Come Calcolare il Volume

Il volume di un solido è il valore di quanto spazio tridimensionale occupa l’oggetto. Puoi pensare al volume come alla quantità di acqua (o di sabbia, o aria e così via) che l’oggetto può contenere una volta riempito completamente. Le unità di misura più comuni sono i centimetri cubi (cm³) e i metri cubi (m³); nel sistema anglosassone invece si preferiscono i pollici cubi (in³) e i piedi cubi (ft³). Questo articolo ti insegnerà a calcolare il volume di sei differenti figure solide che si trovano comunemente nei problemi di matematica (come i coni, i cubi e le sfere). Noterai che molte formule del volume sono simili fra loro, cosa che le rende semplici da memorizzare. Mettiti alla prova e verifica se riesci a riconoscerle durante la lettura!

In Breve: Calcolare il Volume di Figure Comuni

In un cubo o un parallelepipedo rettangolo devi misurare l’altezza, la larghezza e la profondità per poi moltiplicarle fra loro e trovare il volume.Vedi i dettagli e le immagini.
Misura l’altezza di un cilindro e il raggio della base. Usa questi valori e calcola πr², poi moltiplica il risultato per l’altezza. Vedi i dettagli e le immagini.
Il volume di una piramide regolare è uguale a ⅓ x area della base x altezza. Vedi i dettagli e le immagini.
Il volume di un cono si calcola con la formula: ⅓πr²h, dove r è il raggio della base e h l’altezza del cono. Vedi i dettagli e le immagini.
Per trovare il volume di una sfera, tutto ciò che devi conoscere è il raggio r. Inserisci il suo valore nella formula ⁴/₃πr³. Vedi i dettagli e le immagini.

Metodo 1

Metodo 1 di 6:

Calcolare il Volume di un Cubo

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Riconosci un cubo. È una figura geometrica tridimensionale con sei facce quadrate uguali fra loro. In altre parole, è una scatola con tutti i lati uguali.
- Un dado a sei facce è un buon esempio di cubo che puoi trovare in casa. Anche le zollette di zucchero e i blocchi di legno per bambini con le lettere sono solitamente dei cubi.
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Impara la formula per il volume del cubo. Dato che tutti i lati sono uguali, la formula è molto semplice. È V = s³, dove V sta per volume e s è la lunghezza di un lato del cubo.
- Per trovare s³, moltiplica semplicemente s tre volte per se stesso: s³ = s * s * s.
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Trova la lunghezza di un lato. In base al tipo di problema che ti viene dato, potresti già avere questo dato oppure dovrai misurarlo con un righello. Ricorda che, dato che nel cubo tutti i lati sono uguali, non è importante quale consideri.
- Se non sei sicuro al 100% che la figura in oggetto sia un cubo, misura ogni lato per accertarti che siano tutti uguali. Se così non fosse, dovrai usare il metodo descritto in seguito per calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolo.
Per esempio, se hai trovato che la lunghezza del lato del cubo è 5 cm, allora dovresti riscrivere la formula come segue: V = (5 cm)³. 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm³, cioè il volume del cubo!
Nell’esempio di cui sopra, la lunghezza del lato del cubo è stata misurata in centimetri, per cui il volume deve essere espresso in centimetri cubi. Se il valore del lato fosse stato di 3 cm, il volume sarebbe stato di V = (3 cm)³ quindi V = 27 cm³.
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Metodo 2

Metodo 2 di 6:

Calcolare il Volume di un Parallelepipedo Rettangolo

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Riconosci un parallelepipedo rettangolo. Questa figura tridimensionale, detta anche prisma rettangolare, presenta sei facce rettangolari. In altre parole, si tratta di una “scatola” con i lati che sono dei rettangoli.
- Un cubo è in realtà un parallelepipedo rettangolo particolare in cui tutti gli spigoli sono uguali.
La formula è: Volume = lunghezza * profondità * altezza o V = lph.
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Trova la lunghezza del solido. Si tratta del lato più lungo della faccia parallela al suolo (o quella su cui si appoggia il parallelepipedo). La lunghezza può essere fornita dal problema oppure deve essere misurata con un righello (o un metro a nastro).
- Per esempio: la lunghezza di questo solido rettangolare è di 4 cm, quindi l = 4 cm.
- Non preoccuparti troppo in merito a quale lato consideri come lunghezza, profondità e altezza. Fintanto che misuri tre dimensioni differenti, il risultato non cambia, a prescindere dalla posizione dei fattori.
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Trova la profondità del solido. Questa consiste nel lato più corto della faccia parallela al suolo, quella su cui poggia il parallelepipedo. Anche in questo caso, verifica se il problema fornisce questo dato, oppure misuralo con un righello o un metro a nastro.
- Esempio: la profondità di questo parallelepipedo rettangolo è 3 cm per cui p = 3 cm.
- Se stai misurando il solido rettangolare con un metro o un righello, ricorda di annotare l’unità di misura accanto al valore numerico e che questa sia costante per ogni misurazione. Non misurare un lato in centimetri e l’altro in millimetri, usa sempre la stessa unità!
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Trova l’altezza del parallelepipedo. Questa è la distanza fra la faccia appoggiata a terra (o quella su cui poggia il solido) e la faccia superiore. Individua questa informazione nel problema o ricavala misurando il solido con un righello o un metro a nastro.
- Esempio: l’altezza di questo solido è 6 cm, quindi h = 6 cm.
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Inserisci le dimensioni del parallelepipedo rettangolo nella formula e svolgi i calcoli. Ricorda che V = lph.
- Nel nostro esempio, l = 4, p = 3 e h = 6. Per cui V = 4 * 3 * 6 = 72.
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Verifica di avere espresso il valore in unità cubiche. Dato che le dimensioni del parallelepipedo considerato sono state misurate in centimetri, la tua risposta sarà scritta come 72 centimetri cubi o 72 cm³.
- Se le dimensioni fossero state: lunghezza = 2 cm, profondità = 4 cm e altezza = 8 cm, il volume sarebbe stato 2 cm * 4 cm * 8 cm = 64 cm³.
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Metodo 3

Metodo 3 di 6:

Calcolare il Volume di un Cilindro

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Impara a riconoscere un cilindro. Si tratta di una figura geometrica solida con due basi circolari e piatte identiche fra loro con un’unica faccia curva che le collega.
- Un buon esempio di cilindro sono le batterie di tipo AA o AAA.
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Memorizza la formula del volume del cilindro. Per calcolare questo dato, devi conoscere l’altezza della figura e il raggio della base circolare (la distanza fra il centro e la circonferenza). La formula è: V = πr²h, dove V è il volume, r è il raggio della base circolare, h è l’altezza del solido e π è la costante pi greco.
- In alcuni problemi di geometria la soluzione può essere espressa in termini di pi greco, ma nella maggioranza dei casi puoi arrotondare la costante a 3,14. Chiedi al tuo insegnante cosa preferisce.
- La formula per trovare il volume di un cilindro è molto simile a quella del parallelepipedo rettangolo: moltiplichi semplicemente l’altezza del solido per l’area della base. In un parallelepipedo rettangolo la superficie della base è pari a l * p mentre per il cilindro è πr², cioè l’area di un cerchio con raggio r.
Se questo valore è fornito dal problema, usa semplicemente il numero che viene dato. Se viene reso noto il diametro al posto del raggio, dividi il valore per due (d = 2r).
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Misura il solido, se non ne conosci il raggio. Stai attento perché ottenere delle rilevazioni accurate da un oggetto circolare non è sempre facile. Una soluzione potrebbe essere quella di misurare la faccia superiore del cilindro con un righello o un metro a nastro. Fai del tuo meglio per allinearti con la parte più ampia del cerchio (il diametro) e poi dividi il dato che ottieni per 2, così otterrai il raggio.
- In alternativa, misura la circonferenza del cilindro (il perimetro) usando un metro a nastro o un pezzo di corda su cui puoi segnare la misura della circonferenza (e poi verificarla con un righello). Inserisci il dato trovato nella formula per la circonferenza: C (circonferenza) = 2πr. Dividi la circonferenza per 2π (6,28) e ottieni il raggio.
- Ad esempio, se la circonferenza che hai misurato è pari a 8 cm, allora il raggio sarà 1,27 cm.
- Se hai bisogno di dati precisi, puoi usare entrambi i metodi per accertarti di ottenere valori simili. Se così non fosse, ripeti il procedimento. Calcolare il raggio dal valore della circonferenza, solitamente, fornisce risultati più precisi.
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Calcola l’area del cerchio di base. Inserisci il valore del raggio nella formula dell’area: πr². Per prima cosa moltiplica il raggio una volta per se stesso e moltiplica il prodotto per π. Ad esempio:
- Se il raggio del cerchio è pari a 4 cm, allora l’area della base è A = π4².
- 4² = 4 * 4 = 16. 16 * π (3,14) = 50,24 cm².
- Se ti è stato fornito il diametro della base al posto del raggio, ricorda che questo è pari a d = 2r. Dovrai semplicemente dividere il diametro a metà per avere il raggio.
Questa è la distanza fra le due basi circolari. Trova questo dato nel problema oppure misuralo con un righello o un metro a nastro.
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Moltiplica il valore dell’area della base per quello dell’altezza del cilindro e otterrai il volume. Oppure puoi evitare questo passaggio inserendo le dimensioni del solido direttamente nella formula V = πr²h. Nel nostro esempio, il cilindro di raggio 4 cm e altezza 10 cm avrà un volume di:
- V = π4²10
- π4² = 50,24
- 50,24 * 10 = 502,4
- V = 502,4
Nel nostro esempio, le dimensioni del cilindro sono state rilevate in centimetri, quindi il volume deve essere espresso in centimetri cubi: V = 502,4 cm³. Se il cilindro fosse stato misurato in millimetri, il volume sarebbe stato indicato in millimetri cubi (mm³).
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Metodo 4

Metodo 4 di 6:

Calcolare il Volume di una Piramide Regolare

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Comprendi cos’è una piramide regolare. Si tratta di una figura solida con un poligono per base e le facce laterali che si congiungono in un vertice (la punta della piramide). Una piramide regolare ha come base un poligono regolare (con tutti i lati e gli angoli uguali).
- Il più delle volte immaginiamo una piramide a base quadrata con i lati che convergono in un unico punto, ma esistono piramidi con una base da 5, 6 e addirittura 100 lati!
- Una piramide a base circolare è detta cono e sarà discussa successivamente.
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Impara la formula del volume di una piramide regolare. Questa è V = 1/3bh, dove b è l’area della base della piramide (il poligono che si trova sul fondo del solido) e h è l’altezza della piramide (la distanza verticale fra la base e il vertice).
- La formula del volume vale per tutti i tipi di piramidi rette, dove il vertice si trova perpendicolare al centro della base, e per quelle oblique, dove il vertice non è centrato.
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Calcola l’area della base. La formula dipende da quanti lati ha la figura geometrica che funge da base. Quella del nostro diagramma ha una base quadrata con lati da 6 cm. Ricorda che la formula dell’area del quadrato è A = s² dove s è la lunghezza del lato. Nel nostro caso, l’area della base è (6 cm) ² = 36 cm².
- La formula per l’area del triangolo è: A = 1/2bh, dove b è la base del triangolo e h la sua altezza.
- È possibile trovare l’area di qualunque poligono regolare usando la formula A = 1/2pa, dove A è l’area, p è il perimetro e a è l’apotema, la distanza fra il centro della figura geometrica e il punto mediano di qualunque lato. Questo è un calcolo piuttosto complesso che va oltre lo scopo di questo articolo, tuttavia puoi leggere questo articolo dove troverai valide istruzioni. In alternativa, puoi trovare delle “scorciatoie” online con dei calcolatori automatici di aree dei poligoni.
Nella maggior parte dei casi questo dato viene indicato nel problema. Nel nostro esempio specifico la piramide ha altezza pari a 10 cm.
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Moltiplica l’area della base per la sua altezza e dividi il risultato per 3, in questo modo ottieni il volume. Ricorda che la formula del volume è: V = 1/3bh. Nella piramide dell’esempio con base 36 e altezza 10 il volume è: 36 * 10 * 1/3 = 120.
- Se avessimo avuto una piramide diversa, con una base pentagonale di area 26 e altezza 8, il volume sarebbe stato: 1/3 * 26 * 8 = 69,33.
Le dimensioni della nostra piramide sono state indicate in centimetri, quindi il volume deve essere espresso in centimetri cubi: 120 cm³. Se la piramide fosse stata misurata in metri, il volume sarebbe espresso in metri cubi (m³).
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Metodo 5

Metodo 5 di 6:

Calcolare il Volume di un Cono

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Impara le proprietà del cono. Si tratta di un solido tridimensionale con una base circolare e un singolo vertice (la punta del cono). Un modo alternativo per pensare al cono è quello di considerarlo una piramide speciale con una base circolare.
- Se il vertice del cono è perpendicolare al centro del cerchio della base, si parla di "cono retto". Se il vertice non è centrato con la base, si parla di "cono obliquo". Per fortuna, la formula del volume è la stessa, che si tratti di un cono obliquo o retto.
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Impara la formula del volume del cono. Questa è: V = 1/3πr²h, dove r è il raggio della base circolare, h l’altezza del cono e π è la costante pi greco che può essere approssimata a 3,14.
- La parte della formula πr² fa riferimento all’area della base circolare del cono. Per questo, puoi pensarla come alla formula generale del volume di una piramide (vedi il metodo precedente) che è V = 1/3bh!
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Calcola l’area della base circolare. Per farlo devi conoscerne il raggio, che dovrebbe essere indicato fra i dati del problema o nel diagramma. Se ti viene fornito il diametro, ricorda che devi solamente dividerlo per 2 per trovare il raggio (dato che d = 2r). A questo punto inserisci il valore del raggio nella formula A = πr² e trova l’area della base.
- Nell’esempio del nostro diagramma, il raggio della base è 3 cm. Quando inserisci tale dato nella formula ottieni: A = π3².
- 3² = 3 *3 = 9 quindi A = 9π.
- A = 28,27 cm²
Questa è la distanza verticale fra il vertice e la base del solido. Nel nostro esempio, il cono ha altezza pari a 5 cm.
Nel nostro caso l’area è 28,27 cm² e l’altezza è 5 cm, per cui bh = 28,27 * 5 = 141,35.
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A questo punto devi moltiplicare il risultato per 1/3 (o semplicemente dividerlo per 3), così da trovare il volume del cono. Nel passaggio precedente abbiamo praticamente calcolato il volume di un cilindro con le pareti che si estendevano verso l’alto, perpendicolarmente alla base; tuttavia, poiché consideriamo un cono le cui pareti convergono verso il vertice, dobbiamo dividere questo valore per 3.
- Nel nostro caso: 141,35 * 1/3 = 47,12 cioè il volume del cono.
- Per ribadire il concetto: 1/3π3²5 = 47,12.
Dato che il nostro cono è stato misurato in centimetri, il suo volume deve essere espresso in centimetri cubi: 47,12 cm³.
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Metodo 6

Metodo 6 di 6:

Calcolare il Volume di una Sfera

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Si tratta di un oggetto tridimensionale perfettamente rotondo dove ogni punto della superficie è equidistante dal centro. In altri termini, una sfera è un oggetto a forma di palla.
Questa è: V = 4/3πr³ (che si pronuncia "quattro terzi pi greco erre al cubo"), dove r sta per il raggio della sfera e π è la costante pi greco (3,14).
Se il raggio viene indicato nel diagramma, allora non è difficile individuarlo. Se ti viene fornito il dato del diametro, devi dividere questo valore per 2 e troverai il raggio. Ad esempio, il raggio della sfera nel diagramma è di 3 cm.
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Misura la sfera se il dato del raggio non è indicato. Se devi misurare un oggetto sferico (come una palla da tennis) per trovare il raggio, come prima cosa devi procurarti uno spago abbastanza lungo da potere essere avvolto attorno all’oggetto. Successivamente, avvolgi lo spago sulla sfera nel punto più largo (o equatore) e traccia un segno dove la corda si sovrappone a se stessa. Quindi misura il segmento di spago con un righello e ottieni il valore della circonferenza. Dividi questo numero per 2π, o 6,28, e ottieni il raggio della sfera.
- Consideriamo l’esempio in cui la circonferenza della palla da tennis sia 18 cm: dividi tale numero per 6,28 e ottieni un valore per il raggio di 2,87 cm.
- Non è semplice misurare un oggetto sferico, la cosa migliore è quella di effettuare tre misurazioni e calcolarne la media (somma i valori fra loro e dividi il risultato per 3), in questo modo otterrai il dato più preciso possibile.
- Ad esempio, supponiamo che le tre misurazioni della circonferenza della palla da tennis siano: 18 cm, 17,75 cm e 18,2 cm. Dovresti sommare fra loro questi numeri (18 + 17,75 + 18,2 = 53,95) e poi dividere il risultato per 3 (53,95/3 = 17,98). Utilizza questo valore medio per i calcoli del volume.
Questo significa semplicemente moltiplicare il dato tre volte per se stesso, quindi: r³ = r * r * r. Seguendo sempre la logica del nostro esempio, abbiamo che r = 3, da cui r³ = 3 * 3 * 3 = 27.
Puoi utilizzare una calcolatrice o svolgere la moltiplicazione a mano e poi semplificare la frazione. Nell’esempio della palla da tennis avremo che: 27 * 4/3 = 108/3 = 36.
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A questo punto moltiplica il valore ottenuto per π e troverai il volume della sfera. L’ultimo passaggio prevede di moltiplicare il risultato trovato finora per la costante π. Nella maggior parte dei problemi di matematica, questa si arrotonda alle prime due cifre decimali (a meno che il tuo insegnante dia delle istruzioni differenti); quindi puoi tranquillamente moltiplicare per 3,14 e trovare la soluzione finale al quesito.
- Nel nostro esempio: 36 * 3,14 = 113,09.
Nel nostro esempio abbiamo espresso il raggio in centimetri, per cui il valore del volume sarà V = 113,09 centimetri cubi (113,09 cm³).
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