Vergroting berekenen

In de optica is de vergroting van een object zoals een lens, de verhouding tussen de hoogte van het beeld van een object dat je kunt zien, en de daadwerkelijke grootte.^[1]XBron Bijvoorbeeld, een lens die een kleine object er groot uit doet zien, heeft een sterke vergroting, terwijl een lens die een object er kleiner uit doet zien, een zwakke vergroting heeft. De vergroting van een object wordt algemeen gegeven door de formule M = (h_i/h_o) = -(d_i/d_o), waarbij M = vergroting, h_i = afbeeldingshoogte, h_o = objecthoogte, en d_i en d_o = afbeeldingsafstand en objectafstand.

Methode 1

Methode 1 van 2:

Het bepalen van de grootte van een enkele lens

Pdf downloaden

Let op: Een convergerende lens is breder in het midden dan aan de rand (zoals bij een vergrootglas). Een divergerende lens is breder aan de rand en dunner in het midden (zoals een kom).^[2]XBron Voor beide gelden dezelfde regels als het gaat om het bepalen van de vergroting, met één belangrijke uitzondering, zoals je verderop zult zien.

1
Neem de vergelijking/formule als uitgangspunt en bepaal over welke gegevens je beschikt. Evenals bij andere natuurkundige problemen geldt dat het een goede benadering is om eerst de vergelijking op te schrijven die je nodig hebt. Daarna kun je de ontbrekende stukken uit de vergelijking gaan zoeken.
- Bijvoorbeeld, stel dat een actiepop van 6 centimeter op een halve meter van een convergerende lens met een brandpuntsafstand van 20 centimeter is geplaatst. Als we de vergroting, afbeeldingsgrootte en afbeeldingsafstand willen bepalen, dan beginnen we met het opschrijven van de vergelijking:
  M = (h_i/h_o) = -(d_i/d_o)
- Op dit moment weten we h_o (de hoogte van de actiepop) en d_o (de afstand van de actiepop tot de lens.) We kennen ook de brandpuntsafstand van de lens, welke niet meegenomen is in de vergelijking. We zullen nu h_i, d_i en M moeten vinden.
2
Gebruik de lensvergelijking om d_i te bepalen. Als je de afstand van het object dat je aan het vergroten bent tot de lens en de brandpuntsafstand van de lens weet, dan is het bepalen van de afstand van het beeld gemakkelijk met behulp van de lensvergelijking. De lensvergelijking is 1/f = 1/d_o + 1/d_i, waarbij f = de brandpuntsafstand van de lens.
- In ons voorbeeldprobleem, kunnen we de lensvergelijking gebruiken om d_i te bepalen. Vul de waarden in van f en d_o en los op:
  1/f = 1/d_o + 1/d_i
  1/20 = 1/50 + 1/d_i
  5/100 - 2/100 = 1/d_i
  3/100 = 1/d_i
  100/3 = d_i = 33.3 centimeter
- De brandpuntsafstand van een lens is de afstand van het midden van de lens tot het punt waar de lichtstralen in een brandpunt convergeren. Als je ooit met een vergrootglas een gaatje in een stuk papier hebt geprobeerd te branden dan weet je wat ermee wordt bedoeld. Deze waarde is vaak gegeven bij natuurkunde opgaven. In het echte leven vind je deze informatie soms op de lens zelf aangegeven.^[3]XBron
3
Los op voor h_i. Weet je d_o en d_i, dan kun je de hoogte vinden van het vergrote beeld en de vergroting van de lens. Merk de twee is-gelijk-tekens op in de vergelijking (M = (h_i/h_o) = -(d_i/d_o)) — dit houdt in dat alle termen gelijk zijn aan elkaar, zodat we nu M en h_i kunnen bepalen, in willekeurige volgorde.
- In ons voorbeeldprobleem, bepalen we h_i als volgt:
  (h_i/h_o) = -(d_i/d_o)
  (h_i/6) = -(33.3/50)
  h_i = -(33.3/50) × 6
  h_i = -3.996 cm
- Merk op dat een negatieve hoogte aangeeft dat het beeld dat we zien is omgedraaid.
4
Los op voor M. Je kunt nu de laatste variabele oplossen met -(d_i/d_o) of met (h_i/h_o).
- In ons voorbeeld bepalen we M als volgt:
  M = (h_i/h_o)
  M = (-3.996/6) = -0.666
- We krijgen ook hetzelfde antwoord als we de d-waarden gebruiken:
  M = -(d_i/d_o)
  M = -(33.3/50) = -0.666
- Merk op dat vergroting geen eenheid heeft.
5
Interpreteer de waarde van M. Heb je de vergroting gevonden, dan kun je verschillende dingen voorspellen over het beeld dat je zal zien door de lens. Dit zijn:
- De grootte. Hoe groter de absolute waarde van M, des te sterker zal het object door de lens worden vergroot. De waarden van M tussen 1 en 0 geven aan dat het object er kleiner uit zal zien.
- De oriëntatie. Negatieve waarden geven aan dat het beeld ondersteboven staat.
- In ons voorbeeld is de waarde van M -0.666, wat inhoudt dat, onder de gegeven condities, het beeld van de actiepop ondersteboven staat en twee derde van de normale grootte heeft.
6
Gebruik voor divergerende lenzen een negatieve brandpuntsafstand. Ook al zien divergerende lenzen er heel anders uit dan convergerende lenzen, je kunt hun vergroting bepalen met dezelfde formules als hierboven vermeld. De enige belangrijke uitzondering is dat divergerende lenzen een negatieve brandpuntsafstand hebben. In een soortgelijk probleem als hierboven aangegeven zal dit effect hebben op de waarde van d_i, dus zorg dat je daar goed op let.
- Laten we het bovenstaande probleem nogmaals onder de loep nemen, alleen ditmaal voor een divergerende lens met een brandpuntsafstand van -20 centimeter. Alle ander beginwaarden zijn hetzelfde.
- Eerst bepalen we d_i met de lensvergelijking:
  1/f = 1/d_o + 1/d_i
  1/-20 = 1/50 + 1/d_i
  -5/100 - 2/100 = 1/d_i
  -7/100 = 1/d_i
  -100/7 = d_i = -14.29 centimeter
- Nu bepalen we h_i en M met onze nieuwe waarde voor d_i.
  (h_i/h_o) = -(d_i/d_o)
  (h_i/6) = -(-14.29/50)
  h_i = -(-14.29/50) × 6
  h_i = 1.71 centimeter
  M = (h_i/h_o)
  M = (1.71/6) = 0.285
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Het bepalen van de vergroting van meerdere lenzen op een rij

Pdf downloaden

Methode voor twee lenzen

1
Bepaal de brandpuntsafstand voor beide lenzen. Wanneer je te maken hebt een apparaat dat gebruik maakt van twee lenzen achter elkaar (zoals in een telescoop of een onderdeel van een verrekijker), dan is het enige wat je hoeft te weten de brandpuntsafstand van beide lenzen om de uiteindelijke vergroting van het beeld te bepalen. Dit doe je met de eenvoudige vergelijking M = f_o/f_e.^[4]XBron
- In de vergelijking refereert f_o aan de brandpuntsafstand van het objectief en f_e tot de brandpuntsafstand van het oculair. Het objectief is de grote lens aan het eind van het toestel, terwijl de oculair dat deel is waar je door kijkt.
2
Gebruik deze gegevens in de vergelijking M = f_o/f_e. Heb je de brandpuntsafstand gevonden voor beide lenzen, dan wordt het oplossen van het probleem eenvoudig; je vindt de verhouding door het delen van de brandpuntsafstand van het objectief door die van het oculair. Het antwoord is de vergroting van het toestel.
- Bijvoorbeeld: stel we hebben een kleine telescoop. Als de brandpuntsafstand van het objectief 10 centimeter is en de brandpuntsafstand van het oculair 5 centimeter, dan is de 10/5 = 2.
Advertentie

Gedetailleerde methode

1
Bepaal de afstand tussen de lenzen en het object. Als je twee lenzen achter elkaar voor een object plaatst, dan is het mogelijk om de vergroting van het uiteindelijke beeld te bepalen, mits je de verhouding kent van de afstand van de lenzen tot het object, de grootte van het object, en de brandpuntsafstand van beide lenzen. Al het andere kun je afleiden.
- Bijvoorbeeld, stel dat we dezelfde opstelling hebben als in het voorbeeld van Methode 1: een object van 6 centimeter op een afstand van 50 centimeter van een convergerende lens met een brandpuntsafstand van 20 centimeter. Nu plaatsen we een tweede convergerende lens met een brandpuntsafstand van 5 centimeter achter de eerste lens (op 100 centimeter afstand van de actiepop.) In de volgende stappen gebruiken we deze informatie om de vergroting van het uiteindelijke beeld te vinden.
2
Bepaal de beeldafstand, hoogte, en vergroting voor lens nummer 1. Het eerste deel van elk probleem waar meerdere lenzen bij betrokken zijn is hetzelfde als die met slechts één lens. Begin met de lens het dichtst bij het object, en gebruik de lensvergelijking om de afstand van het beeld te vinden; gebruik nu de vergrotingsvergelijking om de hoogte en vergroting van het beeld te vinden.
- Door ons werk in de Methode 1, weten we dat de eerste lens een beeld produceert van -3.996 centimeter hoog, 33.3 centimeter achter de lens, en met een vergroting van -0.666.
3
Gebruik het beeld van de eerste als object voor de tweede. Nu is het bepalen van de vergroting, hoogte, etc. voor de tweede lens gemakkelijk; gebruik gewoon dezelfde technieken zoals gebruikt voor de eerste lens. Alleen deze keer gebruik je het beeld in plaats van het object. Onthoud dat het beeld meestal op een andere afstand van de tweede lens zal staan, vergeleken met de afstand tussen het object en de eerste lens.
- In ons voorbeeld is dit 50-33.3 = 16.7 centimeter voor de tweede, omdat het beeld 33.3 centimeter achter de eerste lens staat. Laten we dit gebruiken, samen met de brandpuntsafstand van de nieuwe lens, om het beeld van de tweede lens te vinden.
  1/f = 1/d_o + 1/d_i
  1/5 = 1/16.7 + 1/d_i
  0.2 - 0.0599 = 1/d_i
  0.14 = 1/d_i
  d_i = 7.14 centimeter
- Nu kunnen we h_i en M berekenen voor de tweede lens:
  (h_i/h_o) = -(d_i/d_o)
  (h_i/-3.996) = -(7.14/16.7)
  h_i = -(0,427) × -3.996
  h_i = 1.71 centimeter
  M = (h_i/h_o)
  M = (1.71/-3.996) = -0,428
4
Ga zo verder met eventuele extra lenzen. De standaard benadering is hetzelfde, of je nu 3, 4 of 100 lenzen achter elkaar plaatst voor een object. Beschouw voor elke lens het beeld van de vorige lens als object en gebruik vervolgens de lensvergelijking en vergrotingsvergelijking om het antwoord uit te rekenen.
- Vergeet niet dat de volgende lenzen je beeld weer kunnen omdraaien. Bijvoorbeeld, de vergroting zoals we die hierboven hebben berekend (-0,428) geeft aan dat het beeld ongeveer 4/10 van de grootte van het beeld is van de eerste lens, maar wel rechtop, omdat het beeld van de eerste lens omgekeerd was.
Advertentie

Tips

Een verrekijker wordt meestal aangegeven met een vermenigvuldiging van twee getallen. Bijvoorbeeld, verrekijkers kunnen worden aangegeven als 8x25 of 8x40. Hierbij is het eerste getal de vergroting van de verrekijker. Het tweede getal is de scherpte van het beeld.
Merk op dat een vergroting met een enkele lens, deze vergroting een negatief getal is als de afstand tot het object groter is dan de brandpuntsafstand van de lens. Dat betekent niet dat het object kleiner wordt weergegeven, maar dat het beeld omgekeerd wordt waargenomen.

Advertentie