Algebra leren

Het leren van algebra is belangrijk om verder te kunnen gaan met bijna elk onderdeel van de wiskunde in het middelbaar en hoger onderwijs. Elk niveau van de wiskunde is gebouwd op de basis, en daarmee is elk wiskundeniveau bijzonder belangrijk. Echter zelfs de meest basale wiskundige vaardigheden kunnen lastig zijn voor beginners om te begrijpen, als ze er voor de eerste keer mee worden geconfronteerd. Als je worstelt met fundamentele onderwerpen van de algebra, maak je dan geen zorgen. Met een beetje uitleg, een paar eenvoudige voorbeelden en wat tips om je vaardigheden te verbeteren ben je al snel een kei in algebra.

Deel 1

Deel 1 van 5:

De basisregels van de algebra leren

Pdf downloaden

1
Neem de basisvaardigheden van het rekenen nog eens door. Om algebra te leren zal je de basisvaardigheden moeten kennen, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Deze rekenvaardigheden zoals je die leert op de basisschool is essentieel voor je begint aan algebra. Heb je deze vaardigheden niet onder de knie, dan zal het lastig worden om de complexere concepten zoals die binnen algebra worden behandeld, te leren. Als je een opfriscursus nodig hebt wat betreft deze bewerkingen, kijk dan op How.com.vn voor artikelen over de basis van het rekenen.
- Het is niet noodzakelijk om heel goed te zijn in hoofdrekenen wil je algebra goed kunnen doen. Vaak zal je tijdens de wiskundeles wel met een rekenmachine mogen werken, om tijd te besparen tijdens het doen van de eenvoudige sommen. Je hoort in ieder geval rekensommen te kunnen maken zonder rekenmachine, voor het geval je die niet mag gebruiken.
2
Leer de volgorde van de bewerkingen. Een van de lastigste dingen als het gaat om het oplossen van een wiskundige vergelijking is dat je weet waar je moet beginnen. Gelukkig is er een bepaalde volgorde waarin je deze opgaven oplost: eerst komen de termen tussen haakjes, daarna de exponenten/machten, vervolgens het vermenigvuldigen, delen, optellen en uiteindelijk aftrekken. Een handig ezelsbruggetje om de volgorde van de bewerkingen te onthouden is, 'Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen' (of als acroniem HMWVDOA). Kijk op How.com.vn voor artikelen over het toepassen van de volgorde van de bewerkingen. Ter herinnering volgt hier nogmaals de volgorde van bewerkingen:
- Haakjes
- Machtsverheffen
- Worteltrekken
- Vermenigvuldigen
- Delen
- Optellen
- Aftrekken
- De volgorde van de bewerkingen is belangrijk binnen de wiskunde, omdat een verkeerde volgorde ervoor kan zorgen dat er een ander antwoord wordt gevonden. Bijvoorbeeld, heb je de opgave 8 + 2 × 5, en je telt eerst 2 op bij 8, dan krijg je 10 × 5=50 als antwoord. Maar vermenigvuldig je 2 eerst met 5, dan volgt daaruit dat 8 + 10=18. Alleen het tweede antwoord is juist.
3
Leer hoe je negatieve getallen gebruikt. In algebra is het gewoon om negatieve getallen te gebruiken, dus is het verstandig om nog eens door te nemen hoe je negatieve getallen optelt, aftrekt, vermenigvuldigt en deelt, voor je verdergaat met algebra. Hieronder vind je slechts enkele beginselen van het werken met negatieve getallen die je zal moeten onthouden — voor meer informatie, zie de artikelen op How.com.vn over het optellen en aftrekken en het delen en vermenigvuldigen van negatieve getallen.
- Op een getallenlijn is een negatieve versie van een getal even ver verwijderd van de nul als die aan de positieve kant, maar dan in de tegenovergestelde richting.
- Het optellen van twee negatieve getallen maakt de som negatiever (met andere woorden, de cijfers worden groter, maar omdat het getal negatief is, is het een lager getal).
- Twee negatieve tekens heffen elkaar op — het aftrekken van een negatieve getal is hetzelfde als het optellen van een positieve getal.
- Vermenigvuldigen of delen van twee negatieve getallen geeft een positief antwoord.
- Vermenigvuldigen of delen van een positief getal en een negatief getal geeft een negatief antwoord.
4
Leer hoe je lange opgaven indeelt. Hoewel eenvoudige algebra-opgaven vaak gemakkelijk op te lossen zijn, kunnen gecompliceerdere opgaven heel veel stappen vergen om uit te werken. Om fouten te vermijden begin je in ieder geval elke keer op een nieuwe regel, zodra je een stap verder bent in het oplossen van de opgave. Heb je te maken met een vergelijking met termen aan twee zijden van het isgelijkteken, probeer deze tekens ('=') dan onder elkaar te schrijven. Op die manier zal een eventuele fout in je berekening veel gemakkelijker op te sporen zijn.
- Bijvoorbeeld, om de vergelijking 9/3 - 5 + 3 × 4 op te lossen, ordenen we onze opgave zoals dit:
  9/3 - 5 + 3 × 4
  9/3 - 5 + 12
  3 - 5 + 12
  3 + 7
  10
Advertentie

Deel 2

Deel 2 van 5:

Variabelen begrijpen

Pdf downloaden

1
Zoek naar symbolen die geen getallen zijn. In algebra krijg je te maken met letters en symbolen in je wiskunde-opgaven, in plaats van alleen maar getallen. Deze heten variabelen. Variabelen zijn niet zo moeilijk als ze wel lijken op het eerste zicht – het zijn gewoon manieren om getallen met onbekende waarden weer te geven. Hieronder vind je een aantal veel voorkomende voorbeelden van variabelen in algebra:
- Letters zoals x, y, z, a, b, en c
- Griekse letters zoals theta, of θ
- Merk op dat niet alle symbolen onbekende variabelen zijn. Bijvoorbeeld: pi of π, is altijd gelijk aan (afgerond) 3,1459.
2
Beschouw variabelen als 'onbekende' getallen. Zoals hierboven al aangegeven zijn variabelen over het algemeen gewoon getallen met onbekende waarden. Met andere woorden, er is een getal die de plaats van de variabele kan innemen om de vergelijking te laten werken. Meestal is het doel van een algebra-opgave het uitvogelen van wat die variabele is — beschouw het als een 'mysterieus getal' dat je probeert te ontdekken.
- Bijvoorbeeld, in de vergelijking 2x + 3=11, is x de variabele. Dit houdt in dat er een bepaalde waarde is die in de plaats van de x kan komen te staan, om daarmee de linkerzijde van de vergelijking gelijk te maken aan 11. Omdat 2 × 4 + 3=11, geldt in dit geval, x=4.
- Een eenvoudige manier om variabelen te leren begrijpen is door ze te vervangen door een vraagteken in algebra-opgaven. Bijvoorbeeld: herschrijf de vergelijking 2 + 3 + x=9 als 2 + 3 + ?=9. Hiermee kun je eenvoudige zien wat de bedoeling is — we moeten uitzoeken welk getal we bij 2 + 3=5 op moeten tellen om 9 te krijgen als antwoord. Het antwoord is weer 4, natuurlijk.
3
Als een variabele meerdere malen verschijnt, vereenvoudig de variabelen dan. Wat doe je als dezelfde variabele meerdere malen in een vergelijking voorkomt? Hoewel dit een lastige situatie lijkt te zijn, kun je variabelen op dezelfde manier behandelen als normale getallen — met andere woorden, je kunt ze optellen, aftrekken, enz. zolang je alleen maar variabelen combineert die hetzelfde zijn. Met andere woorden, x + x=2x, maar x + y is niet gelijk aan 2xy.
- Bijvoorbeeld: kijk naar de vergelijking 2x + 1x=9. In dit geval tellen we 2x en 1x bij elkaar op, zodat we 3x=9 krijgen. Omdat 3 x 3=9, weten we nu dat x=3.
- Merk nogmaals op dat je alleen variabelen bij elkaar kunt optellen die aan elkaar gelijk zijn. In de vergelijking 2x + 1y=9, kunnen we 2x en 1y niet met elkaar combineren, omdat het hierbij gaat om twee verschillende variabelen.
- Dit is ook waar wanneer de ene variabele een andere exponent heeft dan de andere. Bijvoorbeeld: in de vergelijking 2x + 3x²=10, zijn 2x en 3x² niet te combineren, omdat de x-variabelen verschillende exponenten hebben. Kijk op How.com.vn voor meer informatie over het optellen van exponenten.
Advertentie

Deel 3

Deel 3 van 5:

Vergelijkingen oplossen door weg te werken

Pdf downloaden

1
Isoleer de variabele in de vergelijking. Het oplossen van een vergelijking in algebra houdt over het algemeen in dat je probeert te bepalen wat de variabele is. Algebraïsche vergelijkingen kennen meestal getallen en/of variabelen aan beide zijden, zoals dit: x + 2=9 × 4. Om te bepalen wat de variabele is, zal je het aan een kant van het isgelijkteken moeten plaatsen. Wat er overblijft aan de andere zijde van het isgelijkteken is het antwoord.
- In het voorbeeld (x + 2=9 × 4), om x te isoleren aan de linkerkant van de vergelijking, moeten we afkomen van de '+ 2'. Om dit te doen trekken we 2 af van deze kant, waardoor we x=9 × 4 overhouden. Om beide zijden van de vergelijking gelijk aan elkaar te maken moeten we ook 2 aftrekken van de andere kant. Hierdoor houden we x=9 × 4 – 2 over. Volgens de volgorde van bewerkingen, vermenigvuldig we eerst, daarna komt aftrekken en krijgen we als antwoord x=36 - 2=34.
2
Werk een optelling weg door af te trekken (en vice versa). Zoals we hierboven hebben gezien, houdt het isoleren van x aan een kant van het isgelijkteken meestal in dat je af probeert te komen van de getallen er direct naast. Dit doe je door de 'tegenovergestelde' bewerking uit te voeren aan beide zijden van de vergelijking. Bijvoorbeeld, in de vergelijking x + 3=0, plaatsen we een '- 3' aan beide zijden, omdat er een '+ 3' staat naast de x. Hierdoor isoleer je x en krijg je '-3' aan de andere kant van het isgelijkteken, zoals dit: x=-3.
- Over het algemeen zijn optellen en aftrekken aan elkaar 'tegengesteld' — de ene werkt de weg. Zie hieronder:
  Bij optellen, aftrekken. Voorbeeld: x + 9=3 → x=3 - 9
  Bij aftrekken, optellen. Voorbeeld: x - 4=20 → x=20 + 4
3
Werk vermenigvuldigen weg door te delen (en vice versa). Vermenigvuldigen en delen zijn wat lastiger om mee te werken dan optellen en aftrekken, maar ze hebben dezelfde 'tegengestelde' relatie. Zie je een '× 3' aan de ene kant, dan kun je die wegwerken door beide zijden door 3 te delen.
- Met vermenigvuldigen en delen, moet je de tegengestelde bewerking uitvoeren op alles aan de andere kant van het isgelijkteken, zelfs als het meer is dan één getal. Zie hieronder:
  Bij vermenigvuldigen, delen. Voorbeeld: 6x=14 + 2→ x=(14 + 2)/6
  Bij delen, vermenigvuldigen. Voorbeeld: x/5=25 → x=25 × 5
4
Werk exponenten weg door worteltrekken (en vice versa). Exponenten is een gevorderd onderwerp binnen de algebra — weet je niet wat je daarmee moet doen, lees dan het How.com.vn-artikel voor beginners over exponenten. De 'tegengestelde' van een exponent is de wortel tot de macht van dat getal. Bijvoorbeeld, de tegengestelde van de exponent² is de vierkantswortel (√), de tegengestelde van de exponent³ is de derdemachtswortel (³√), enz.
- Dit kan wat verwarrend zijn, maar in deze gevallen neem je de wortel van beide zijden, wanneer je te maken hebt met een exponent. Aan de andere kant neem je ook de exponent van beide zijden, wanneer je te maken hebt met een wortel. Zie hieronder:
  Bij exponenten, neem de wortel. Voorbeeld: x²=49 → x=√49
  Bij wortels, neem de exponent. Voorbeeld: √x=12 → x=12²
Advertentie

Deel 4

Deel 4 van 5:

Je wiskundevaardigheden aanscherpen

Pdf downloaden

1
Gebruik afbeeldingen om opgaven duidelijker te maken. Lukt het niet om een algebra-opgave voor te stellen, gebruik dan grafieken of plaatjes om de vergelijking uit te beelden. Je kunt zelfs een groep met objecten gebruiken (zoals blokken of munten) als je die bij de hand hebt.
- Laten we bijvoorbeeld de vergelijking x + 2=3 oplossen met behulp van vakken (☐)
  x +2=3
  ☒+☐☐=☐☐☐
  Op dit punt aangekomen trek je 2 van beide zijden af, door 2 vakken (☐☐) aan beide zijden te verwijderen:
  ☒+☐☐-☐☐=☐☐☐-☐☐
  ☒=☐, of x=1
- Een ander voorbeeld: 2x=4
  ☒☒=☐☐☐☐
  Op dit punt aangekomen, delen we beide zijden door twee, door de vakken aan beide zijden in twee groepen te delen:
  ☒|☒=☐☐|☐☐
  ☒=☐☐, of x=2
2
Gebruik 'logische controles' (zeker als het gaat om vraagstukken). Wanneer je een vraagstuk moet omzetten naar een algebraïsche vergelijking, controleer je formule dan door het verwerken van eenvoudige waarden in de variabelen. Klopt je vergelijking wanneer x=0? Wanneer x=1? Wanneer x=-1? Het is eenvoudig om kleine fouten te maken tijdens het noteren van iets als p=6d, wanneer je p=d/6 bedoelt, maar deze ontdek je snel genoeg als je het werk dat je hebt gedaan controleert voor je verdergaat.
- Bijvoorbeeld: Stel we hebben een voetbalveld dat 30 meter langer is dan het breed is. We gebruiken de vergelijking l=w + 30 om dit voor te stellen. We kunnen deze vergelijking testen door eenvoudige waarden in te voeren voor w. Bijvoorbeeld: als het veld w=10 meter breed is, dan zal het 10 + 30=40 meter lang zijn. Is het 30 meter breed, dan zal het 30 + 30=60 meter lang zijn, enz. Dit lijkt logisch — we verwachten dat het veld langer wordt als het breder wordt, dus lijkt deze vergelijking een redelijke oplossing.
3
Houd er rekening mee dat antwoorden niet altijd gehele getallen zijn in de wiskunde. Antwoorden in algebra en andere takken van de wiskunde zijn niet altijd ronde, gemakkelijke getallen. Vaak zijn het decimalen, breuken of irrationale getallen. Een rekenmachine kan helpen bij het vinden van deze gecompliceerde antwoorden, maar houd er rekening mee dat je leraar van je kan vragen het antwoord exact te geven, en niet in een onhandige decimaal.
- Bijvoorbeeld, stel we hebben een algebraïsche vergelijking teruggebracht tot x=1250⁷. Als we 1250⁷ invoeren in een rekenmachine, dan krijgen we een enorme reeks cijfers achter de komma (omdat het scherm van de rekenmachine een beperkte ruimte heeft, kan het niet het volledige antwoord laten zien). In dit geval kunnen we het antwoord gewoon weergeven als 1250⁷ of het antwoord vereenvoudigen door het in wetenschappelijke notatie te schrijven.
4
Ben je wat vertrouwd met de basis van de algebra, probeer dan te Ontbinden in Factoren. Een van de lastiger vaardigheden in de algebra is het ontbinden in factoren — een soort van kortere weg voor het in een eenvoudiger vorm schrijven van complexe vergelijkingen. Ontbinden in factoren is een redelijk gevorderd onderwerp binnen de algebra, dus raadpleeg het artikel waarvan de link boven is aangegeven, als je het een moeilijk onderwerp vindt. Hieronder vind je een aantal tips om te helpen bij het factoriseren van vergelijkingen:
- Vergelijkingen van de vorm ax + ba factoriseren naar to a(x + b). Voorbeeld: 2x + 4=2(x + 2)
- Vergelijkingen van de vorm ax² + bx factoriseren naar cx((a/c)x + (b/c)) waarbij c het grootste getal is waar a en b volledig in passen. Voorbeeld: 3y² + 12y=3y(y + 4)
- Vergelijkingen van de vorm x² + bx + c factoriseren naar (x + y)(x + z) waarbij y × z=c en yx + zx=bx. Voorbeeld: x² + 4x + 3=(x + 3)(x + 1).
Progressie bij het leren van algebra (en elke andere tak van de wiskunde) vereist veel hard werk en herhaling. Maak je geen zorgen — door op te letten in de klas, al je huiswerk te doen en hulp te vragen van je leraar of andere leerlingen wanneer dat nodig is, zal algebra uiteindelijk een tweede natuur worden.
6
Vraag je leraar om je te helpen bij de lastiger onderwerpen. Vind je het maar moeilijk om de stof onder de knie te krijgen, maak je dan geen zorgen — je hoeft het niet in je eentje te leren. Je leraar is de eerste aangewezen persoon om je te helpen met vragen. Na de les vraag je de leraar beleefd om hulp. Goede leraren zijn meestal wel bereid om een onderwerp nog een keer uit te leggen als je na de les bij hen komt, en kunnen je misschien zelfs voorzien van extra oefenmateriaal.
- Als je leraar je om de een of andere reden niet kan helpen, vraag ze dan naar de mogelijkheden om bijles te krijgen op school. Veel scholen hebben wel de een of andere vorm van extra lessen waardoor je de extra tijd en aandacht krijgt die je nodig hebt om uit te gaan blinken in algebra. Onthoud dat het gebruik maken van gratis hulp die beschikbaar is, niet iets is om je voor te schamen — het is een aanwijzing dat je slim genoeg bent om je opgaven op te lossen!
Advertentie

Deel 5

Deel 5 van 5:

Gevorderde onderwerpen verkennen

Pdf downloaden

1
Leer het maken van een grafiek van een vergelijking. Grafieken zijn waardevolle stukken gereedschap binnen de algebra omdat ze je de mogelijkheid bieden ideeën weer te geven waar je meestal getallen voor nodig hebt in eenvoudig te begrijpen afbeeldingen. Meestal zijn grafieken, als je begint met algebra, beperkt tot opgaven van vergelijkingen met twee variabelen (meestal x en y) en worden weergegeven in een simpele 2-D grafiek met een x-as en een y-as. Bij deze vergelijkingen is het enige dat je hoeft te doen het invullen van een waarde voor x, waarna je het oplost voor y (of omgekeerd) om twee getallen te krijgen die overeenkomen met een punt op de grafiek.
- Bijvoorbeeld, in de vergelijking y=3x, vullen we 2 in voor x, en krijgen we y=6 als antwoord. Dit houdt in dat het punt (2,6) (twee punten naar rechts van het nulpunt en 6 omhoog) onderdeel is van de grafiek van de vergelijking.
- Vergelijkingen van de vorm y=mx + b (waarbij m en b getallen zijn) zijn bijzonder gewoon binnen de basis van de algebra. Deze vergelijkingen hebben altijd een helling m en kruisen de y-as in het punt y=b.
2
Leer het oplossen van ongelijkheden. Wat doe je wanneer een vergelijking geen isgelijkteken heeft? Niets bijzonders vergeleken met wat je anders zou doen, blijkt. Bij ongelijkheden, waarbij je tekens tegenkomt als, > ('groter dan') en< ('kleiner dan'), los je de vergelijking op dezelfde manier op als anders. Het antwoord dat je krijgt is of kleiner of groter dan je variabele.
- Bijvoorbeeld, in de vergelijking 3 > 5x - 2, lossen we deze op dezelfde manier op als een normale vergelijking:
  3 > 5x - 2
  5 > 5x
  1 > x, of x< 1.
- Dit houdt in dat elk getal kleiner dan 1 klopt voor x. Met andere woorden, x kan 0, -1, -2 enz. zijn. Als we deze getallen invullen in de vergelijking voor x, dan krijgen we altijd een antwoord kleiner dan 3.
3
Los kwadratische of vierkantsvergelijkingen op. Een algebraïsch onderwerp waar veel beginners over struikelen is het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Dit zijn vergelijkingen van de vorm ax² + bx + c=0, waarbij a, b en c getallen zijn (behalve dat a niet 0 kan zijn). Deze vergelijkingen lossen we op met de formule x=[-b +/- √(b² - 4ac)]/2a . Wees voorzichtig — de +/- betekent dat je de antwoorden moet vinden voor zowel optellen als aftrekken, zodat er twee antwoorden mogelijk zijn bij dit soort opgaven.
- Een voorbeeld: het oplossen van de kwadratische formule 3x² + 2x -1=0.
  x=[-b +/- √(b² - 4ac)]/2a
  x=[-2 +/- √(2² - 4(3)(-1))]/2(3)
  x=[-2 +/- √(4 - (-12))]/6
  x=[-2 +/- √(16)]/6
  x=[-2 +/- 4]/6
  x=-1 en 1/3
4
Experimenteer met stelsel van vergelijkingen. Het oplossen van meerdere vergelijkingen tegelijkertijd kan wel heel lastig klinken, maar als je werkt met eenvoudige algebraïsche vergelijkingen, dan is het niet zo moeilijk. Vaak gebruiken wiskundeleraren een grafiek om deze opgaven op te lossen. Werk je met stelsels van twee vergelijkingen, dan vind je de oplossing door te kijken naar de punten op de grafiek, waarbij de lijnen van beide vergelijkingen elkaar kruisen.
- Bijvoorbeeld: stel we hebben te maken met een stelsel van de vergelijkingen y=3x - 2 en y=-x - 6. Als we deze twee lijnen in een grafiek tekenen, dan krijgen we een lijn die steil omhoog gaat, en een die minder steil naar beneden gaat. Omdat deze lijnen elkaar kruisen in het punt (-1,-5), is dat de oplossing van het stelsel.^[1]XBron
- Wil je dit controleren, verwerk dan het antwoord in de vergelijkingen van het stelsel — een goed antwoord hoort voor beide vergelijkingen te 'werken'.
  y=3x - 2
  -5=3(-1) - 2
  -5=-3 - 2
  -5=-5
  y=-x - 6
  -5=-(-1) - 6
  -5=1 - 6
  -5=-5
- Beide vergelijkingen 'kloppen', dus is ons antwoord juist!
Advertentie

Tips

Er zijn ladingen bronnen voor mensen die algebra online willen leren. Alleen al een eenvoudige zoekactie in een zoekmachine, zoals 'algebra help' kan tientallen geweldige resultaten geven. Kijk ook eens in de categorie Wiskunde van How.com.vn. Daar vind je enorm veel informatie, dus begin er meteen mee!
Een geweldige site voor beginners in de algebra is khanacademy.com. Deze gratis site biedt ladingen gemakkelijk te volgen lessen over een enorm scala aan onderwerpen, waaronder algebra. Er zijn video's over alles, van extreem eenvoudig tot onderwerpen op universitair niveau, dus schroom niet om gebruik te maken van Khan Academy en alle hulp die deze site je kan bieden!
Vergeet niet dat de beste bronnen voor het leren van algebra mensen zijn die je al kent. Overleg met vrienden of andere leerlingen die dezelfde les volgen, als je hulp nodig hebt met onderwerpen die tijdens de les behandeld zijn.

Advertentie