چگونه دامنه‌ی یک تابع را پیدا کنیم

دامنه‌ی یک تابع به عنوان مجموعه‌ی اعداد ورودی به آن تعریف می‌شود. به عبارت دیگر، دامنه‌ی تابع عبارت است از مجموعه‌ مقادیر x که می‌توانی به عنوان ورودی به آن بدهی. به مقادیر ممکن y برد تابع گفته می‌شود. برای پیداکردن دامنه‌ی توابع در مسائل مختلف، مراحل زیر را دنبال کن.

مراحل

روش 1

روش 1 از 6:

یادگیری اصول اولیه

1. 
   1
   تعریف دامنه را بدان. دامنه به عنوان مجموعه مقادیر ورودی تابع تعریف می‌شود که تابع به‌ازای آنها مقادیر خروجی را تولید می‌کند. به عبارت دیگر، دامنه‌ی تابع عبارت است از مجموعه‌ی کامل مقادیر x که می‌توان به عنوان ورودی به تابع داد تا یک مقدار خروجی y را تولید کند.
2. 
   2
   نحوه‌ی پیداکردن دامنه‌ی توابع مختلف را یاد بگیر. نوع تابع بهترین راه پیداکردن دامنه‌ی آن را تعیین می‌کند. مبانی و اصول اولیه‌ی انواع مختلف توابع در اینجا آورده شده و در بخش بعدی شرح داده خواهند شد:

   • یک تابع چندجمله‌ای بدون رادیکال که هیچ متغیری در مخرج آن وجود ندارد. دامنه‌ی چنین تابعی عبارت است از کل اعداد حقیقی.
   • یک تابع کسری که در مخرج آن یک متغیر قرار دارد. برای پیداکردن دامنه‌ی چنین تابعی، مخرج را مساوی صفر قرار بده و معادله‌ی حاصل را برای x حل کن. سپس مقدار به دست آمده را از مجموعه‌ی اعداد حقیقی حذف کن.
   • تابعی که متغیر آن درون رادیکال قرار دارد. برای پیداکردن دامنه‌ی چنین تابعی، جملات درون رادیکال را بزرگتر از صفر قرار بده و معادله‌ی حاصل را حل کن تا مقادیر ممکن برای x را پیدا کنی.
   • تابعی شامل لگاریتم طبیعی (ln). جملات درون پرانتز را بزرگتر از صفر قرار بده و معادله را حل کن.
   • نمودار یک تابع. شکل نمودار را بررسی کن تا مقادیر ممکن برای x را ببینی.
   • یک رابطه. در یک رابطه، دو لیست از مقادیر مختلف x و y وجود دارد. دامنه‌ی رابطه برابر است با لیست مختصات x.
3. 
   3
   دامنه را به درستی بیان کن. یادگیری نحوه‌ی صحیح نمادگذاری دامنه آسان است و نوشتن صحیح آن برای بیان مناسب جواب و دریافت نمره‌ی کامل در تمرین‌ها و امتحانات اهمیت دارد. در اینجا چند نکته در مورد نحوه‌ی صحیح نوشتن دامنه آورده شده است:

   • نمادگذاری ریاضی دامنه با یک پرانتز یا براکت باز آغاز می‌شود. سپس نقاط سر و ته بازه‌ی دامنه (که توسط یک کاما از هم جدا شده‌اند) نوشته می‌شوند. پس از آن، یک پرانتز یا براکت بسته قرار می‌گیرد.
     • به عنوان مثال، $[{\text{-۱}},{\text{۵}})$. این بدان معنی است که دامنه از ۱- تا ۵ است.
   • اگر عددی درون دامنه قرار داشته باشد، باید از براکت‌های باز و بسته «[» و «]» استفاده کنی.
     • بنابراین در مثال $[{\text{-۱}},{\text{۵}})$، عدد ۱- درون دامنه قرار دارد.
   • اگر عدد در دامنه قرار نگرفته باشد، باید از پرانتزهای باز و بسته «(» و «)» استفاده کنی.
     • بنابراین در مثال $[{\text{-۱}},{\text{۵}})$، دامنه عدد ۵ را شامل نشده و قبل از ۵ یعنی ...۴/۹۹۹ متوقف می‌شود.
   • برای به هم پیوستن دو بازه‌ی مختلف از دامنه که میان آنها فاصله‌ وجود دارد، از علامت اجتماع (U) استفاده کن.
     • برای مثال، $[{\text{-۱}},{\text{۵}})U({\text{۵}},{\text{۱۰}}]$. این بدان معنی است که دامنه تمام مقادیر بین ۱- تا ۱۰ به جز عدد ۵ را شامل می‌شود. مثلاً دامنه‌ی تابعی که جمله‌ی $x-{\text{۵}}$ را در مخرج خود داشته باشد، ممکن است چنین شکلی به خود بگیرد.
     • اگر دامنه از چند بازه‌ی جدا از هم تشکیل شده است، می‌توانی برای نمایش آن از هر تعداد علامت «U» که لازم است استفاده کنی.
   • برای نشان دادن این که دامنه از یک یا هر دو جهت به بی‌نهایت می‌رود، از علامت‌های مثبت و منفی بی‌نهایت استفاده کن.
     • علامت‌های بی‌نهایت همیشه با ( ) همراه می‌شوند. هیچوقت از [ ] برای بی‌نهایت استفاده نکن.
   • توجه داشته باش که این نمادگذاری‌ها در کشورهای مختلف با هم تفاوت دارند.
     • نمادگذاری‌های ذکر شده در بالا در انگلستان و آمریکا نیز به کار می‌روند.
     • در برخی مناطق، برای نشان دادن این که دامنه از یک یا هر دو جهت به بی‌نهایت می‌رود، به جای علامت بی‌نهایت از فلش استفاده ‌می‌کنند.
     • کاربردهای پرانتز و براکت در مناطق مختلف خیلی متفاوت است. به عنوان مثال، در بلژیک به جای پرانتز از براکت معکوس استفاده می‌کنند.

روش 2

روش 2 از 6:

پیداکردن دامنه‌ی یک تابع کسری

1. 
   1
   صورت مسئله را بنویس. فرض کنیم که صورت مسئله‌ی تو به شکل زیر است:

   • f(x) = 2x/(x² - 4)
2. 
   2
   برای توابعی که متغیر در مخرج آنها قرار دارد، مخرج را مساوی صفر قرار بده. برای پیداکردن دامنه‌ی یک تابع کسری، باید تمام مقادیر x را که به‌ازای آنها مخرج صفر می‌شود حذف کنی؛ چون تقسیم بر صفر معنا ندارد. بنابراین مخرج را مثل یک معادله بنویس و آن را مساوی صفر قرار بده. برای معادله‌ی بالا، روش حل به این صورت است:

   • f(x) = 2x/(x² - 4)
   • x² - 4 = 0
   • 0 = (2 - x)(x + 2)
   • x ≠ (2, - 2)
3. 
   3
   دامنه را بیان کن. نحوه‌ی بیان دامنه به این صورت است:

   • x = تمام اعداد حقیقی به جز ۲ و ۲-

روش 3

روش 3 از 6:

پیداکردن دامنه‌ی یک تابع رادیکالی (ریشه‌ی دوم)

1. 
   1
   صورت مسئله را بنویس. فرض کنیم که صورت مسئله‌ی تو به این شکل است: $Y={\sqrt {x-{\text{۷}}}}$
2. 
   2
   جملات داخل رادیکال را بزرگتر یا مساوی صفر قرار بده. جذر یک عدد منفی معنا ندارد، اما جذر عدد صفر را می‌توان حساب کرد؛ بنابراین جملات داخل رادیکال را بزرگتر یا مساوی صفر قرار بده. توجه کن که این روش نه‌تنها برای ریشه‌ی دوم، بلکه برای تمام ریشه‌های زوج قابل‌استفاده است؛ اما برای ریشه‌های فرد نمی‌توان از آن استفاده کرد، چون ریشه‌ی فرد اعداد منفی وجود دارد و معنادار است. روش حل به این صورت است:

   • ۰ ≤ ۷ - x
3. 
   3
   متغیر را به یک طرف معادله ببر. برای این که x در سمت چپ معادله تنها شود، کافی است عدد ۷ را به دو طرف معادله اضافه کنی. در نتیجه، معادله‌ی تو به این شکل درمی‌آید:

   • ۷ ≤ x
4. 
   4
   دامنه را به درستی بیان کن. دامنه‌ی این تابع به این صورت نوشته می‌شود:

   • $D=[{\text{۷}},{\text{∞}})$
5. 
   5
   نحوه‌ی پیداکردن دامنه‌ی یک تابع رادیکالی با چند جواب مختلف را یاد بگیر. فرض کنیم که صورت مسئله‌ی تو به این شکل است: $Y={\text{۱}}/{\sqrt {x^{\text{۲}}-{\text{۴}}}}$. اگر مخرج را به‌صورت دو جمله بنویسی و آن را مساوی صفر قرار دهی، به x ≠ (۲, - ۲) می‌رسی. پس از آن، مراحل زیر را دنبال کن:

   • اعداد قبل از ۲- را بررسی کن (مثلا ۳- را در معادله قرار بده) تا ببینی آیا با اعداد کوچکتر از ۲-، جواب معادله از صفر بزرگتر می‌شود یا خیر. بله، بزرگتر می‌شود.
     • $({\text{-۳}})^{\text{۲}}-{\text{۴}}={\text{۵}}$
   • حالا اعداد بین ۲- و ۲ را چک کن. مثلاً صفر را در نظر بگیر.
     • ${\text{۰}}^{\text{۲}}-{\text{۴}}={\text{-۴}}$، پس می‌بینی که اعداد بین ۲- و ۲ نمی‌توانند در دامنه باشند.
   • حالا یک عدد بزرگتر از ۲ را امتحان کن، مثلاً ۳.
     • ${\text{۳}}^{\text{۲}}-{\text{۴}}={\text{۵}}$، پس اعداد بزرگتر از ۲ مشکلی ندارند.
   • وقتی که محاسباتت تمام شد، دامنه را بنویس. دامنه‌ی این تابع به این شکل نوشته می‌شود:
     • $D=({\text{-∞}},{\text{-۲}})U({\text{۲}},{\text{∞}})$

روش 4

روش 4 از 6:

پیداکردن دامنه‌ی یک تابع با لگاریتم طبیعی

1. 
   1
   صورت مسئله را بنویس. فرض کنیم که مسئله‌ی تو به این شکل است:

   • $f(x)=ln(x-{\text{۸}})$
2. 
   2
   جملات داخل پرانتز را بزرگتر از صفر قرار بده. لگاریتم طبیعی باید یک عدد مثبت باشد، بنابراین جملات داخل پرانتز را بزرگتر از صفر قرار بده تا این شرط برقرار شود. جمله‌ی زیر را بنویس:

   • $x-{\text{۸}}>{\text{۰}}$
3. 
   3
   معادله را حل کن. با اضافه کردن عدد ۸ به دو طرف معادله، x را مانند زیر به یک سمت معادله ببر:

   • $x-{\text{۸}}+{\text{۸}}>{\text{۰}}+{\text{۸}}$
   • $x>{\text{۸}}$
4. 
   4
   دامنه را بیان کن. با نمادگذاری ریاضی نشان بده که دامنه‌ی این معادله برابر است با تمام اعداد بزرگتر از ۸ (تا بی‌نهایت). نمادگذاری این جمله به شکل زیر است:

   • $D=({\text{۸}},{\text{∞}})$

روش 5

روش 5 از 6:

پیداکردن دامنه‌ی یک تابع با استفاده از نمودار آن

1. 
   1
   به نمودار نگاه کن.
2. 
   2
   دقت کن که نمودار چه مقادیری از x را شامل می‌شود. این کار گفتنش از انجام‌دادنش آسان‌تر است؛ بنابراین برای انجام آن به نکات زیر توجه کن:

   • برای یک خط. اگر در نمودار یک خط غیرعمودی می‌بینی که از هر طرف تا بی‌نهایت امتداد دارد، این خط تمام مختصات x را شامل خواهد شد. در نتیجه دامنه برابر است با کل اعداد حقیقی.
   • برای یک سهمی معمولی. اگر یک سهمی روبه‌بالا یا روبه‌پایین داری، دامنه‌ی آن تمام اعداد حقیقی است؛ چون سهمی در نهایت کل محور x را شامل می‌شود.
   • برای یک سهمی رو به کنار. اگر رأس سهمی در نقطه‌ی $({\text{۴}},{\text{۰}})$ قرار گرفته باشد و سهمی از سمت راست تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند، دامنه‌ی آن برابر است با $D=[{\text{۴}},{\text{∞}})$.
3. 
   3
   دامنه را بیان کن. دامنه را بر اساس نوع نموداری که با آن سروکار داری، بیان کن. اگر در تعیین دامنه شک داری اما معادله‌ی نمودار را می‌دانی، مختصات x را به تابع بده و خروجی‌ها را بررسی کن.

روش 6

روش 6 از 6:

پیداکردن دامنه‌ی یک تابع با استفاده از رابطه‌ی آن

1. 
   1
   رابطه را بنویس. یک رابطه مجموعه‌ای است از زوج‌های مرتب. فرض کنیم که رابطه به این صورت است: {(۵,۷),(۲,۴),(۱,۳)}
2. 
   2
   مختصات x را بنویس. یعنی: ۱، ۲، ۵.
3. 
   3
   دامنه را بیان کن. D = {۱, ۲, ۵}
4. 
   4
   چک کن که رابطه‌ واقعاً تابع باشد. یک رابطه در صورتی تابع است که به‌ازای هر مقدار x، همیشه یک مقدار مشخص را برای y تولید کند. به عنوان مثال، اگر عدد ۳ را به آن بدهی، باید همیشه عدد ۶ را به عنوان خروجی بگیری. رابطه‌ی {(۱,۵),(۳,۵),(۱,۴)} تابع نیست؛ چون به‌ازای مقدار ۱ برای x، دو مقدار متفاوت ۴ و ۵ را برای y می‌دهد.