부피 구하는 법

어떤 입체도형의 부피를 측정한다는 말은 곧 삼차원에서 그 도형이 얼마만큼의 공간을 차지하는지 계산하겠다는 말과 같다.^{[1]X출처 검색하기} 상상하기가 힘든가? 그러면 그 도형에 공기나 물, 모래를 넣었을 때 얼마나 공간을 차지할 지를 생각해보자. 그 개념이 바로 부피이다. 일반적으로 부피를 쓰게 되면 단위는 세제곱으로 적게 되는데 대한민국에서는 cm³나 m³, 미국에서는 in³, ft³를 주로 사용한다.^{[2]X출처 검색하기} 이 글에서는 수학 시험에 자주 등장하는 여섯 가지 다른 입체도형의 부피를 구하는 방법을 배워볼 것이며, 그 도형에는 정육면체, 구, 원뿔 등이 포함되어 있다. 게다가 각 단계마다 필요한 공식을 적어놨으니 차례대로 공부해 보도록 하자!

방법 1

방법 1 의 6:

정육면체의 부피 구하기

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1
정육면체 이해하기. 정육면체는 여섯 개의 정사각형 모양의 면을 가진 삼차원 도형이다.^{[3]X출처 검색하기} 즉, 정육면체는 모든 면의 형태가 같다.
- 정육면체의 대표적인 예로 주사위가 있다. 또 집에서 쉽게 찾을 수 있는 정육면체로는 각설탕이나 아이들이 가지고 노는 블록쌓기 장난감 등이 있다.
2
정육면체 부피 공식 배우기. 정육면체의 모든 모서리의 길이는 동일하기 때문에 부피 공식은 다음처럼 간단하게 표현된다. V = s³. 한 모서리의 길이가 s일 때, 세제곱하면 부피 V가 된다는 말이다.
- s³를 구하려면, 다음처럼 s를 세 번 곱하면 된다: s³ = s * s * s
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정육면체의 모서리 길이 구하기. 주어진 문제에서 주어진 정보를 놓고 당신이 가장 먼저 해야 할 것은 정육면체의 모서리 길이를 구하는 것이다. 정육면체는 모든 모서리의 길이가 같으므로 하나만 구하면 될 것이다. 값이 주어지지 않았다면 자로 측정한다.
- 주어진 도형이 정육면체인지 확실하지 않으면 한 점을 공유하는 세 모서리의 길이를 측정해 길이가 같은지 확인하도록 한다. 만약 다르다면 이 과정을 건너뛰어 사각기둥의 부피를 구하는 법으로 넘어가도록 한다.
예를 들어 주어진 정육면체의 한 모서리 길이가 5인치인 경우에 공식에 값을 대입하면 다음과 같이 계산할 수 있다: V = (5 in)³. 5 in * 5 in * 5 in = 125 in³. 이 값이 주어진 정육면체의 부피가 된다!
위의 예시를 보면 정육면체의 모서리를 미국에서 쓰는 단위인 인치(inches)로 측정했다. 따라서 부피의 단위는 세제곱인치가 될 것이다. 만약 정육면체의 모서리 길이가 3 cm였다면 부피는 V = (3 cm)³, or V = 27cm³가 될 것이다.
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방법 2

방법 2 의 6:

사각기둥의 부피 구하기

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사각기둥 이해하기. 사각기둥은 여섯 면이 직사각형으로 이루어진 삼차원 도형을 의미한다.^{[4]X출처 검색하기} 모든 면이 직사각형으로 이루어진 상자를 생각하면 편할 것이다.
- 정육면체는 사각기둥의 특이한 형태로 모든 면이 정사각형으로 이루어져 있다.
모든 면이 직사각형인 사각기둥의 공식은 다음과 같다: 부피 = 가로 * 세로 * 높이, V = lwh. ^{[5]X출처 검색하기}
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사각기둥의 가로 길이 구하기. 일반적으로 가로 길이는 사각기둥의 밑면을 이루는 직사각형의 모서리 중 더 긴 모서리의 길이를 의미한다. 이 길이가 문제에서 주어지지 않았다면 직접 자나 테이프줄자를 가지고 사각기둥의 가로 길이를 측정하도록 한다.
- 예를 들어 어떤 사각기둥의 길이가 4인치로 주어졌다고 하자. 그러면 l = 4 in 로 쓸 수 있을 것이다.
- 밑면의 어느 모서리를 길이로 정해야 하는지 너무 걱정하지 않아도 된다. 가로와 세로 길이는 이름을 바꿔도 상관없으며, 공식에 올바른 값을 대입하고 단위를 제대로 맞추면 언제나 같은 결과를 얻을 것이다.
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사각기둥의 세로 길이 구하기. 사각기둥의 세로 길이는 밑면의 직사각형에서 더 짧은 모서리의 길이를 보통 의미한다. 만약 문제에서 도형이 주어졌다면 특정 모서리에 세로라고 명확히 표시되어 있는지 확인하자. 또한 값이 주어지지 않았다면 줄자나 자를 사용해 직접 측정한다.
- 위의 예시의 사각기둥의 세로 길이가 3인치로 주어졌다면. w = 3 in 로 쓸 수 있을 것이다.
- 만약 자나 줄자를 사용해 직접 사각기둥의 가로와 세로 길이를 측정하고 있다면 모든 측정을 같은 단위로 하도록 하자. 가로 길이는 인치로 재고 세로 길이는 센티미터로 재서 계산하면 답이 틀리게 나올 것이다. 항상 단위는 같아야 한다!
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사각기둥의 높이 구하기. 사각기둥의 높이라 하면 보통 사각기둥이 놓여있는 바닥으로부터 사각기둥의 윗면까지의 길이를 의미한다. 높이가 주어진 문제에서 표시되어 있는지 사전에 확인하고 또한 값이 주어지지 않은 상태라면 직접 자나 줄자를 들고 측정하도록 한다.
- 이번에는 사각기둥의 높이가 6인치로 주어졌다고 하자. 그러면 h = 6 in 로 쓸 수 있다.
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위에서 구한 가로, 세로, 높이의 길이를 부피 공식에 넣어 계산하기. 부피 공식은 V = lwh 이다.
- 우리에게 주어진 값들을 다 공식에 넣어보자. l = 4, w = 3, h = 6 이었으므로 V = 4 * 3 * 6 = 72가 될 것이다.
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최종값의 단위를 세제곱으로 적기. 우리가 구한 사각기둥의 단위를 측정하고 계산할 떄 인치를 사용했으므로 결과값 역시 세제곱인치로 적는다. 따라서 72 in³가 된다.
- 만약 사각기둥의 각 모서리 길이가 다음처럼 센티미터 였다면, 가로 = 2 cm, 세로 = 4 cm, 높이 = 8 cm 로 쓸 수 있을 것이고 부피를 구하면 2 cm * 4 cm * 8 cm = 64cm³가 될 것이다.
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방법 3

방법 3 의 6:

원기둥의 부피 구하기

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1
원기둥 이해하기. 원기둥은 밑면이 원이고 측면이 원주를 따라 이어진 삼차원 도형이다.^{[6]X출처 검색하기}
- AA, AAA 건전지나 알루미늄 캔 등이 일상 속에서 찾을 수 있는 원기둥의 예라고 할 수 있다.
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원기둥 부피 공식 외우기. 원기둥의 부피를 구하기 위해서는 먼저 원기둥의 높이와 밑면 원의 반지름을 알아야 한다. 따라서 공식은 V = πr²h 로 쓸 수 있을 것이다. V는 원기둥의 부피이며, r은 윗면과 밑면이 공통적으로 가지는 반지름, 그리고 h는 원기둥의 높이이며, π는 상수 파이를 의미한다.
- 기하학을 공부하는 과정에서는 종종 답을 파이로 나타내라고 할 때가 있을 것이다. 하지만 대부분의 경우에는 파이를 3.14로 근사해 계산한다. 따라서 선생님께 물어봐 어떻게 하는 것이 좋을 지 문제를 풀기 전에 알아놓도록 하자.
- 사실 원기둥의 부피 공식은 사각기둥의 부피 공식과 매우 흡사하다. 두 공식을 놓고 보면 결국 삼차원 도형의 밑면 넓이에 전체 도형의 높이를 곱하는 것이기 때문이다. 사각기둥에서는 밑면의 넓이가 l * w 였고, 원기둥에서는 반지름 r을 가지는 원 형태의 밑면 넓이가 πr²이 된다.
만약 주어진 문제의 도형에 이미 반지름이 표시되어 있다면 써 있는 반지름 값을 그대로 사용하면 된다. 만약 반지름이 아닌 지름이 주어졌다면 그 값을 2로 나눠 반지름을 얻는다. 식으로 쓰면 다음과 같을 것이다. d = 2r (d는 지름, r은 반지름)
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반지름이 주어지지 않은 경우 직접 측정하기. 먼저 원형 물체를 정확하게 측정하는 것이 까다로운 작업임을 이해하자. 반지름을 측정하기 위한 방법으로는 원기둥 윗면의 원의 중심에 자나 줄자를 대고 길이를 재는 것이다. 최대한 긴 길이를 구해야 지름이 될 것이며, 구한 값을 반으로 나눠야 반지름이 된다.
- 또 다른 방법으로는 원기둥의 윗면이나 밑면의 원주를 측정하는 것이다(원주는 원의 둘레를 의미한다). 줄자나 자를 이용해 바로 원주를 측정하거나 실을 원 둘레에 감아 한 바퀴 감고 다시 만나는 지점을 표시한 뒤 쭉 펴서 자로 재는 방법도 있다. 원주를 측정했으면 다음 공식을 보도록 하자: C (원주) = 2πr. 반지름 r을 구하려면 구한 원주의 값을 2π (6.28)로 나눠야 함을 알 수 있을 것이다.
- 예를 들어 측정한 원주 값이 8인치였으면 반지름은 1.27인치가 될 것이다.
- 만약 아주 정확하게 측정하고 싶다면 위의 두 가지 방법을 다 사용해 구한 반지름 값이 비슷한지 확인하도록 한다. 만약 아니라면 다시 측정을 한다. 원주를 자로 재서 반지름을 구하는 방법이 보통 더 정확한 편이다.
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밑면의 넓이 구하기. 구한 반지름을 밑면 원의 넓이를 구하기 위한 다음 공식 πr²에 대입하자. 먼저 반지름을 두 번 곱하고 나온 값에 π를 곱하면 된다. 계산 과정을 예로 들면 다음과 같다:
- 만약 주어진 원기둥의 밑면 원의 반지름이 4인치라면 밑면의 넓이 A는 다음처럼 표시할 수 있을 것이다. A = π4².
- 4² = 4 * 4 = 16. 16 * π (3.14) = 50.24 in²
- 만약 밑면 원의 지름이 대신 주어졌다면 지름이 반지름의 두 배임을 기억하고 2로 나눠 반지름을 구한다. 지름 d = 2r (반지름의 2배)이다.
윗면과 밑면이 얼마나 떨어져 있는지를 측정하면 된다. 아니면 원기둥의 윗면이 바닥으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 자를 대고 측정하자. 문제에서 이미 높이가 주어졌다면 그 값을 사용하면 되겠지만 아니라면 직접 재는 수 밖에 없다.
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밑면의 넓이에 원기둥 높이 곱해 부피 구하기. 아니면 위에서 배운 공식에 바로 값을 대입하면 이 단계를 건너뛰어 시간을 절약할 수도 있다. V = πr²h. 우리가 구했던 원기둥의 밑면 반지름은 4인치였고 높이가 10인치 였으므로 계산하면 다음처럼 나올 것이다:
- V = π4²10
- π4² = 50.24
- 50.24 * 10 = 502.4
- V = 502.4
우리가 계산한 원기둥의 부피는 인치를 단위로 사용했으므로 부피를 구했을 때 결과값 뒤에 세제곱인치로 적어줘야 한다: V = 502.4in³. 만약 측정할 때 센티미터를 사용했다면 부피는 세제곱센티미터가 될 것이다. (cm³).
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방법 4

방법 4 의 6:

각뿔의 부피 구하기

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각뿔 이해하기. 각뿔은 밑면이 다각형으로 이루어져 있고 옆면이 삼각형인 뿔 모양의 삼차원 도형을 의미한다. 이 모습이 마치 피라미드처럼 보여 영어로는 그냥 피라미드(pyramid)라고 부른다.^{[7]X출처 검색하기}일반적인 각뿔의 밑면 다각형은 보통 모든 모서리의 길이가 같으며 두 모서리가 이루는 각이 전부 일치한다.^{[8]X출처 검색하기}
- 우리는 보통 각뿔이라는 말을 들으면 밑면이 사각형이고 측면이 모두 삼각형인 뿔 형태의 도형을 떠올린다. 하지만 각뿔의 밑면은 오각형, 육각형이 될 수도 있으며 심지어 100각형이 될 수도 있다!
- 참고로 밑면이 원인 각뿔은 원뿔이라고 부른다. 원뿔의 부피를 구하는 법은 다음 단계에서 배울 것이니 궁금하면 스크롤을 내려 읽어보도록 하자.
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일반적인 각뿔의 부피 공식 배우기. 각뿔의 부피 공식은 밑면의 넓이가 b, 각뿔의 높이가 h라고 했을 때 다음과 같이 쓸 수 있다. V = 1/3bh. 여기서 각뿔의 높이라고 하면 밑면의 중심으로부터 직각을 이루도록 선을 그어 첨단까지 이어지는 선분의 길이를 의미한다.
- 이 부피공식은 다른 직각뿔에도 적용된다. 직각뿔은 각뿔의 첨단(뿔)에서 밑면으로 내린 수선이 밑면의 중심을 통과하는 각뿔을 의미한다.
3
밑면의 넓이 구하기. 각뿔의 밑면이 어떤 다각형으로 이루어져 있는지에 따라 넓이 공식이 바뀔 수 있다. 일단 우리에게 주어진 각뿔의 밑면이 사각형이라고 가정하자. 일반적으로 각뿔의 밑면은 정다각형이므로 사각형의 한 모서리의 길이가 6인치라고 하면 정사각형으로 생각하고 넓이를 A = s²처럼 써도 무방할 것이다. 참고로 s는 정사각형의 한 모서리 길이를 의미한다. 따라서 계산해보면 주어진 사각뿔의 밑면의 넓이는 (6 in) ², 즉 36in²가 될 것이다.
- 삼각형의 넓이는 다음 공식 A = 1/2bh 으로 구할 수 있다. b는 삼각형의 밑변, h는 높이를 의미한다.
- 만약 공식 A = 1/2pa를 사용한다면 모든 다각형의 넓이를 구할 수 있다. 하지만 a가 변심거리(도형의 중심에서 각 변의 중점까지의 거리), p가 도형의 둘레를 의미한다는 점을 고려하면, 이 글을 이해하기 위한 지식의 수준을 뛰어넘어야 한다. 하지만 알아두면 도움이 되는 지식이니 한 번 인터넷에서 검색해 배워보는 것은 어떨까? 찾기가 힘들다면 다음 사이트를 이용해도 된다.^{[9]X출처 검색하기}
일반적으로 높이는 문제에서 주어진다. 우리 예시에서는 각뿔의 높이가 10인치로 주어졌다고 가정할 것이다.
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각뿔의 밑면 넓이와 높이를 곱해 3으로 나눠 부피 구하기. 각뿔의 부피 공식이 V = 1/3bh 임을 다시 떠올린다. 우리에게 주어진 값을 생각해보자. 밑면의 넓이는 36 제곱인치였고 높이는 10인치였다. 따라서 값을 앞에서 설명한 공식에 대입하면 36 * 10 * 1/3 = 120 이 나올 것이다.
- 다른 모양의 밑면을 가진 각뿔이라 하더라도 부피를 구하는 방법은 같다. 예를 들어 오각뿔의 밑면 오각형 넓이가 26이고 각뿔의 높이가 8 이면, 부피는 1/3 * 26 * 8 = 69.33이 될 것이다.
아까 위에서 구한 사각뿔은 인치로 계산했다. 따라서 결과값인 부피는 세제곱인치로 다음과 같이 표현되어야 할 것이다. 120in³. 만약 인치가 아니라 미터였다면 결과값의 단위를 세제곱미터로 써야 한다.(m³)
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방법 5

방법 5 의 6:

원뿔의 부피 구하기

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1
원뿔 이해하기. 원뿔은 밑면이 원이고, 옆면이 곡면인 뿔 모양의 삼차원 도형이다. 앞에서 설명했듯이 원뿔은 밑면을 원으로 가지는 특이한 형태의 각뿔이다.^{[10]X출처 검색하기}
- 만약 원뿔의 밑면 중심에서 수선을 그었을 때 뿔의 정점과 만난다면 이를 직원뿔이라 부른다. 그리고 직원뿔이 아닌 원뿔을 빗원뿔이라고 부른다. 다행히도 원뿔의 부피 공식은 두 원뿔 다 동일하니 걱정하지 않아도 된다.
2
원뿔의 부피 공식 알기. 원뿔의 부피 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다. V = 1/3πr²h. 여기서 r은 밑면 원의 반지름, h는 원뿔이 높이, 그리고 π는 상수 파이를 의미한다. 일반적으로 3.14로 근사해 계산한다.
- 공식의 πr²은 원뿔의 밑면 원의 넓이를 의미한다. 따라서 밑면의 넓이를 b로 표현한다면 공식을 다음처럼 바꿔 쓸 수 있다. 1/3bh. 위에서 설명한 각뿔의 공식과 정확히 일치한다!
3
원뿔의 밑면 넓이 구하기. 원뿔의 밑면 넓이를 구하기 위해서는 먼저 원의 형태를 지닌 밑면의 반지름 r을 구해야 한다. 보통은 문제에서 값이 주어졌을 것이다. 만약 지름이 주어졌다면 2로 나누고(d = 2r), 원의 넓이 공식인 A = πr²에 대입하도록 하자.
- 위 그림을 보자. 우리에게 주어진 원뿔의 밑면 반지름은 3인치이다. 이 값을 공식에 대입하자. A = π3²로 쓸 수 있다.
- 3² = 3 * 3 = 9가 된다, 따라서 넓이 A = 9π 이다.
- A = 28.27in²
원뿔의 높이는 뿔로부터 밑면의 중심으로 수선을 그었을 때 그 선분의 길이를 의미한다. 우리에게 주어진 원뿔의 높이가 5인치라고 가정하자.
아까 위에서 구한 밑면 원의 넓이는 28.27in² 였으며 방금 전에 주어졌던 원뿔의 높이는 5 in 이므로, bh = 28.27 * 5 = 141.35 가 된다.
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위에서 구한 값에 1/3 곱해(아니면 3으로 나눌 수도 있다) 부피 구하기. 위에서 구한 값은 같은 밑면의 넓이와 높이를 가지는 원기둥의 부피와 같다. 일반적으로 같은 밑면 넓이와 높이를 가지는 원기둥은 동일한 조건의 원뿔 3개를 포함하므로 구한 값을 3으로 나누면 원뿔의 부피를 구할 수 있다.
- 아까 위에서 계산해 얻은 값을 3으로 나눠보자. 141.35 * 1/3 = 47.12이다. 따라서 이 값이 원뿔의 부피가 될 것이다.
- 공식에 각 값을 대입해 표현하면 다음과 같다. 1/3π3²5 = 47.12
우리가 구한 원뿔은 인치로 계산했기 때문에 결과 값을 세제곱인치로 표현해야 한다: 47.12in³.
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방법 6

방법 6 의 6:

구의 부피 구하기

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구는 한 점에서부터 거리가 같은 점들로 이루어진 완벽히 둥근 형태를 지닌 삼차원 도형이다. 공을 생각하면 된다.^{[11]X출처 검색하기}
구의 부피 공식을 먼저 소개하자면 다음과 같다. V = 4/3πr³. 여기서 r은 구의 반지름이며 π는 상수 파이(3.14)를 의미한다.^{[12]X출처 검색하기}
만약 반지름이 문제에서 주어졌다면 바로 반지름이 어디 있는지만 찾아서 값을 가져다 쓰면 된다. 지름이 주어졌다면 2로 나눠 반지름을 구하면 된다. 일단 우리에게 주어진 구의 반지름이 3인치라고 가정하고 문제를 풀어보자.
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반지름이 주어지지 않았을 때 구의 반지름 측정하기. 테니스 공 처럼 구 형태의 반지름을 측정하려면 먼저 실을 찾아 구를 한 바퀴 빙 돌려 묶도록 하자. 다만 묶기 전에 가장 실의 길이가 길어지는 것 같은 부분을 짐작한 뒤 표시를 하고 묶도록 한다. 실이 묶이는 장소에 표시를 했으면 이제 실을 풀어 일직선으로 놓고 자로 재서 원주를 얻는다. 얻은 값을 2π나 6.28로 나누면 구의 반지름을 얻을 수 있을 것이다.
- 예를 들어 어떤 공의 원주를 측정했을 때 18인치가 나왔다면 이 값을 6.28로 나눠 반지름 2.87 in 를 얻을 수 있다.
- 구를 제대로 측정하는 것은 상당히 힘드니 적어도 3번 이상 측정해, 나온 값들의 평균을 구하도록 하자(측정값 세 개를 다 더해 3으로 나누면 평균이 나온다). 평균값으로 계산하면 더 정확하게 구의 부피를 구할 수 있을 것이다.
- 예를 들어 어떤 구의 원주를 세 번 측정한 결과가 각각 18, 17.75, 18.2 인치라면 평균을 구하기 위해 먼저 세 값을 합친다(18 + 17.5 + 18.2 = 53.95). 그리고 3으로 나눈다(53.95/3 = 17.98). 이제 이 평균값을 사용해 부피를 계산하면 된다.
어떤 값을 세제곱하라는 말의 의미는 같은 값을 세 번 곱하라는 뜻과 같다. 따라서 r³ = r * r * r 이다. 우리에게 주어진 구의 반지름은 r = 3 이었으므로 r³ = 3 * 3 * 3 = 27가 나올 것이다.
계산기를 쓰거나 손계산을 해도 된다. 소수를 구하기 힘들면 분수로 답을 써도 된다. 위에서 한 계산을 이어 하자면 얻은 값인 27에 4/3을 곱해 108/3, 혹은 36을 얻을 수 있다.
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위에서 얻은 값에 π 곱해 구의 부피 구하기. 구의 부피를 구하기 위한 마지막 단계는 위에서 얻은 값에 π를 곱하는 것이다. π는 선생님이 따로 말해주시지 않는 이상 소수점 둘째 자리까지 반올림해 3.14로 계산하면 된다. 아래처럼 결과 값에 3.14를 곱하면 구의 부피를 얻을 수 있다.
- 계산을 이어서 하면 36 * 3.14 = 113.09가 나온다.
우리는 인치로 구의 부피를 계산했으므로 결과값은 V = 113.09 in³처럼 써야 한다.
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