x = 9 と直すことができます。3 x 3 = 9 なので、x = 3 ということが分かります。
- こうした処理ができるのは同じ変数同士だけだということを忘れないようにしましょう。2x + 1y = 9 という問題の場合、2x と 1y は異なる変数なので足すことはできません。
- これは、異なる指数が含まれている変数も当てはまります。例えば、2x + 3x2 = 10 という問題の場合、 2x と 3x2 を足すことはできません。x に含まれる指数が異なるためです。 不安がある人は、別途、指数の足し算の方法を確認しましょう。
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変数を孤立化させる 代数方程式が問題に出された際、一般的に変数の値を見つけることが求められます。代数の問題には数字か変数、あるいはその両方が両辺に含まれています（例えば x + 2 = 9 × 4）。変数を求めるには、まずはその変数を一方の辺に孤立させる必要があります。計算を行った後に反対側の辺に残っている値が答えとなります。- 既出の x + 2 = 9 × 4 の場合、まず変数（x）を左辺に孤立させるためには、「+2」を取り除かなければなりません。この場合、左右両方の辺から2を差し引けば完了します。つまり x = 9 × 4 - 2 と書き換えられます。演算の優先順位に従って、まずかけ算、次に引き算を行うと、x = 36 - 2 = 34 となります。
足し算は引き算で、引き算は足し算で相殺する 上記からも分かるように、一方の変に変数（x）を孤立させるということは、一般的に、その隣にある数字を取り除くということを意味しています。それには、「逆」の演算を両辺で行えばよいのです。例えば、 x + 3 = 0 の場合、変数の隣に「+3」があることがわかります。従って左右の両辺に「-3」を加える必要があります。「⁺3」と「-3」という組み合わせによって一方の変には変数「x」のみが残り、もう一方の辺には「‐3」が残ります。次のようになります。 x = -3- 一般的に、足し算と引き算は逆同士です。一方にもう一方を組み合わせることで相殺されます。下記を参考にしましょう。
- 足し算の場合は引きましょう。 x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- 引き算の場合は足しましょう。 x - 4 = 20 → x = 20 + 4
- 一般的に、足し算と引き算は逆同士です。一方にもう一方を組み合わせることで相殺されます。下記を参考にしましょう。
かけ算は割り算で、割り算はかけ算で相殺する かけ算と引き算は足し算と引き算と比べると、少しややこしいですが、同じように逆同士の関係です。一方の辺に「x3」がある場合は、両方の辺を3で割ることで相殺することができます。- かけ算と割り算の場合、等号をはさんだ反対側の「すべての項に」逆の演算を行わなければなりません。2つ以上の数字が対象となる時も、このルールは変わりません。下記を参考にしてみましょう。
- かけ算の時は割ります。例えば 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2)/6 となります。
- 割り算の時はかけます。例えば x/5 = 25 → x = 25 × 5 となります。
- かけ算と割り算の場合、等号をはさんだ反対側の「すべての項に」逆の演算を行わなければなりません。2つ以上の数字が対象となる時も、このルールは変わりません。下記を参考にしてみましょう。
指数は平方根で、平方根は指数で相殺する 指数は中学校の数学では必修事項です。指数の仕組みの理解があやふやな人は別途復習しておきましょう。指数の逆にあたるのは同じ数の平方根です。例えば、指数 2 の逆にあたるのはt (√) で 指数 3 の逆にあたるのは (3√) と続いていきます。[4]- 難解に感じられるかもしれませんが、多くの場合、指数を取り扱う時は両辺の平方根を取るだけで済みます。その一方で、平方根を取り扱う時は同じ指数の関係にする必要が出てきます。
- 指数の場合は次のように平方根を取ります。 x2 = 49 → x = √49
- 平方根の場合は次のようになります。√x = 12 → x = 122
広告- 難解に感じられるかもしれませんが、多くの場合、指数を取り扱う時は両辺の平方根を取るだけで済みます。その一方で、平方根を取り扱う時は同じ指数の関係にする必要が出てきます。
視覚材料を使う 代数の問題を上手く思い描けず苦労している人は、図表や絵を使って方程式を表してみましょう。場合によってはレゴブロックやコインといったものを複数用意しても良いでしょう。[5]- 例えば、 x + 2 = 3 という問題を四角形 (☐) を使って解いてみましょう。
- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- 両辺から四角形を2つ (☐☐) 取り除くことで2を引きましょう。
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
- ☒=☐、つまり x = 1
- 次は 2x = 4 で考えてみましょう。
- ☒☒ =☐☐☐☐
- 両辺の四角形を2つのグループに分けることで、2で割りましょう。
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
- ☒ = ☐☐、つまり x = 2
- 例えば、 x + 2 = 3 という問題を四角形 (☐) を使って解いてみましょう。
問題文を元に計算式を作る際は特に、整合性を確認する 言葉で説明されている問題を代数方程式に書き起こす際は、分かりやすい数字を変数に当てはめて、式が理にかなっているか確認しましょう。 x=0、 x=1、 あるいは x = -1 の時にその方程式は正しく機能していますか？ p=d/6 であるべきところを、誤って p=6d と書いてしまうことはよくありますが、次に進む前に手短に整合性を確認すれば防ぐことができます。- 例えば、アメフトのフィールド全体の長さ（l）は幅（w）よりも30ヤード長いと仮定しましょう。この関係を l = w + 30 と表すことができます。この方程式が間違っていないかどうか、幅（w）に簡単な数を当てはめて考えてみましょう。幅が10ヤード（w = 10）である場合、長さは 10 + 30 = 40ヤードです。幅が30ヤード（w＝30）である場合、長さは 30 + 30 = 60ヤード、といったように計算することができます。フィールドの幅が伸びるほど、長さも増すということが分かるので、この方程式は理にかなっているということが確認できます。
整数が答えでないこともあるということを理解する 代数などの数学では、常に切りの良い数が答えになるとは限りません。小数、分数、あるいは無理数が答えになることも、しばしばあります。こうした複雑な答えを求める時は計算機があると便利ですが、担当教師によっては、扱いにくい小数ではなく、ぴったりの答えを提示するよう指示を出す人もいるでしょう。- 例えば、代数の計算を行い、 x = 12507 まで突き留めたとしましょう。12507 を計算機に入力すると、延々と続く長い少数が答えとして表示されます（さらに、計算機の画面には限りがあるので、全てが表示されることはありません）。この場合、答えは 12507 と表すか、あるいは何らかの科学的記数法を用いて簡素化した方が良いかもしれません。
解法の幅を広げる 代数の基本を理解できたという手ごたえが感じられるようになったら、因数分解を試してみましょう。これは、代数で用いる手法の中で最もややこしいものの1つで、複雑な方程式を簡素化する際の近道となります。因数分解は代数の学習において、準上級向けの内容なので、理解があやふやな場合は、まずは因数分解の解説などを確認しましょう。下記はいくつかの簡単なコツです。- ax + ba という方程式は a(x + b)と直すことができます。例えば、 2x + 4 = 2(x + 2) となります。
- ax2 + bx という方程式は、「c」が「a」と「b」のいずれも割り切ることのできる最大数である場合、 cx((a/c)x + (b/c)) となります。例えば、3y2 + 12y = 3y(y + 4) となります。
- x2 + bx + c は、 y × z = c で yx + zx = bx である場合、(x + y)(x + z) となります。例えば、x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) です。
コツコツと練習をする 代数（あるいは数学全般）に慣れるには何度も繰り返し練習することが不可欠です。心配する必要はありません。授業をしっかりと聞き、宿題をこなし、教師やクラスメートの助けを必要に応じて借りていれば、代数も徐々に自然に解けるようになるでしょう。
難しい問題は教師の助言を求める 代数になかなか慣れることができず苦労していても、焦る必要はありません。初めから最後まで一人で学習しなければならないわけではないのです。質問がある時はまず教師に相談してみましょう。授業の後、礼儀正しく質問してみましょう。優れた教師であれば、その日の授業で取り扱った内容も快く放課後にもう一度説明してくれるでしょう。場合によっては、余分に練習問題を用意してくれるかもしれません。- 何らかの事情で教師が時間を作ることが難しい場合は、利用することのできる方法が他にないか聞いてみましょう。 試験が近くなると、一時的に放課後に復習のための時間を設ける学校もあります。授業だけでは足りなかった生徒に対して時間をかけて丁寧に説明してもらえる時間です。こうした仕組みを利用して代数に慣れていきましょう。助けを借りることは決して恥ずべきことではありません。助けを求めることができるということは、その人がそれだけ賢く、問題も解けるようになるということを意味しています。
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「x」と「y」が用いられた方程式をグラフで表す グラフは、普段数字で表す概念を視覚的に分かりやすく表すことができる便利な方法です。[6]一般的に、代数の入門編では、グラフで表すのは変数が2つ方程式（ほとんどの場合が x と y ）までで、簡単な平面のグラフにx軸とy軸を用いて描きます。この場合、x に値を入力して y を得て（あるいはその反対）、2つの値からグラフ上の座標が分かれば完了です。- 例えば、y = 3x で考えてみましょう。x に2を当てはめるとy = 6 となります。これはつまり、(2, 6)（x軸上を右に向かって2、y軸上を上に向かって6）という座標がグラフに含まれるということを意味しています。
- 基本の代数では y = mx + b （m と b は数字）という方程式が特に頻繁に用いられます。この時、m を（直線の）傾き、b を切片（直線がy軸と交差する点）と呼びます。
不等式を解けるようになる 方程式に等号が用いられていないこともあります。こうした時も、実は実際に行う手順はあまり変わりません。不等式（○○より大きいを意味する「>」や、○○より小さいを意味する 「<」を含む式）の場合も、解き方は同じです。答えもイコールの関係ではなく、変数よりも大きい、あるいは小さいという関係になります。- 3 > 5x - 2 という問題があるとしましょう。通常の等式のように解きます。
- 3 > 5x - 2
- 5 > 5x
- 1 > x、あるいは x < 1
- この答えはつまり、「x には1よりも小さいあらゆる数が当てはまる」ということを意味しています。例えば、0、‐1、‐2 などが変数に当てはまります。こうした数を当てはめると、答えは常に3よりも小さくなります。
- 3 > 5x - 2 という問題があるとしましょう。通常の等式のように解きます。
二次方程式を解く 代数初心者の多くが悩むのが二次方程式です。二次方程式は、 ax2 + bx + c = 0 で表されます（a、b、cはゼロ以外の数字）。この方程式は、 x = [-b ± √(b2 - 4ac)]/2a と展開し解きます。ただし気をつけなければならない点があります。「±」と表記されている場合は、足した時と引いた時の両方の答えを提示する必要があります。どちらの答えも用意しておきましょう。- 例として 3x2 + 2x -1 = 0 を解いてみましょう。
- x = [-b ± √(b2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 ± √(22 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 ± √(4 - (-12))]/6
- x = [-2 ± √(16)]/6
- x = [-2 ± 4]/6
- x = -1 と 1/3
- 例として 3x2 + 2x -1 = 0 を解いてみましょう。
連立方程式にも挑戦する 2つ以上の方程式を1度に解くというのは、ややこしいですが、単純な代数方程式を扱っていれば、実はさほど難しいものではないということに気づくでしょう。教師の中にはグラフにして描く人もいます。2つの方程式からなる連立方程式を解くことによって求めた答えは、2つの方程式（線）が交わるグラフ上の座標を指しています。- 例えば、 y = 3x - 2 と y = -x - 6 で構成されている連立方程式があると仮定しましょう。この2つの線をグラフに描くと、一方が急角度、もう一方は緩やかな角度の線であることが分かります。これら2つの線は (-1,-5) で交差するので、これがこの連立方程式の答えとなります。[7]
- 答えを確認したい場合は、方程式に当てはめて計算してみましょう。答えが正しければ、どちらの一次方程式でも機能します。
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
- どちらも確認ができたので完了です。
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ポイント
- 代数を学ぶ人が活用できる情報をインターネット上で見つけることもできます。例えば、「代数、解き方」といった簡単な検索用語を入力するだけでも、役立つ情報が沢山出てきます。また、WikiHowで掲載されている数学に関する記事を検索してみるのも良いかもしれません。 インターネットを介して様々な情報が手に入るので、さっそく調べてみましょう。
- 代数初心者にとって心強いのが「カーンアカデミー」です。これは、代数を含む算数や数学の解説が掲載されたアメリカ発祥のフリーサイトで、英語版「khanacademy.com」では最も基本的な内容に関するものから、大学で学ぶような問題に至るまで網羅されています。それ以外にも、代数を解説したサイトはたくさんありますので、必要に応じてどんどん活用してみましょう。
- 代数を学ぼうとしている時、最も頼りになるのは、実は身の周りの気心の知れた人かもしれません。授業内容で分からないことがあった時は友達やクラスメートに相談してみましょう。
- 演算子の優先順位をPEMDASと省略して覚えるのは主にアメリカです。イギリスでは、BODMASと呼ぶのが一般的です。これは「Brackets」、「of」、「Division」、「Multiplication」、「Addition」、そして「Subtraction」の頭文字を順に並べたものです。
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出典
- ↑ https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/negative.html
- ↑ https://www.techopedia.com/definition/1816/variable-mathematics
- ↑ http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/COURSE_TEXT2_RESOURCE/U16_L1_T3_text_final.html
- ↑ https://www.smartickmethod.com/blog/math/operations-and-algebraic-thinking/algebra/singapore-bars-algebraic-equations/
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-graphing-lines-and-slope
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/systlin1.htm
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