Comment calculer l'écart absolu moyen de la moyenne

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Calculer une moyenne

Calculer un écart absolu moyen

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Références

Quand on travaille sur des séries de données numériques, on cherche souvent à connaitre le degré de dispersion des valeurs qui les composent, la mesure la plus connue étant la moyenne arithmétique. Cette dernière est enseignée très tôt à l'école : elle consiste à additionner toutes les valeurs de la série et à diviser le résultat par le nombre de valeurs. Il existe une autre mesure un peu plus complexe : l'écart absolu moyen à la moyenne. Il permet d'évaluer le degré de dispersion des valeurs par rapport à une valeur particulière, à savoir la moyenne. Son calcul passe par le calcul de la moyenne simple, c'est ensuite le calcul des écarts de chaque valeur avec cette moyenne, et enfin le calcul de la moyenne de ces écarts.

Étapes

Partie 1

Partie 1 sur 2:

Calculer une moyenne

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   Constituez votre série et déterminez son effectif. Il est toujours possible de calculer la moyenne des valeurs d'une série statistiques, mais si ces valeurs sont éparses, cette moyenne est peu signifiante, elle reste cependant essentielle. Avant de calculer une moyenne, il vous faut des valeurs qui vous sont données dans un exercice ou que vous avez établies lors d'une série d'expériences .

   • Pour éclairer notre propos, nous prendrons la série suivante : 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8 et 12. À dessein, nous avons pris un exemple avec peu de valeurs, ce qui nous permet de voir qu'il y a huit valeurs.
   • En statistiques, l'effectif d'une série, c'est-à-dire le nombre valeurs de la série, est souvent désigné par les lettres $N$ ou $n$.
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   Faites la somme des valeurs de la série. La première étape consiste simplement à calculer la moyenne arithmétique des données de la série. En statistiques, chaque valeur d'une série est désignée, dans l'absolu, par la lettre $x$ (x₁, x₂…, x_n). Quant à elle, la somme des valeurs est désignée ainsi : $\Sigma x$, la lettre grecque $\Sigma$ étant conventionnellement le symbole de la somme. La somme de la série que nous avons prise en exemple se présente ainsi  :

   • $\Sigma x=6+7+10+12+13+4+8+12=72$
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   Divisez ce résultat pour avoir la moyenne. Pour terminer, divisez la somme obtenue par l'effectif de la série. En statistiques, la somme des valeurs d'une série est conventionnellement symbolisée par ${\overline {X}}$. Pour l'exemple utilisé, cela donne la formule  :

   • ${\overline {X}}={\frac {\Sigma x}{n}}={\frac {72}{8}}=9$
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Partie 2

Partie 2 sur 2:

Calculer un écart absolu moyen

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   Dressez un tableau récapitulatif. Pour ne pas faire d'erreurs et pour ne rien oublier, il est préférable de tracer un tableau à trois colonnes. La première colonne aura comme entête $x$ (valeurs de la série), la deuxième sera appelée $x-{\overline {X}}$, quant à la troisième, elle contiendra $|x-{\overline {X}}|$ .

   • Mettez toutes les valeurs de votre série dans la première colonne.
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   Calculez tous les écarts absolus à la moyenne. Dans la deuxième colonne dont l'entête sera $x-{\overline {X}}$, vous indiquerez les écarts à la moyenne de chaque point, c'est-à-dire la différence entre chaque point et la moyenne de la série. Pour cela, soustrayez de la valeur en question la moyenne de la série .

   • Dans l'exemple que nous avons pris, cela donne :
     • $6-9=-3$
     • $7-9=-2$
     • $10-9=1$
     • $12-9=3$
     • $13-9=4$
     • $4-9=-5$
     • $8-9=-1$
     • $12-9=3$
   • Pour voir si vous n'avez pas commis d'erreur, faites la somme des valeurs de cette colonne : vous devez trouver 0. Si ce n'était pas le cas, vous pourriez en conclure que soit votre moyenne est fausse, soit vos écarts le sont. Vérifiez la première, puis les seconds.
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   Calculez la valeur absolue de chaque écart. Si vous établissez des écarts à la moyenne, ce qui vous intéresse, c'est la distance à la moyenne, non de savoir si cette distance est positive ou négative. Heureusement, en mathématiques, il existe une opération pour ne garder que la valeur sans son signe, c'est la valeur absolue, et ici, on a besoin de celle de la différence. Une valeur absolue est symbolisée par deux barres verticales, une de chaque côté de la valeur (|x |) .

   • La valeur absolue, dans cet exemple, indique de combien les valeurs de la distribution s'écartent de la valeur de référence, peu importe si elles sont inférieures ou supérieures à cette dernière.
   • Une valeur absolue s'obtient en faisant disparaitre, s'il y en a un, le signe négatif de chaque nombre de la deuxième colonne. Remplissez la troisième colonne du tableau avec les valeurs absolues des écarts :
   • $x.....(x-{\overline {X}}).....|(x-{\overline {X}})|$
   • $6..........-3..........3$
   • $7..........-2..........2$
   • $10..........1..........1$
   • $12..........3..........3$
   • $13..........4..........4$
   • $4..........-5..........5$
   • $8..........-1..........1$
   • $12..........3..........3$
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   Calculez la moyenne des valeurs absolues des écarts. Une fois le tableau rempli, faites la moyenne des valeurs absolues, celles de la troisième colonne. Comme vous l'avez déjà fait pour la moyenne arithmétique des valeurs de départ, faites celle des valeurs de cette colonne, en les additionnant d'abord, en divisant ensuite ce résultat par l'effectif .

   • Dans l'exemple pris, l'écart moyen à la moyenne s'inscrit de la façon suivante :
     • ${\frac {3+2+1+3+4+5+1+3}{8}}={\frac {22}{8}}=2,75$
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   Analysez le résultat obtenu. L'écart moyen à la moyenne permet d'évaluer le degré de dispersion d'une série de données par rapport à la moyenne. En résumé, il permet de répondre à la question : « Par rapport à la moyenne, comment les valeurs de telle série sont-elles dispersées  ? ».

   • Ainsi, vous avez trouvé que la moyenne était 9 et la dispersion moyenne par rapport à la moyenne, 2,75. Cela veut dire que certaines valeurs sont à moins de 2,75 de la moyenne et d'autres à plus de 2,75. Aucune n'est à 2,75 : ce n'est qu'une moyenne !
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Conseils

• Les calculs sont un peu longs, mais simples : exercez-vous et vous irez de plus en plus vite.

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