Verhältnisse berechnen

Verhältnisse sind mathematische Ausdrücke, die zwei oder mehr Zahlen miteinander vergleichen. Verhältnisse können absolute Größen und Mengen miteinander vergleichen oder können benutzt werden, um Anteile eines größeren Ganzen zu vergleichen. Verhältnisse können auf verschiedene Arten berechnet und dargestellt werden, aber die Grundsätze, die die Verwendung von Verhältnissen bestimmen, sind bei allen gleich.

Teil 1

Teil 1 von 3:

Verhältnisse verstehen

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Verhältnisse werden sowohl in akademischen Fragestellungen als auch bei realen Anwendungen benutzt, um mehrere Größen oder Mengen miteinander zu vergleichen. Das einfachste Verhältnis vergleicht nur zwei Werte, aber es ist auch möglich drei oder mehr Werte miteinander zu vergleichen. In jeder Situation, in der mehr als eine bestimmte Zahl oder Größe miteinander verglichen werden soll, können Verhältnisse angewendet werden. Indem du Mengen zueinander in Verhältnis setzt, kannst du verstehen, wie du chemische Formeln reproduzierst oder Küchenrezepte für mehr Person verwendest. Wenn du sie erst einmal verstanden hast, wirst du dein restliches Leben lang mit Verhältnissen arbeiten.^{[1]XForschungsquelle}
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Lerne Verhältnisse kennen. Wie oben bereits erwähnt, stehen Verhältnisse für die Quantität von mindestens zwei Begriffen in Bezug zueinander. Wenn also z.B. ein Kuchen zwei Tassen Mehl und eine Tasse Zucker enthält, würdest du sagen, dass das Verhältnis zwischen Mehl und Zucker 2 zu 1 ist.
- Verhältnisse können dazu benutzt werden, um die Beziehung zwischen beliebigen Mengen anzugeben, selbst wenn sie nicht direkt miteinander im Zusammenhang stehen (wie sie es in einem Rezept tun). Wenn z.B. fünf Mädchen und zehn Jungen in deiner Klasse sind, ist das Verhältnis von Mädchen zu Jungen 5 zu 10. Die beiden Mengen sind nicht voneinander abhängig oder aneinander geknüpft und können sich verändern, sollte ein Schüler die Klasse verlassen oder ein neuer hinzukommen. Das Verhältnis vergleicht schlicht und einfach die Mengen.
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Achte auf die verschiedenen Formen, in denen ein Verhältnis angegeben werden kann. Verhältnisse können mit Worten ausgedrückt werden oder indem man mathematische Symbole verwendet.^{[2]XForschungsquelle}
- Du wirst oft auf Verhältnisse stoßen, die mit Worten dargestellt werden (wie oben). Da sie so weit verbreitet sind und in so vielen verschiedenen Gebieten verwendet werden, werden sie oft außerhalb der mathematischen oder wissenschaftlichen Welt mit Worten ausgeschrieben.
- Verhältnisse werden auch oft mit einem Doppelpunkt angegeben. Wenn du zwei Zahlen miteinander vergleichst, verwendest du nur einen Doppelpunkt (wie z.B. bei 7 : 13), und wenn du mehrere Zahlen miteinander vergleichst, verwendest du einen Doppelpunkt zwischen jedem Zahlenpaar (wie z.B. in 10 : 2 : 23). In unserem Klassenzimmer Beispiel, können wir das Verhältnis zwischen Mädchen und Jungen auch mit 5 Mädchen : 10 Jungen angeben. Oder wir vereinfachen den Ausdruck zu 5 : 10.
- Verhältnisse werden auch manchmal mit einem Bruchstrich dargestellt. In unserem Beispiel können wir die 5 Mädchen und 10 Jungs auch als 5/10 Verhältnis angeben. Der Term sollte allerdings nicht wie ein Bruchstrich ausgesprochen werden, du solltest dabei nicht vergessen, dass die Zahlen keinen Prozentwerten entsprechen.
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Teil 2

Teil 2 von 3:

Verhältnisse verwenden

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Reduziere ein Verhältnis auf seine einfachste Form. Verhältnisse können wie Brüche gekürzt und vereinfacht werden, indem die gemeinsamen Faktoren (Teiler) gefunden und entfernt werden. Um ein Verhältnis zu kürzen, teile die einzelnen Terme durch die gemeinsamen Faktoren, sollten solche existieren. Dabei darfst du aber nicht den Überblick über die ursprünglichen Werte verlieren, die überhaupt erst zu dem Verhältnis geführt haben.^{[3]XForschungsquelle}
- In unserem Beispiel mit dem Klassenzimmer, 5 Mädchen zu 10 Jungs, haben beide Seiten des Verhältnis den Faktor 5. Dividiere beide Seiten durch 5 (dem größten gemeinsamen Faktor) und du bekommst das Verhältnis 1 Mädchen zu 2 Jungs (oder 1 : 2). Wir sollten aber trotzdem die Ausgangswerte im Blick behalten, auch wenn wir das Verhältnis kürzen. Es sind nicht nur 3 Schüler in der Klasse, sondern 15. Das vereinfachte Verhältnis vergleicht nur die Beziehung zwischen der Anzahl an Mädchen und der Anzahl an Jungs. Es gibt 2 Jungs für jedes Mädchen in der Klasse, nicht genau 2 Jungs und 1 Mädchen.
- Manche Verhältnisse können nicht vereinfacht werden. Zum Beispiel kann das Verhältnis 3 : 56 nicht vereinfacht werden, weil die beiden Zahlen keine gemeinsamen Faktoren haben. 3 ist eine Primzahl und 56 ist nicht durch 3 teilbar.
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Benutze Multiplikation oder Division, um Verhältnisse zu "skalieren". Eine typische Aufgabe mit Verhältnissen verlangt, dass du aus einem Verhältnis ein anderes machst, das entweder größer oder kleiner ist, aber die Proportionen beibehält. Mit anderen Worten: In dieser Art von Aufgabe musst du ein Verhältnis nach oben oder unten "skalieren". Durch Multiplizieren oder Dividieren aller Terme in einem Verhältnis mit der gleichen Zahl, erhältst du ein Verhältnis mit denselben Proportionen wie das ursprüngliche. Deshalb musst du beim Skalieren des Verhältnisses alles mit dem selben Skalierungsfaktor multiplizieren oder dividieren.^{[4]XForschungsquelle}
- Angenommen, ein Bäcker muss die Größe eines Kuchenrezeptes verdreifachen. Wenn das normale Verhältnis zwischen Mehl und Zucke 2 zu 1 ist (2 : 1), müssen beide Zahlen um den Faktor drei vergrößert werden. Die entsprechenden Mengen für das Rezept sind damit 6 Tassen Mehl zu 3 Tassen Zucker (6 : 3).
- Derselbe Vorgang kann auch umgekehrt werden. Wenn der Bäcker nur einen halb so großen Kuchen backen will, müssen beide Mengen mit dem Faktor ½ multipliziert werden (oder durch 2 geteilt). Das Ergebnis wäre 1 Tasse Mehl auf eine halbe Tasse Zucker.
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Finde unbekannte Werte, wenn du zwei gleichwertige Verhältnisse gegeben hast. Ein weiteres typisches Anwendungsgebiet für Verhältnisse, ist die Bestimmung eines unbekannten Werts in einem Verhältnis, wenn der andere Wert und ein weiteres, gleichwertiges Verhältnis gegeben ist. Das Prinzip der Kreuz-Multiplikation macht die Lösung dieser Art von Aufgabe relativ einfach. Schreibe beide Verhältnisse in Bruch-Form, dann setze die beiden Verhältnisse gleich und multipliziere über Kreuz aus, um nach der Unbekannten Variable aufzulösen.^{[5]XForschungsquelle}
- Zum Beispiel, nehmen wir an, wir hätten eine kleine Gruppe Schüler mit 2 Jungs und 5 Mädchen. Wenn wir das Verhältnis von Jungs zu Mädchen beibehalten wollen, wie viele Jungs wären dann in einer Klasse mit 20 Mädchen? Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir zunächst zwei Verhältnisse aufstellen, eines davon mit einer Unbekannten. 2 Jungs : 5 Mädchen = x Jungen : 20 Mädchen. Wenn wir diese Verhältnisse in jeweils einen Bruch schreiben, bekommen wir 2/5 und x/20. Wenn wir jetzt über Kreuz multiplizieren, bleibt uns noch 5x = 40. Diese Gleichung kannst du durch 5 teilen und bekommst damit die Lösung x = 8.
EXPERTENRAT
Grace Imson, MA
Mathelehrerin, City College of San Francisco
Grace Imson ist Mathelehrerin mit mehr als 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist zurzeit Mathelehrerin am City College of San Francisco und war vorher am Math Department an der Saint Louis University. Sie hat Mathematik auf der Ebene von Grundschulen, Mittelschulen, Sekundarschulen und Hochschulen unterrichtet. Sie hat einen Masterabschluss in Erziehungswissenschaft, spezialisiert auf Verwaltung und Betreuung von der Saint Louis University.
Grace Imson, MA
Mathelehrerin, City College of San Francisco
Sieh dir die Reihenfolge der Begriffe an, um den Zähler und den Nenner in einer Textaufgabe herauszufinden. Der erste Term ist normalerweise der Zähler und der zweite ist normalerweise der Nenner. Wenn eine Aufgabe beispielsweise nach dem Verhältnis der Länge eines Elements zu seiner Breite fragt, ist die Länge der Zähler und die Breite der Nenner.
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Teil 3

Teil 3 von 3:

Fehler vermeiden

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Vermeide Textaufgaben bei Verhältnissen in Additionen oder Subtraktionen. Viele Textaufgaben sehen ungefähr so aus: "Ein Rezept verlangt 4 Kartoffeln und 5 Karotten. willst du stattdessen 8 Kartoffeln kochen, wieviele Karotten benötigst du dann, damit das Verhältnis gleich bleibt?" Viele Studenten versuchen es mit der selben Grösse pro Menge, aber du musst multiplizieren, nicht addieren, um das Verhältnis beizubehalten. Hier ein Beispiel der richtigen und eines der falschen Berechnung: :
- Falsch: "8 - 4 = 4, ich habe 4 Kartoffeln dazugezählt. Dies bedeutet, dass ich auch bei den 5 Karotten 4 dazuzählen müsste... Moment! So funktioniert das Verhältnis nicht. Lass es uns nochmals versuchen.
- Richtig: "8 ÷ 4 = 2, Ich habe die Anzahl Kartoffeln mit zwei multipliziert. Das bedeutet, dass ich auch die 5 Karotten mit zwei multiplizieren muss. 5 x 2 = 10, also brauche ich für das neue Rezept 10 Karotten.
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In die gleiche Einheit umwandeln. Einige Textaufgaben können kompliziert werden, wenn verschiedene Einheiten im Spiel sind. Diese sollten vor der Umrechnung in gleiche Einheiten umgewandelt werden. Hier ein Problembeispiel und seine Lösung:
- Ein Drachen hat 500 gr. Gold und 10 kg. Silber. Wie ist das Verhältnis von Gold und Silver im Besitz des Drachens?
- Gramm und Kilogramm sind nicht dieselbe Einheit, du musst sie also umrechnen. 1 Kilogramm = 1,000 Gramm, so 10 Kilogramm = 10 Kilogramm x ${\frac {1,000Gramm}{1Kilogramm}}$ = 10 x 1,000 Gramm = 10,000 Gramm.
- Der Drachen hat 500 Gramm Gold und 10,000 Gramm Silber.
- Das Verhältnis von Gold und Silber ist ${\frac {500GrammGold}{10,000GrammSilber}}={\frac {5}{100}}={\frac {1}{20}}$ .
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Gib die Einheit an. In problematischen Verhältnis Textaufgaben ist es einfacher Fehler zu verhindern, wenn du die Einheiten nach jedem Wert angibst. Denk daran, dieselbe Einheit am Anfang und am Ende einer Fraktion heben einander auf. Nachdem du so viel als möglich gegeneinander aufgehoben hast solltest du mit einer einzigen Einheit für deine Antwort enden.
- Problembeispiel: Wenn du sechs Boxen hast und in jeder dritten Box befinden sich neun Murmeln, wieviele Murmeln hast du dann?
- Falsch: $6Boxen*{\frac {3Boxen}{9Murmeln}}=...$ Halt, hier hebt sich nichts auf, also wäre meine Antwort "Boxen x Boxen / Murmeln." Das macht keinen Sinn.
- Richtig:
  $6Boxen*{\frac {9Murmeln}{3Boxen}}=$ $6Boxen*{\frac {3Murmeln}{1Box}}=$
  
  ${\frac {6Boxen*3Murmeln}{1Box}}=$ ${\frac {6*3Murmeln}{1}}=$ 18 Murmeln.
EXPERTENRAT
Grace Imson, MA
Mathelehrerin, City College of San Francisco
Grace Imson ist Mathelehrerin mit mehr als 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist zurzeit Mathelehrerin am City College of San Francisco und war vorher am Math Department an der Saint Louis University. Sie hat Mathematik auf der Ebene von Grundschulen, Mittelschulen, Sekundarschulen und Hochschulen unterrichtet. Sie hat einen Masterabschluss in Erziehungswissenschaft, spezialisiert auf Verwaltung und Betreuung von der Saint Louis University.
Grace Imson, MA
Mathelehrerin, City College of San Francisco
Ein häufiges Problem besteht darin, zu wissen, welche Zahl als Zähler verwendet werden soll. Bei einer Textaufgabe ist der erste angegebene Begriff normalerweise der Zähler und der zweite angegebene Begriff ist normalerweise der Nenner. Wenn du das Verhältnis der Länge eines Elements zu seiner Breite suchst, wird die Länge zum Zähler und die Breite zum Nenner.
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