كيفية تبسيط الكسور المعقدة

تنزيل المقال

تنزيل المقال

الكسور المعقدة هي كسور يحتوي فيها البسط أو المقام أو كليهما على كسور ثانوية، عوضًا عن أعدادٍ صحيحة، وبمعنى آخر، مسألة قسمة بين طرفين بهما أو بأحدهما كسور أوعمليات على كسور؛ لهذا السبب يشار إليها أحيانًا باسم "الكسور المكدسة". عملية تبسيط الكسور المعقدة تختلف في السهولة والصعوبة حسب عدد الحدود الموجودة في البسط والمقام، وما إذا كانت أي من الحدود متغيرات، وإذا كانت المتغيرات الموجودة معقدة ومدى درجة تعقيدها. انظر الخطوة الأولى فيما يلي للبدء.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 2:

استخدام المعكوس الضربي لتبسيط الكسور المعقدة

تنزيل المقال

1. 
   1
   قم بتبسيط البسط والمقام ليشكل كل منهما كسرًا عاديًا إذا لزم الأمر. حل الكسور المعقدة ليس صعبًا بالضرورة، في الواقع عادةً ما تكون الكسور المعقدة المحتوية على كسر في أحد الطرفين وحده -البسط أو المقام- سهلة الحل. سواءً كان البسط هو ما يحتوي على كسر أو المقام أو كليهما، فبسّط حسب الحاجة ليتبقى كسر واحد في كل من البسط والمقام. قد يتطلب هذا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) بين كسرين أو أكثر.

   • على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد تبسيط الكسر المعقد (3/5 + 2/15) ÷ (5/7 - 3/10). أولًا، نبسط كلًا من بسط ومقام الكسر المعقد إلى كسور مفردة.
     • لتبسيط البسط، نستخدم المضاعف المشترك الأصغر 15 من خلال ضرب 3/5 في 3/3. يصبح البسط 9/15 + 2/15، وهو ما يساوي 11/15.
     • لتبسيط المقام، نستخدم م م أ 70 بضرب 5/7 في 10/10 و3/10 في 7/7. يصبح المقام لدينا 50/70 - 21/70 ، وهو ما يساوي 29/70.
     • بالتالي يصبح الكسر المعقد الجديد (11/15)/(29/70).
2. 
   2
   اقلب المقام لإيجاد معكوسه الضربي. بحكم التعريف، فإن "قسمة" رقم على آخر هو أمر مماثل لعملية ضرب الرقم الأول في مقلوب الرقم الثاني. الآن بعد أن أصبح الكسر المعقد الذي نتعامل معه يحتوي كسرًا واحدًا في كل من البسط والمقام، يمكننا استخدام خاصية القسمة هذه لتبسيط الكسر المعقد. أولًا، ابحث عن مقلوب الكسر السفلي في الكسر المعقد. افعل ذلك عن طريق "قلب" الكسر، من خلال وضع البسط مكان المقام والعكس صحيح.

   • في مثالنا، الكسر في مقام الكسر المعقد (11/15)/(29/70) هو 29/70. لإيجاد المعكوس الضربي، نقلب ببساطة الكسر ليكون 70/29.
     • لاحظ أنه إذا كان الكسر المعقد يحتوي على عدد صحيح في المقام، فيمكنك صياغة هذا المقام ككسر عادي وبالتالي إيجاد معكوسه الضربي من منطلق أنه كسر. على سبيل المثال، إذا كان الكسر المعقد هو (11/15) ÷ (29)، فيمكننا اعتبار المقام بسطًا للعدد واحد "29/1"، مما يجعل معكوسه 1/29.
3. 
   3
   اضرب بسط الكسر المركب في مقلوب المقام. الآن بعد أن أوجدت مقلوب مقام الكسر المعقد، اضربه في البسط لإيجاد كسر بسيط واحد. تذكر أنه لضرب كسرين، فإننا ببساطة نضرب كل جزء بما يقابله؛ بسط الكسر الجديد هو نتاج ضرب بسطي الكسرين الأصليين، وبالمثل مع المقام.

   • في مثالنا 11/15 × 70/29: 70 × 11 = 770 و 15 × 29 = 435. بالتالي فإن كسرنا الجديد المبسط هو 770/435.
4. 
   4
   بسّط الكسر الجديد بإيجاد العامل المشترك الأكبر. لدينا الآن كسر واحد بسيط، لذلك كل ما تبقى الآن هو تقديمه بأبسط صورة ممكنة. أوجد العامل المشترك الأكبر (ع م أ) بين البسط والمقام واقسمهما على هذا الرقم لتبسيط الكسر.

   • من العوامل المشتركة بين 770 و 435 رقم 5. لذلك، إذا قسمنا كلًا من بسط ومقام الكسر على 5، تكون الإجابة 154/87. 154 و 87 ليس بينهما أي عوامل مشتركة، وهذا يعني أننا وصلنا لإجابتنا النهائية.

طريقة 2

طريقة 2 من 2:

تبسيط الكسور المعقدة المحتوية على حدود متغيرة

تنزيل المقال

1. 
   1
   استخدم طريقة الضرب في المعكوس أعلاه (إن أمكن). للتوضيح، يمكن تبسيط أي كسر معقد تقريبًا من خلال تبسيط كل من بسطه ومقامه إلى كسور عادية وضرب البسط بعكس المقام. الكسور المعقدة المحتوية على متغيرات ليست استثناءً من هذه الطريقة، على الرغم من أنه كلما زاد تعقيد العبارات المتغيرة في الكسر المعقد، كان استخدام الضرب في مقلوب الكسر أكثر صعوبة واستهلاكًا للوقت. بالنسبة للكسور المعقدة "السهلة" المحتوية على متغيرات، فإن الضرب في المعكوس يعد خيارًا جيدًا، لكن الكسور المعقدة ذات الحدود المتغيرة الكثيرة في البسط والمقام قد تكون أسهل في التبسيط باستخدام الطريقة البديلة الموضحة أدناه.

   • على سبيل المثال، (1/x)/(x/6) من السهل تبسيطه من خلال الضرب في المعكوس الضربي. 1/x × 6/x = 6/x². لا حاجة هنا لاستخدام طريقة بديلة.
   • مع ذلك (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) أكثر صعوبة من أن تُبسّط بالضرب في المقلوب. سيكون من المعقد أن تبدأ بتبسيط كلِ من البسط والمقام لهذا الكسر المعقد إلى كسور عادية، وتضرب في المقلوب، ثم تبسط الناتج إلى أبسط صورة - فهذه عملية معقدة. في هذه الحالة، من الأسهل أن تجرب الطريقة البديلة أدناه.
2. 
   2
   إذا كان الضرب في المقلوب غير عملي، ابدأ بإيجاد المقام المشترك الأصغر بين الحدود الكسرية في الكسر المعقد. الخطوة الأولى في هذه الطريقة البديلة للتبسيط هي إيجاد م م أ لجميع الحدود الكسرية في الكسر المعقد - أي البسط والمقام. عادة، إذا كان لواحد أو أكثر من الحدود الكسرية متغيرات في مقاماتها، فإن م م أ بينهم هي ببساطة نتاج مقاماتهم.

   • من الأسهل فهم هذا بمثال، لنحاول تبسيط الكسر المعقد الذي ذكرناه أعلاه: (((1)/(x+3)) + (x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). الحدود الكسرية في هذا الكسر المعقد هي (1)/(x+3) و (1)/(x-5). المقام المشترك بين هذين الكسرين هو نتاج المقامين فيهما كما هما: (x+3)(x-5).
3. 
   3
   اضرب بسط الكسر المعقد في م م أ الذي أوجدته. بعد ذلك، سنحتاج لضرب حدود الكسر المعقد في المقام المشترك الأصغر بين حدود الكسر؛ بعبارة أخرى، سنقوم بضرب الكسر المعقد بالكامل في (م م أ)/(م م أ). يمكننا عمل هذا بحرية دون أن يكون في هذا تغيير من قيمة الجذر بما أن (م م أ)/(م م أ) تساوي 1. أولًا، اضرب البسط بمفرده.

   • في مثالنا، سنضرب الكسر المعقد (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))، في ((x+3)(x-5))/((x+3)(x-5)). سيتعين علينا ضرب جميع حدود البسط والمقام للكسر المعقد، كل منهم في (x+3)(x-5).
     • أولًا، نضرب البسط: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
       • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
       • = (x-5) + (x(x² - 2x - 15)) - (10(x² - 2x - 15))
       • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
       • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
       • = x³ - 12x² + 6x + 145
4. 
   4
   اضرب مقام الكسر المعقد في م م أ كما فعلت مع البسط. استمر في ضرب الكسر المعقد في م م أ الذي أوجدته من خلال الانتقال إلى ضربه في المقام في الخطوة التالية. اضرب في الكسر بالكامل، ولا تنسَ تطبيق العمية على أي من الحدود في المقام المشترك الأصغر.

   • مقام الكسر المعقد (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) هو x +4 +((1)/(x-5)). سنضربه في المقام المشترك الأصغر الذي أوجدناه (x+3)(x-5).
     • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
     • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
     • = x(x² - 2x - 15) + 4(x² - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
     • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x+3)
     • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x+3)
     • = x³ + 2x² - 22x - 57
5. 
   5
   شكّل كسرًا جديدًا ومبسطًا من البسط والمقام الذي أوجدتهما قبل قليل. بعد ضرب الكسر في العبارة (م م أ)/(م م أ) والتبسيط من خلال الجمع بين الحدود المتماثلة، يجب أن يتبقى أمامك كسرًا بسيطًا لا يحتوي على حدود كسرية. كما لاحظت، عن طريق الضرب في المقام المشترك الأصغر للحدود الكسرية في الكسر المعقد الأصلي، يتم استبعاد مقام هذه الكسور، وتتبقى الحدود المتغيرة والأرقام الصحيحة في البسط والمقام لإجابتك، ولكن بدون كسور.

   • باستخدام البسط والمقام اللذين أوجدناهما أعلاه، يمكننا تكوين كسر يساوي الكسر المعقد الأولي ولكن لا يحتوي على حدود كسرية. البسط الذي أوجدناه كان x³ - 12x² + 6x + 145 والمقام كان x³ + 2x² - 22x - 57، بالتالي فإن الصورة الجديدة من كسرنا هي (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

أفكار مفيدة

• اكتب كل خطوة من حلّك بوضوح. يمكن أن تصبح الكسور مربكة بسهولة إذا كنت تحاول الحل بسرعة كبيرة أو تحسب في رأسك.
• ابحث عن أمثلة للكسور المعقدة على الإنترنت أو في كتابك الدراسي. اتبع كل خطوة مشروحة لتتمكن من فهم العملية وحل مسائل جديدة وحدك.