Hacim Nasıl Hesaplanır?

Makaleyi İndir

Makaleyi İndir

Bu Makalede:

Bir Küpün Hacmini Hesaplamak

Bir Dikdörtgenler Prizmasının Hacmini Hesaplamak

Bir Silindirin Hacmini Hesaplamak

Düzgün Kare Piramidin Hacmini Hesaplamak

Bir Koninin Hacmini Hesaplamak

Bir Kürenin Hacmini Hesaplamak

3 tane daha göster...

Daha az göster...

İlgili Makaleler

Referanslar

Bir şeklin hacmi, uzayda kapladığı üç boyutlu alanın ölçüsüdür. Ayrıca bir şeklin hacmini, tamamen dolu olduğunda alabileceği su (veya hava ya da kum vb.) miktarı olarak düşünebilirsin. Yaygın olarak kullanılan hacim birimleri santimetreküp (cm³), metreküp (m³), inç küp (in³) ve fit küp (ft³) şeklindedir. Bu makale, matematik sınavlarında sıkça yer alan küpler, küreler ve koniler dâhil altı farklı üç boyutlu şeklin hacmini nasıl hesaplayacağını öğretecek. Hacim formüllerini, çoğunun benzer olması nedeniyle hatırlamasının da kolay olduğunu fark edebilirsin. Bunları ilerledikçe fark etmeye çalış!

Adımlar

Yöntem 1

Yöntem 1 / 6:

Bir Küpün Hacmini Hesaplamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Bir küpü tanı. Bir küp, birbiriyle özdeş altı yüze sahip üç boyutlu bir şekildir. Yani, kenarları her tarafında eşit olan bir kutu şeklidir.

   • 6 yüzlü bir zar, evinde bulabileceğin iyi bir örnektir. Şeker küpleri ve çocukların harf blokları da genellikle küp şeklindedir.
2. 
   2
   Bir küpün hacminin formülünü öğren. Küpteki tüm kenarların uzunluğu aynı olduğundan, bir küpün hacim formülü gerçekten kolaydır. Formül, V = s³ şeklinde olup burada V, hacim ve s, küpün bir kenar uzunluğudur.

   • s³’ü bulmak için s’yi kendisiyle 3 kez çarp: s³ = s * s * s
3. 
   3
   Küpün bir kenarının uzunluğunu bul. Ödevine bağlı olarak, küpün üzerinde bu bilgi verilecek ya da kenar uzunluğunu bir cetvelle ölçmen gerekecektir. Bu bir küp olduğu için tüm kenar uzunlukları aynı olması gerektiğinden hangisini ölçeceğinin bir önemi yok.

   • Şeklinin küp olduğundan %100 emin değilsen eşit olup olmadıklarını belirlemek için her bir kenarı ölç. Eğer eşit değillerse aşağıdaki Bir Dikdörtgenler Prizmasının Hacmini Hesaplamak yöntemini kullanman gerekecektir.
4. 
   4
   Kenar uzunluğunu V = s³ formülünde yerine koy ve hesapla. Örneğin, küpünün kenar uzunluklarının 5 santimetre olduğunu bulduysan o zaman formülü şu şekilde yazmalısın: V = (5 cm)³. Küpün hacmi 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm³ olacaktır!

   • Uzunlukları çarpmadan önce hepsinin aynı birimde olduğundan emin ol.
5. 
   5
   Cevabını küp biriminde belirttiğinden emin ol. Yukarıdaki örnekte, kenar uzunluğu santimetre olarak ölçüldüğü için hacim santimetreküp biriminde verilmiştir. Eğer örneğin, küpün kenar uzunluğu 3 metre olarak ölçülseydi hacim V = (3 m)³ ya da V = 27m³ olurdu.
   Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 6:

Bir Dikdörtgenler Prizmasının Hacmini Hesaplamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Dikdörtgenler prizmasını tanı. Dikdörtgenler prizması, altı kenarı da dikdörtgen olan üç boyutlu bir şekildir. Yani, dikdörtgenler prizması üç boyutlu bir dikdörtgen veya kutu şeklidir.

   • Bir küp, aslında tüm dikdörtgen kenarlarının eşit olduğu özel bir dikdörtgenler prizmasıdır.
2. 
   2
   Dikdörtgen bir cismin hacmini hesaplama formülünü öğren. Dikdörtgen bir cismin hacminin formülü Hacim = uzunluk * genişlik * yükseklik veya H(V) = ugy şeklindedir.
3. 
   3
   Dikdörtgen cismin uzunluğunu bul. Uzunluk, dikdörtgenler prizmasının üzerine oturduğu yere veya yüzeye paralel olan en uzun kenarıdır. Uzunluk bir şekil üzerinde verilebilir veya bir cetvel veya şerit metre ile ölçmen gerekebilir.

   • Örnek: Bu dikdörtgenler prizmasının uzunluğu 4 santimetre, yani u = 4 cm.
   • Hangi kenarın uzunluk, hangi kenarın genişlik vs. olduğuna fazla kafa yorma. Elinde üç farklı ölçü olduktan sonra terimleri yerleştirme şeklin sonucu değiştirmez.
4. 
   4
   Dikdörtgenler prizmasının genişliğini bul. Dikdörtgenler prizmasının genişliği, prizmanın yere paralel olan ya da şeklin üzerinde durduğu kısa kenarının ölçüsüdür. Tekrar, şekilde belirtilen genişliğe bak ya da şekli bir cetvel veya şerit metre ile ölç.

   • Örnek: Bu dikdörtgenler prizmasının genişliği 3 santimetre, yani g = 3 cm.
   • Dikdörtgenler prizmasını bir cetvel veya şerit metre ile ölçüyorsan tüm ölçümleri aynı birimlerde almayı ve yazmayı unutma. Bir tarafı milimetre, diğerini santimetre cinsinden ölçme; tüm ölçümler aynı birimde olmalıdır!
5. 
   5
   Dikdörtgenler prizmasının yüksekliğini bul. Bu yükseklik, dikdörtgenler prizmasının üzerinde durduğu yerden veya yüzeyden dikdörtgenler prizmasının tepesine olan mesafedir. Şekildeki bilgileri bul veya bir cetvel veya şerit metre kullanarak yüksekliği ölç.

   • Örnek: Bu dikdörtgeler prizmasının yüksekliği 6 santimetre, yani y = 6 cm.
6. 
   6
   Dikdörtgenler prizmasının boyutlarını hacim formülüne koy ve hesapla. H = ugy olduğunu unutma.

   • Örneğimizde, u = 4, g = 3 ve y = 6. Bundan dolayı, H = 4 * 3 * 6 ya da 72.
7. 
   7
   Cevabını kübik birimlerle ifade ettiğinden emin ol. Örnek dikdörtgenin santimetre cinsinden ölçüldüğü için hacim 72 santimetreküp veya 72 cm³ olarak yazılmalıdır.

   • Eğer dikdörtgenler prizmasının ölçüleri; uzunluk = 2 mm, genişlik = 4 mm ve yükseklik = 8 mm olsaydı, hacim, 2 mm * 4 mm * 8 mm veya 64mm³ olurdu.
   Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 6:

Bir Silindirin Hacmini Hesaplamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Bir silindiri tanımlamayı öğren. Silindir, dairesel şekilli iki özdeş düz uca ve bunları birbirine bağlayan tek bir kavisli kenara sahip üç boyutlu bir şekildir.

   • Bir teneke kutu, AA veya AAA pil bir silindire iyi birer örnektir.
2. 
   2
   Silindirin hacim formülünü ezberle. Bir silindirin hacmini hesaplamak için yüksekliğini ve üstte ve altta yer alan dairesel tabanın yarıçapını (dairenin merkezinden kenarına olan mesafe) bilmen gerekir. Formül, V = πr²h şeklindedir ve burada V hacim, r dairesel tabanın yarıçapı, h yükseklik ve π sabit pi sayısıdır.

   • Bazı geometri problemlerinde cevap pi cinsinden verilecektir, ancak çoğu durumda pi'yi 3,14'e yuvarlamak yeterlidir. Ne yapman gerektiğini öğrenmek için öğretmenine danış.
   • Bir silindirin hacmini bulmanın formülü aslında dikdörtgenler prizmasının formülüne çok benzer; şeklin yüksekliği tabanının yüzey alanıyla çarpılır. Dikdörtgenler prizmasında, bu yüzey alanı u * g, silindir için yarıçapı r olan bir dairenin alanı olan πr²’dir.
3. 
   3
   Tabanın yarıçapını bul.Şekil üzerinde verilmişse bu sayıyı kullan. Yarıçap yerine çap verilirse yarıçapı (d = 2r) elde etmek için değeri 2'ye bölmen gerekir.
4. 
   4
   Yarıçap verilmemişse nesneyi ölç. Dairesel bir cismin hassas ölçümünü yapmanın biraz zor olabileceğini unutma. Seçeneklerden biri, silindirin tabanını üstü boyunca bir cetvel veya şerit metre ile ölçmektir. Silindirin genişliğini en geniş kısmında ölçmek için elinden geleni yap ve yarıçapı bulmak için bu ölçümü 2'ye böl.

   • Bir diğer seçenek de, bir şerit metre veya işaretleyebileceğin ve sonra bir cetvelle ölçebileceğin bir ip kullanarak silindirin çevresini (etrafındaki mesafe) ölçmektir. Ardından ölçümü formülde yerine koy: C (çevre) = 2πr. Çevreyi 2π'ye (6,28) böldüğünde yarıçapı elde edersin.
   • Örneğin, ölçtüğün çevre 8 santimetre ise yarıçap 1,27 santimetre olur.
   • Gerçekten hassas bir ölçüme ihtiyacın varsa ölçümlerinin benzer olduğundan emin olmak için her iki yöntemi de kullanabilirsin. Ölçümler benzer çıkmazsa işlemlerini iki kez kontrol et. Çevre yöntemi genellikle daha doğru sonuçlar verir.
5. 
   5
   Dairesel tabanın alanını hesapla. Tabanın yarıçapını πr² formülünde yerine koy. Sonra yarıçapı bir kez kendisiyle çarp ve ardından sonucu π ile çarp. Örneğin:

   • Dairenin yarıçapı 4 santimetreye eşitse tabanın alanı A = π4² olacaktır.
   • 4² = 4 * 4 yani 16. 16 * π (3,14) = 50,24 cm²
   • Yarıçap yerine tabanın çapı verilmişse d = 2r olduğunu unutma. Yarıçapı bulmak için çapı ikiye bölmen gerekir.
6. 
   6
   Silindirin yüksekliğini bul. Bu basitçe iki dairesel taban arasındaki mesafedir veya silindirin üzerinde durduğu yüzeyden tepesine kadar olan mesafedir. Şeklinin üzerinde silindirin yüksekliğini gösteren ifadeyi bul veya yüksekliği bir cetvel veya şerit metre ile ölç.
7. 
   7
   Hacmi bulmak için taban alanı ile silindirin yüksekliğini çarp. Veya bir adımı atlayıp silindirin boyutlarının değerlerini V = πr²h formülünde yerine koyabilirsin. Yarıçapı 4 santimetre ve yüksekliği 10 santimetre olan örnek silindirimiz için:

   • V = π4²10
   • π4² = 50,24
   • 50,24 * 10 = 502,4
   • V = 502,4
8. 
   8
   Cevabını kübik birimler hâlinde belirtmeyi unutma. Örnek silindirimiz santimetre cinsinden ölçülmüştür, bu nedenle hacim santimetreküp cinsinden ifade edilmelidir: V = 502,4 cm³. Silindirimiz metre cinsinden ölçülmüş olsaydı, hacim metreküp (m³) olarak ifade edilirdi.
   Reklam

Yöntem 4

Yöntem 4 / 6:

Düzgün Kare Piramidin Hacmini Hesaplamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Düzgün bir piramidin ne olduğunu anla. Bir piramit, tabanı bir çokgen olan ve tepede (piramidin ucu) sivrilen yan yüzlere sahip üç boyutlu bir şekildir. Düzgün bir piramit, tabanı düzgün bir çokgen olan, yani çokgenin tüm kenarları eşit uzunlukta olan ve tüm açı ölçüleri eşit olan bir piramittir.

   • Çoğunlukla bir piramidin kare bir tabana ve tek bir noktaya kadar sivrilen kenarlara sahip olduğunu hayal ederiz, ancak bir piramidin tabanı aslında 5, 6 ve hatta 100 kenara sahip olabilir!
   • Bir sonraki yöntemde tartışılacak olan dairesel tabanlı bir piramite koni denir.
2. 
   2
   Düzgün bir piramidin hacim formülünü öğren. Düzgün bir piramidin hacim formülü V = 1/3bh'dır ve burada b piramidin tabanının alanı (alttaki çokgen) ve h piramidin yüksekliği veya tabandan tepeye (doruk noktası) dikey mesafedir.

   • Hacim formülü, tepenin doğrudan tabanın merkezinin üzerinde olduğu dik piramitler ve tepenin ortalanmadığı eğik piramitler için aynıdır.
3. 
   3
   Tabanın alanını hesapla. Bu formül, piramidin tabanının sahip olduğu kenar sayısına bağlı olacaktır. Şeklimiz üzerinde piramitte taban, 6 inç uzunluğunda kenarları olan bir karedir. Hatırlayacak olursan bir karenin alan formülü A = s² şeklindedir ve burada s kenarların uzunluğunu ifade eder. Yani bu piramit için, taban alanı (6 inç) ² veya 36 inç²’dir.

   • Üçgenin alan formülü: A = 1/2bh; burada b üçgenin tabanı ve h yüksekliktir.
   • Herhangi bir düzgün çokgenin alanını, A = 1/2pa formülünü kullanarak bulmak mümkündür; burada A alan, p şeklin çevresi ve a yanal yükseklik ya da şeklin merkezinden herhangi bir kenarın orta noktasına olan mesafedir. Bu, bu makalenin kapsamının ötesine geçen oldukça kapsamlı bir hesaplamadır, ancak nasıl kullanılacağına ilişkin bazı harika talimatlar için Bir Çokgenin Alanı Nasıl Hesaplanır'a bak. Ya da hayatını kolaylaştırabilir ve internet üzerinden bir Düzgün Çokgen Hesaplayıcı arayabilirsin.
4. 
   4
   Piramidin yüksekliğini bul. Çoğu durumda bu, şekil üzerinde gösterilecektir. Örneğimizde piramidin yüksekliği 10 inçtir.
5. 
   5
   Piramidin taban alanını yüksekliğiyle çarp ve hacmi bulmak için 3'e böl. Hacim formülünün V = 1/3bh olduğunu unutma. Alanı 36 ve yüksekliği 10 olan örnek piramidimizde hacim: 36 * 10 * 1/3 veya 120'dir.

   • Alanı 26 ve yüksekliği 8 olan beşgen tabanlı farklı bir piramidimiz olsaydı, hacim şöyle olurdu: 1/3 * 26 * 8 = 69,33.
6. 
   6
   Cevabını kübik birimlerle ifade etmeyi unutma. Örnek piramidimizin ölçümleri inç cinsinden verilmiştir, bu nedenle hacmi inç küp, yani 120 inç³ şeklinde ifade edilmelidir. Piramidimiz metre cinsinden ölçülmüş olsaydı, hacim bunun yerine metreküp (m³) cinsinden ifade edilirdi.
   Reklam

Yöntem 5

Yöntem 5 / 6:

Bir Koninin Hacmini Hesaplamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Bir koninin özelliklerini öğren. Bir koni, dairesel bir tabana ve tek bir tepe noktasına (koninin ucu) sahip 3 boyutlu bir cisimdir. Bunu düşünmenin bir başka yolu da, koninin dairesel bir tabanı olan özel bir piramit olduğunu düşünmektir.

   • Koninin tepe noktası doğrudan dairesel tabanın merkezinin üstündeyse, koniye "dik koni" denir. Eğer tepe noktası hemen merkezin üzerinde değilse koniye "eğik koni" denir. Neyse ki, bir koninin alanını hesaplamanın formülü, doğru veya eğik olmasına bakılmaksızın aynıdır.
2. 
   2
   Bir koninin hacim formülünü öğren. Formül, V = 1/3πr²h şeklindedir ve burada r koninin dairesel tabanının yarıçapı, h koninin yüksekliği ve π ise pi sabitidir ve 3,14'e yuvarlanabilir.

   • Formülün πr² kısmı, koninin dairesel tabanının alanını ifade eder. Dolayısıyla koninin hacmi için formül 1/3bh'dir, tıpkı yukarıdaki yöntemdeki bir piramidin hacim formülü gibi!
3. 
   3
   Koninin dairesel tabanının alanını hesapla. Bunu yapmak için tabanın yarıçapını bilmen gerekir ki bunun, şeklin üzerinde verilmiş olması gerekir. Bunun yerine dairesel tabanın çapı verilmişse bu sayıyı 2'ye böl çünkü çap, yarıçapın 2 katıdır (d = 2r). Ardından alanı hesaplamak için yarıçapı A = πr ² formülünde yerine koy.

   • Şekildeki örnekte, koninin dairesel tabanının yarıçapı 3 inçtir. Bunu formülde yerine koyduğumuzda şunu elde ederiz: A = π3².
   • 3² = 3 *3 ya da 9, yani A = 9π.
   • A = 28,27 inç²
4. 
   4
   Koninin yüksekliğini bul. Bu, koninin tabanı ile tepe noktası arasındaki dikey mesafedir. Örneğimizde koninin yüksekliği 5 inçtir.
5. 
   5
   Koninin yüksekliğini taban alanı ile çarp. Örneğimizde, taban alanı 28,27 inç² ve yükseklik 5 inç, yani bh = 28,27 * 5 = 141,35.
6. 
   6
   Şimdi koninin hacmini bulmak için sonucu 1/3 ile çarp (veya 3'e böl). Yukarıdaki adımda, koninin duvarları tek bir noktaya meyilli olmak yerine düz bir şekilde başka bir daireye uzandığında oluşacak silindirin hacmini aslında hesapladık. 3'e bölmek bize sadece koninin hacmini verir.

   • Örneğimizde, koninin hacmi 141,35 * 1/3 = 47,12.
   • Bunu yeniden ifade edecek olursak 1/3π3²5 = 47,12
7. 
   7
   Cevabını kübik birimlerle ifade etmeyi unutma. Konimiz inç cinsinden ölçülmüştür, bu nedenle hacim inç küp olarak ifade edilmelidir: 47,12 inç³.
   Reklam

Yöntem 6

Yöntem 6 / 6:

Bir Kürenin Hacmini Hesaplamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Bir küreyi belirle. Küre, yüzeydeki her noktanın merkezden eşit uzaklıkta olduğu, tamemen yuvarlak, üç boyutlu bir nesnedir. Başka bir deyişle, küre, top şeklindeki bir nesnedir.
2. 
   2
   Bir kürenin hacim formülünü öğren. Bir kürenin hacim formülü 4/3πr³ şeklindedir (yani: "pi çarpı r'nin kübünün dört bölü üçü") ve burada r kürenin yarıçapıdır ve π pi sabitidir (3,14).
3. 
   3
   Kürenin yarıçapını bul. Şekil üzerinde yarıçap verilmişse r'yi bulman yeterli. Çap belirtilmişse yarıçapı bulmak için bu sayıyı 2'ye bölmelisin. Örneğin, şekildeki kürenin yarıçapı 3 inçtir.
4. 
   4
   Yarıçap verilmemişse küreyi ölç. Yarıçapı bulmak için küre şeklindeki bir nesneyi (tenis topu gibi) ölçmen gerekiyorsa önce nesnenin etrafını sarmaya yetecek büyüklükte bir ip parçası bul. Ardından ipi nesnenin etrafına en geniş noktasından sar ve ipin üst üste bindiği noktayı işaretle. Ardından, çevreyi bulmak için ipi bir cetvelle ölç. Bu değeri 2π veya 6,28'e böldüğünde kürenin yarıçapını elde edeceksin.

   • Örneğin, bir topu ölçersen ve çevresinin 18 santimetre olduğunu bulursan bu sayıyı 6,28'e bölerek yarıçapın 2,87 santimetre olduğunu bulacaksın.
   • Küresel bir nesneyi ölçmek biraz yanıltıcı olabilir, bu nedenle mümkün olan en doğru değere sahip olduğundan emin olmak için 3 farklı ölçüm yapmak ve ardından bunların ortalamasını almak (üç ölçümü topla, sonra 3'e böl) isteyebilirsin.
   • Örneğin, üç çevre ölçümün 18 santimetre, 17,75 santimetre ve 18,2 santimetre ise, bu üç değeri topla (18 + 17,5 + 18,2 = 53,95) ve bu değeri 3'e böl (53,95 / 3 = 17,98). Hacim hesaplamalarında bu ortalama değeri kullan.
5. 
   5
   Yarıçapın küpünü alarak r³’ü bul. Bir sayının küpünü almak, sayının kendisiyle 3 kez çarpılması anlamına gelir, yani r³ = r * r * r. Örneğimizde, r = 3, yani r ³ = 3 * 3 * 3 veya 27.
6. 
   6
   Şimdi cevabını 4/3 ile çarp. Hesap makineni kullanabilir ya da çarpma işlemini elle yapabilir ve ardından kesiri sadeleştirebilirsin. Örneğimizde 27 x 4/3 = 108/3 veya 36.
7. 
   7
   Kürenin hacmini bulmak için sonucu π ile çarp. Hacmi hesaplamanın son adımı, şu ana kadarki sonucu π ile çarpmaktır. π'yi iki basamağa yuvarlamak çoğu matematik problemi için genellikle yeterlidir (öğretmenin aksini belirtmedikçe), bu nedenle 3,14 ile çarp ve cevabını elde et.

   • Örneğimizde, 36 * 3,14 = 113,09.
8. 
   8
   Cevabını kübik birimlerle ifade et. Örneğimizde, kürenin yarıçapının ölçümü inç cinsindendi, dolayısıyla cevabımız aslında V = 113,09 santimetreküp (113,09 cm³).
   Reklam