Magische vierkanten oplossen

Magische vierkanten zijn in populariteit alleen maar gegroeid sinds de opkomst van op wiskunde gebaseerde spelletjes als Sudoku. Een magisch vierkant is een ordening van getallen in een vierkant, op zo'n manier dat de som van elke rij, kolom en diagonaal een constant getal is, de zogenaamde magische constante. Dit artikel gaat je uitleggen hoe je elk soort magisch vierkant op kunt lossen, of het nu gaat om een oneven, enkel even of dubbel even vierkant.

Methode 1

Methode 1 van 3:

Het oplossen van een oneven magisch vierkant

Pdf downloaden

1
Bereken de magische constante.^[1]XBron Je kunt dit getal vinden met behulp van een eenvoudige wiskundige formule, waarbij n = het aantal rijen of kolommen in je magische vierkant. Dus, bijvoorbeeld in een 3x3 magisch vierkant geldt, n = 3. De magische constante = [n * (n2 + 1)] / 2. Dus in het voorbeeld van het 3x3 vierkant:
- som = [3 * (32 + 1)] / 2
- som = [3 * (9 + 1)] / 2
- som = (3 * 10) / 2
- som = 30 / 2
- De magische constante van een 3x3 vierkant is 30/2, of 15.
- Alle rijen, kolommen, en diagonalen hebben dit getal als som.
Dit is altijd het punt waar je begint als je magische vierkant zijden een oneven aantal zijden heeft, ongeacht hoe groot of klein dat aantal is. Dus, heb je een 3x3 vierkant, plaats dan het getal 1 in vak 2; in een 15x15 vierkant, plaats je het getal 1 in vak 8.
3
Vul de resterende getallen in volgens een een-omhoog, een-naar-rechts patroon. Je vult de getallen altijd volgens een reeks (1, 2, 3, 4, etc.) in, door een rij omhoog te gaan en daarna een kolom naar rechts. Je merkt direct dat je om het getal 2 te plaatsen boven de bovenste rij uitkomt, buiten het magisch vierkant. Dat is oké — hoewel je altijd te werk gaat volgens de methode een-omhoog, een-naar-rechts, zijn er drie uitzonderingen die ook een voorspelbaar patroon volgen:
- Als de beweging je naar een ‘vak’ boven het magisch vierkant brengt, blijf dan in de kolom van dat vak, maar plaats het getal in de onderste rij van die kolom.
- Als de beweging je naar een vak rechts van het magisch vierkant brengt, blijf dan in die rij, maar plaats het getal in de kolom van die rij, uiterst links in het vierkant.
- Als de beweging je naar een vak brengt waar al een cijfer staat, ga dan terug naar het vorige vak dat is ingevuld, en plaats het volgende getal er direct boven.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 3:

Het oplossen van een enkelvoudig even magisch vierkant

Pdf downloaden

1
Begrijp wat een enkelvoudig even vierkant is. Iedereen weet dat een even getal deelbaar is door 2, maar bij magisch vierkanten zijn er verschillende methoden voor het oplossen van enkelvoudige en dubbele even vierkanten.
- Een enkelvoudig even vierkant heeft een aantal vakken per zijde dat deelbaar is door 2, maar niet door 4.^[2]XBron
- Het kleinste enkelvoudige even magisch vierkant is 6x6, omdat 2x2 magisch vierkanten niet kunnen worden gemaakt.
2
Bereken de magische constante. Gebruik dezelfde methode zoals je die ook zou gebruiken bij oneven magisch vierkanten: de magische constante = [n * (n2 + 1)] / 2, waarbij n = het aantal vakken per zijde. Dus, in het voorbeeld van een 6x6 vierkant:
- som = [6 * (62 + 1)] / 2
- som = [6 * (36 + 1)] / 2
- som = (6 * 37) / 2
- som = 222 / 2
- De magische constante van een 6x6 vierkant is 222/2, of 111.
- Alle rijen, kolommen, en diagonalen horen bij elkaar opgeteld dit getal op te leveren.
3
Deel het magisch vierkant in vier kwadranten van gelijke grootte . Label ze A (linksboven), C (rechtsboven), D (linksonder) en B (rechtsonder). Om te bepalen hoe groot elk vierkant hoort te zijn, deel je het aantal vakken in elke rij of kolom doormidden.
- Dus, voor elk 6x6 vierkant, wordt elk kwadrant een 3x3 vak.
4
Wijs aan elk kwadrant een getallenbereik toe. Kwadrant A krijgt een kwart van de getallen; Kwadrant B het tweede kwart; Kwadrant C het derde kwart en Kwadrant D het laatste kwart van het totale getallenbereik van een 6x6 magisch vierkant.
- In het voorbeeld van een 6x6 vierkant, wordt Kwadrant A opgelost met de getallen van 1-9; Kwadrant B met die van 10-18; Kwadrant C met 19-27, en Kwadrant D met 28-36.
5
Los elke kwadrant op met behulp van de methode voor magisch vierkanten met een oneven aantal vakken per zijde. Kwadrant A is eenvoudig om in te vullen, omdat het begint met het getal 1, zoals magische vierkanten meestal doen. Kwadranten B-D echter, beginnen met vreemde getallen — 10, 19 en 28, wat betreft ons voorbeeld.
- Behandel het eerste getal van elk kwadrant alsof het een één is. Plaats het in het middelste vak op de bovenste rij van elk kwadrant.
- Behandel elke kwadrant als een klein magisch vierkant. Zelfs al is het vak beschikbaar in een aangrenzend kwadrant, negeer het en spring naar de ‘uitzonderingsregel’ die past bij deze situatie.
6
Maak de Markeringen A en D.^[3]XBron Heb je geprobeerd om kolommen, rijen en diagonalen meteen op te tellen, dan heb je gemerkt dat ze opgeteld niet gelijk zijn aan de magische constante. Je zal een aantal vakken van de kwadranten linksboven en linksonder om moeten wisselen om je magisch vierkant af te ronden. We noemen deze gebieden Markering A en Markering D.
- Markeer met een potlood alle vierkanten in de bovenste rij, tot je bij het middelste vak van Kwadrant A bent aanbeland. Dus in een 6x6 vierkant markeer je vak 1 (met het getal 8), maar in een 10x10 vierkant markeer je de vakken 1 en 2 (met de getallen 17 en 24, respectievelijk).
- Markeer een vierkant met behulp van de vakken die je net hebt gemarkeerd als de bovenste rij. Als je slechts één vak hebt gemarkeerd, dan bestaat je vierkant uit niet meer dan één vak. We noemen dit Markering A-1.
- Dus, in een 10x10 magisch vierkant, bestaat Markering A-1 uit de vakken 1 en 2 in rijen 1 en 2, waardoor er een 2x2 vierkant ontstaat, linksboven in het kwadrant.
- In de rij direct onder Markering A-1, sla je het getal in de eerste kolom over en markeer je vervolgens zoveel vakken van de ene naar de andere kant als je hebt aangegeven in Markering A-1. We noemen deze middelste rij Markering A-2.
- Selectie A-3 is een vak dat gelijk is aan A-1, maar geplaatst in de hoek linksonder in het kwadrant.
- Selectie A-1, A-2 en A-3 vormen samen Markering A.
- Herhaal dit proces in Kwadrant D, waardoor er een identiek markeergebied ontstaat, Markering D.
Dit is een 1-op-1 omwisseling. Verplaats de vakken tussen Kwadrant A en Kwadrant D zonder de volgorde te wijzigen. Heb je dit gedaan, dan horen alle rijen, kolommen en diagonalen in je magisch vierkant de eerder berekende magische constante als som te hebben.
8
Verwissel een keer extra voor afzonderlijk even Magische Vierkanten groter dan 6x6. Naast de hierboven genoemde wissel voor Kwadranten A en D moet je ook een wissel voor de Kwadranten C en B doen. Markeer de kolommen vanaf de rechterkant van het vierkant naar links, één minder dan het aantal kolommen gemarkeerd voor hoogtepunt A-1. Verwissel de waarden in Kwadrant C met de waarden in Kwadrant B voor die kolommen, met behulp van dezelfde één-op-één methode.
- Hier volgen twee afbeeldingen van een Magische Vierkant van 14x14 voor en na beide wissels. Het wisseloppervlak van Kwadrant A is blauw gemarkeerd, het oppervlak voor Kwadrant D groen, voor Kwadrant C geel en voor Kwadrant B oranje.
  - Magische Vierkant van 14x14 vóór de wissel (stappen 6, 7 en 8)
  - Magische Vierkant van 14x14 na het uitvoeren van de wissels (stappen 6, 7 en 8)
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 3:

Het oplossen van een dubbel even magisch vierkant

Pdf downloaden

1
Begrijp wat a dubbel even vierkant is. Een enkelvoudig even vierkant heeft een aantal vakken per zijde dat deelbaar is door 2. Een dubbel even vierkant heeft een aantal vakken per zijde dat deelbaar door 4.^[4]XBron
- Het kleinste dubbel even vierkant dat kan worden gemaakt is het 4x4 vierkant.
2
Bereken de magische constante. Gebruik dezelfde methode zoals die bij de oneven of enkelvoudig even magische vierkanten: de magische constante = [n * (n2 + 1)] / 2, waarbij n = het aantal vakken per zijde. Dus, in het voorbeeld van een 4x4 vierkant:
- som = [4 * (42 + 1)] / 2
- som = [4 * (16 + 1)] / 2
- som = (4 * 17) / 2
- som = 68 / 2
- De magische constante van een 4x4 vierkant is 68/2, of 34.
- Alle rijen, kolommen en diagonalen moet dit getal vormen.
3
Breng Markeringen A-D aan. In elke hoek van het magisch vierkant, plaats je een klein vierkantje met zijden van n/4, waarbij n = de lengte van een zijde van het hele magische vierkant.^[5]XBron Label ze tegen de klok in als Markeringen A, B, C en D.
- In een 4x4 vierkant, markeer je gewoon de vier hoekvakken.
- In een 8x8 vierkant is elke Markering een gebied van 2x2 in de hoeken.
- In een 12x12 vierkant is elke Markering een gebied van 3x3 in de hoeken, enz.
4
Plaats de Centrale Markering. Markeer alle vakken in het midden van het magische vierkant in een vierkant gebied met een lengte van n/2, waarbij n = de lengte van elke zijde van een volledig magisch vierkant. De Centrale Markering mag niet overlappen met Markeringen A-D, maar dient ze aan te raken in de hoeken.
- In een 4x4 vierkant is de Centrale Markering een 2x2 gebied in het midden.
- In an 8x8 vierkant is de Centrale Markering een gebied van 4x4 in het midden, enz.
5
Vul het magisch vierkant in, maar alleen in de gemarkeerde gebieden. Begin met het invullen van de getallen van je magisch vierkant van links naar rechts, maar plaats alleen een getal als het vak binnen een Markering valt. Dus, in een 4x4 vak, vul je de volgende vakken in:
- 1 in het vak linksboven en 4 in het vak rechtsboven
- 6 en 7 in de middelste vakken in Rij 2
- 10 en 11 in de middelste vakken in Rij 3
- 13 in het vak linksonder en 16 in het vak rechtsonder.
6
Vul de rest van het magisch vierkant in door achteruit te tellen. Dit is in wezen het omgekeerde van de vorige stap. Begin nogmaals met het vak linksboven, maar deze keer sla je alle vakken over die in het gemarkeerde gebied vallen, en vul je de niet geselecteerde vakken in door achteruit te tellen. Begin met het grootste getal in je getallenbereik. Dus, in een 4x4 magisch vierkant, vul je het volgende in:
- 15 en 14 in de middelste vakken in Rij 1
- 12 in het vak uiterst links en 9 in het vak uiterst rechts in Rij 2
- 8 in het vak uiterst links en 5 in het vak uiterst rechts in Rij 3
- 3 en 2 in de middelste vakken in Rij 4
- Op dit punt aangekomen horen alle kolommen, rijen en diagonalen een som te hebben die gelijk is aan de eerder berekende magische constante.
Advertentie