Den Definitionsbereich einer Funktion bestimmen

Der Definitionsbereich sind die Werte, die in eine gegebene Funktion eingesetzt werden können. Die möglichen Funktionswerte (y-Werte) werden Wertebereich genannt. Wenn du wissen willst wie man den Definitionsbereich einer Funktion in verschiedenen Situationen bestimmt, folge dieser Anleitung.

Methode 1

Methode 1 von 6:

Grundlagen

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Der Definitionsbereich ist definiert als die Menge aller Werte die, eingesetzt in die Funktion, einen Wert liefern. Mit anderen Worten ist der Definitionsbereich die gesamte Menge an x-Werten, die in eine Funktion eingesetzt werden können, und einen y-Wert liefern.
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Wie finde ich den Definitionsbereich für eine Auswahl an Funktionen?. Der Funktionstyp bestimmt die beste Methode um den Definitionsbereich zu bestimmen. Hier sind die Grundlagen, die du über verschiedene Funktionstypen wissen musst, die im nächsten Abschnitt besprochen werden:
- Eine Polynom-Funktion ohne Wurzeln und Variablen im Nenner. Bei diesem Funktionstyp ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen.
- Eine Funktion mit einem Bruch mit einer Variablen im Nenner. Um den Definitionsbereich für diesen Funktionstyp zu finden setze den Nenner gleich 0 und schließe den Wert aus, den du erhältst, wenn du nach der Variablen auflöst.
- Eine Funktion mit einer Variablen unter der Wurzel. Um den Definitionsbereich für diesen Funktionstyp zu finden setze den Ausdruck unter der Wurzel > 0 und löse nach der Variablen auf, so dass du die Werte findest, die du einsetzen darfst.
- Eine Funktion mit dem natürlichen Logarithmus (ln). Um den Definitionsbereich für diesen Funktionstyp zu finden setze das Argument des Logarithmus > 0 und löse nach der Variablen auf.
- Ein Graph. Überprüfe den Graphen um zu sehen welche Werte du für die Variable einsetzen darfst.
- Eine Relation. Das ist eine Liste mit x- und y-Koordinaten. Dein Definitionsbereich ist dann einfach eine Liste mit x-Koordinaten.
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Schreibe den Definitionsbereich richtig auf. Die richtige Schreibweise ist leicht zu lernen, aber es ist wichtig dass du es richtig hinschreibst um die volle Punktzahl bei Klassenarbeiten und Tests zu erhalten. Hier sind ein paar Dinge, die man wissen sollte über das Aufschreiben eines Definitionsbereich:
- Das Format für den Definitionsbereich ist eine linke Klammer, dann Anfangs- und Endpunkt des Definitionsbereiches getrennt durch ein Komma und dann eine rechte Klammer.
  - Zum Beispiel [-1,5). Das bedeutet der Definitionsbereich geht von -1 bis 5.
- Benutze eckige Klammern, [ und ], falls die Zahl zum Definitionsbereich gehört.
  - Im Beispiel [-1,5) ist -1 im Definitionsbereich enthalten.
- Benutze runde Klammern, ( und ), falls die Zahl nicht zum Definitionsbereich gehört.
  - Im Beispiel [-1,5) gehört 5 nicht zum Definitionsbereich. Der Definitionsbereich geht beliebig nahe an 5 heran, d.h. 4.999…
- Benutze “U” (das heißt "Vereinigung") um Teile des Definitionsbereiches, die durch Lücken getrennt sind, zu verbinden.'
  - Zum Beispiel [-1,5) U (5,10]. Das heißt dass der Definitionsbereich von -1 bis 10 inklusive geht, aber dass es eine Definitionslücke bei 5 gibt. Das kann vorkommen wenn eine Funktion zum Beispiel “x - 5” im Nenner stehen hat.
  - Du kannst so viele "U"-Symbole wie nötig verwenden, wenn der Definitionsbereich mehrere Lücken hat.
- Benutze das "Unendlich"-Zeichen (mit + oder -) um auszudrücken, dass der Definitionsbereich in dieser Richtung unendlich weiter geht.
  - Benutze immer ( ) und nicht [ ], wenn du das Unendlich-Symbol verwendest.
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Methode 2

Methode 2 von 6:

Der Definitionsbereich einer Funktion mit einem Bruch

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Schreibe die Funktion auf. Angenommen du hast die Funktion:
- f(x) = 2x/(x² - 4)
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Bei Brüchen mit einer Variablen im Nenner setze den Nenner gleich 0. Beim Bestimmen des Definitionsbereiches einer Funktion mit Brüchen musst du alle x-Werte, die den Nenner zu 0 machen, ausschließen, denn die Division durch 0 ist nicht erlaubt. Schreibe den Nenner also als Gleichung und setze sie gleich 0. Hier siehst du wie es geht:
- f(x) = 2x/(x² - 4)
- x² - 4 = 0
- (x - 2 )(x + 2) = 0
- x ≠ (2, - 2)
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Schreibe den Definitionsbereich hin. Hier siehst du wie es geht:
- x = alle reellen Zahlen außer 2 und -2
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Methode 3

Methode 3 von 6:

Der Definitionsbereich einer Funktion mit Wurzel

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Angenommen du hast die Funktion: Y =√(x-7)
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Setze den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen größer oder gleich 0. Du kannst keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, allerdings kannst du die Wurzel aus 0 ziehen. Setze den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen größer oder gleich 0. Das gilt nicht nur für Quadratwurzeln, sonder für alle geradzahligen Wurzeln. Aber es gilt nicht für ungeradzahlige Wurzeln, denn negative Zahlen unter ungeradzahligen Wurzeln sind erlaubt. Hier siehst du es:
- x-7 ≧ 0
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Löse nach der Variablen auf. Um nach x aufzulösen addiere 7 auf beiden Seien. Damit erhältst du:
- x ≧ 7
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Schreibe den Definitionsbereich hin. Hier siehst du wie man es schreiben kann:
- D = [7,∞)
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Den Definitionsbereich einer Funktion mit Quadratwurzel bestimmen, wenn es Mehrfach-Lösungen gibt. Angenommen du hast die Funktion: Y = 1/√( ̅x² -4). Wenn du den Ausdruck unter der Wurzel in Faktoren zerlegst und gleich 0 setzt, erhältst du x ≠ (2, - 2). Hier siehst du, wie du dann weiter machst:
- Überprüfe den Bereich für Zahlen kleiner als -2 (indem du zum Beispiel -3 einsetzt) um zu sehen ob Zahlen kleiner als -2 in den Nenner eingesetzt werden können um eine Zahl größer als 0 zu ergeben. Es geht.
  - (-3)² - 4 = 5
- Überprüfe jetzt den Bereich zwischen -2 und 2. Nimm zum Beispiel 0.
  - 0² - 4 = -4, also weißt du die Zahlen zwischen -2 und 2 gehen nicht.
- Versuche jetzt eine Zahl größer als 2, zum Beispiel +3.
  - 3² - 4 = 5, also gehen die Zahlen größer als 2.
- Schreibe den Definitionsbereich hin, wenn du fertig bist. Hier siehst du, wie du den Definitionsbereich schreiben kannst:
  - D = (-∞, -2) U (2, ∞)
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Methode 4

Methode 4 von 6:

Den Definitionsbereich einer Funktion mit natürlichem Logarithmus bestimmen

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Schreibe die Funktion auf. Angenommen du hast die Funktion:
- f(x) = ln(x-8)
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Setze den Ausdruck innerhalb der Klammer zu größer 0. Das Argument des natürlichen Logarithmus muss positiv sein. Setze also den Ausdruck innerhalb der Klammer zu größer 0 um das zu erhalten. Hier siehst du wie es geht:
- x - 8 > 0
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Löse nach x auf. Addiere dazu 8 auf beiden Seiten. Hier siehst du wie es geht:
- x - 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
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Schreibe den Definitionsbereich hin. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist: alle Zahlen größer als 8 bis unendlich. Hier siehst du es:
- D = (8,∞)
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Methode 5

Methode 5 von 6:

Den Definitionsbereich bestimmen mit Hilfe eines Graphen

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Überprüfe, welche x-Werte enthalten sind. Das ist leichter gesagt als getan, aber sind ein paar Tipps:
- Eine Gerade. Wenn du eine Gerade siehst, die sich ins Unendliche erstreckt, dann sind alle x-Werte erlaubt, also ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen.
- Eine normale Parabel. Wenn du eine Parabel siehst, die sich nach oben oder unten öffnet, dann ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen.
- Eine liegende Parabel. Wenn du eine Parabel mit Scheitelpunkt in (4,0) hast, die sich unendlich nach rechts erstreckt, dann ist dein Definitionsbereich D = [4,∞)
Schreibe den Definitionsbereich hin auf der Basis des Funktionstypen. Wenn du unsicher bist und die Gleichung der Funktion kennst, setze die ermittelten x-Koordinaten ein um alles zu überprüfen.
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Methode 6

Methode 6 von 6:

Den Definitionsbereich bestimmen bei einer Relation

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Eine Relation ist einfach eine Menge von x- und y-Koordinaten. Angenommen du hast folgende Koordinaten: {(1, 3), (2, 4), (5, 7)}
Es sind: 1, 2, 5.
D = {1, 2, 5}
Damit eine Relation eine Funktion ist muss erfüllt sein: Wenn du eine bestimmte x-Koordinate einsetzt, musst du immer dieselbe y-Koordinate erhalten. Wenn du für x 3 einsetzt, solltest du immer 6 für y erhalten, und so weiter. Folgende Relation ist keine Funktion, denn du erhältst zwei verschiedene ys für deine x: {(1, 4),(3, 5),(1, 5)}.^{[1]XForschungsquelle}
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