Como Resolver um Quadrado Mágico

A popularidade dos quadrados mágicos só tem crescido com o advento dos jogos baseados em matemática, como o sudoku. O quadrado mágico é um arranjo de números em um quadrado de tal modo que a soma de cada fila, coluna e diagonal tenha um número constante – a chamada "constante mágica". Este artigo mostrará como resolver todo tipo de quadrado mágico, seja de números ímpares, números pares ou pares duplos.

Método 1

Método 1 de 3:

Resolvendo um quadrado mágico ímpar

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Calcule a constante mágica.^{[1]XFonte de pesquisa} Você encontra esse número por meio de uma fórmula matemática simples, na qual n = número de linhas ou colunas do quadrado mágico. Assim, um quadrado mágico de lado 3x3 terá n = 3. A fórmula da constante mágica é = [n * (n2 + 1)] / 2. No exemplo do quadrado de lado 3x3:
- Soma = [3 * (32 + 1)] / 2.
- Soma = [3 * (9 + 1)] / 2.
- Soma = (3 * 10) / 2.
- Soma = 30 / 2.
- A constante mágica de um quadrado de lado 3x3 é 30/2, ou 15.
- A soma de todas as linhas, colunas e diagonais deve dar esse número.
É a partir dela que você sempre começará quando o quadrado mágico tiver lados ímpares, independentemente do tamanho dele. Assim, se seu quadrado for de lado 3x3, defina o número 1 na casa 2; se o quadrado for 15x15, defina o número 1 na casa 8.
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Preencha os números restantes seguindo o padrão um para cima e um para a direita. Você deve sempre preencher o número em sequência (1, 2, 3, 4 etc.), subindo primeiro uma fileira e depois se movendo uma coluna à direita. Você notará imediatamente que, para definir o número 2, será necessário passar por cima da linha superior fora do quadrado mágico. Não tem problema: apesar de ser sempre possível trabalhar dessa forma “um para cima e um para a direita”, há três exceções que também possuem um padrão:
- Se a sequência terminar uma "casa" acima da fileira superior do quadrado mágico, continue nessa fileira, mas defina o número na fileira inferior dessa coluna.
- Se a sequência terminar uma "casa" à direita da coluna mais à direita do quadrado mágico, continue nela, mas defina o número na coluna mais à esquerda dessa fileira.
- Se a sequência terminar em uma casa já numerada, volte para a última casa que já foi numerada e defina o próximo número na casa diretamente abaixo dessa.
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Método 2

Método 2 de 3:

Resolvendo um quadrado mágico par

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Aprenda o que é um quadrado par simples. Todos sabem que um número par é divisível por 2; em quadrados mágicos, porém, existem diferentes métodos para resolver quadrados pares simples e duplos.
- Em um quadrado par simples, cada lado tem um número de casas divisível por 2, mas não por 4.^{[2]XFonte de pesquisa}
- O menor quadrado par simples possível tem lado 6x6, uma vez que não existem quadrados mágicos de lado 2x2.
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Calcule a constante mágica. Pegue o mesmo método usado com os quadrados mágicos ímpares: a constante mágica = [n * (n2 + 1)] / 2, na qual n = o número de casas de cada lado. Assim, no exemplo do quadrado de lado 6x6:
- Soma = [6 * (62 + 1)] / 2.
- Soma = [6 * (36 + 1)] / 2.
- Soma = (6 * 37) / 2.
- Soma = 222 / 2.
- A constante mágica de um quadrado de lado 6x6 é 222/2, ou 111.
- A soma de todas as linhas, colunas e diagonais deve dar esse número.
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Divida o quadrado mágico em quatro quadrantes iguais. Classifique-os como A (superior esquerdo), C (superior direito), D (inferior esquerdo) e B (inferior direito). Para descobrir o tamanho de cada quadrado, basta dividir o número de casas em cada linha ou coluna pela metade.
- Assim, para um quadrado de lado 6x6, cada quadrante terá 3x3 casas.
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Atribua para cada quadrante um limite de números. O quadrante A ficará com um quarto dos números; o quadrante B ficará com o segundo quarto; o quadrante C terá o terceiro quarto, e o quadrante D pegará o quarto final desse total de números para um quadrado mágico de lado 6x6.
- No exemplo do quadrado 6x6, o quadrante A é resolvido com os números de 1 a 9; o quadrante B, com os números de 10 a 18; o quadrante C, com os números de 19 a 27; e o quadrante D, com os números de 28 a 36.
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Resolva cada quadrante utilizando o método dos quadrados mágicos ímpares. O quadrante A é simples de preencher, pois ele começa no número 1, o que geralmente ocorre com os quadrados mágicos. Os quadrantes B a D, no entanto, começam com números estranhos – 10, 19 e 28 respectivamente, de acordo com nosso exemplo.
- Trate o primeiro número de cada quadrante como se fosse o número 1. Ele ficará na casa central da fileira superior de cada quadrante.
- Trate cada quadrante como se fosse seu próprio quadrado mágico. Mesmo se houver uma casa disponível em um quadrante adjacente, ignore-a e use a regra de "exceção" que se adapte à situação.
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Crie o Realce A e o Realce D. Se você tentou somar as colunas, linhas e diagonais agora, perceberá que a soma não equivale à constante mágica. Você terá que trocar algumas casas de lugar entre os quadrantes superiores e inferiores à esquerda para terminar o quadrado mágico. Chamaremos essas áreas trocadas de Realce A e Realce D.
- Com um lápis, marque todos os quadrados na fileira superior até obter a posição média da casa do quadrante A. Assim, em um quadrado 6x6, você só marcará a casa 1 (que teria o número 8); em um quadrado de 10x10, porém, você marcará as casas 1 e 2 (que teriam os números 17 e 24 respectivamente).
- Faça um quadrado com as casas que você acabou de definir como a fileira superior. Se você só marcou uma casa, seu quadrado será apenas ela. Chamaremos essa área de Realce A-1.
- Assim, em um quadrado mágico 10x10, o Realce A-1 é composto pelas casas 1 e 2 das fileiras 1 e 2, criando um quadrado 2x2 no canto superior esquerdo do quadrante.
- Na fileira logo abaixo do Realce A-1, pule o número da primeira coluna e, em seguida, marque o maior número de caixas nela, da mesma forma como você marcou no Realce A-1. Chamaremos essa fileira do meio de Realce A-2.
- O Realce A-3 é uma casa idêntica à A-1, mas posicionada no canto inferior esquerdo do quadrante.
- Os Realces A-1, A-2 e A-3 em conjunto compõem o Realce A.
- Repita esse processo no quadrante D, criando uma área Realce idêntica; ela será chamada de Realce D.
^{[3]XFonte de pesquisa} É uma troca de um por um; Só precisa substituir as casas entre os quadrantes A e D, sem alterar em nada as ordens. Uma vez feito isso, a soma de todas as linhas, colunas e diagonais do quadrado mágico deverão ser iguais à constante mágica que você calculou.
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Faça trocas adicionais para quaisquer quadrados mágicos maiores que 6x6. Além de trocar os Quadrantes A e D mencionados acima, você precisa fazer uma troca entre os Quadrantes C e B. Realce colunas do lado direito do quadrado na direção do esquerdo menor que o número de colunas realçadas no Realce A-1. Troque os valores no quadrante C pelos valores do quadrante B nessas colunas, usando o mesmo método um-a-um.
- Eis duas imagem de um quadrado mágico 14x14 antes e depois de fazer ambas as trocas. A área de troca do Quadrante A está destacada em azul. A área de troca do Quadrante D está destacada em verde. A área de troca do Quadrante C está destacada em amarelo. A área de troca do Quadrante B está destacada em laranja.
  - Quadrado Mágico 14x14 antes das trocas (Passos 6, 7, e 8)
  - Quadrado Mágico 14x14 após as trocas (Passos 6, 7, e 8)
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Método 3

Método 3 de 3:

Resolvendo um quadrado mágico par duplo

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Aprenda o que é um quadrado par duplo. Em um quadrado par simples, cada lado tem um número de casas divisível por 2. Em um quadrado par duplo, o número de casas por lado é divisível pelo dobro – ou seja, 4.^{[4]XFonte de pesquisa}
- A menor casa par dupla possível é um quadrado de lado 4x4.
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Calcule a constante mágica. Pegue o mesmo método usado com os quadrados mágicos ímpares e pares simples: a constante mágica = [n * (n2 + 1)] / 2, na qual n = o número de casas de cada lado. Assim, no exemplo do quadrado de lado 4x4:
- Soma = [4 * (42 + 1)] / 2
- Soma = [4 * (16 + 1)] / 2
- Soma = (4 * 17) / 2
- Soma = 68 / 2
- A constante mágica de um quadrado de lado 4x4 é 68/2, ou 34.
- A soma de todas as linhas, colunas e diagonais deve dar esse número.
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Crie os Realces A e D. Em cada canto do quadrado mágico, marque um miniquadrado com lados de comprimento n/4, no qual n = comprimento de um lado de todo o quadrado mágico.^{[5]XFonte de pesquisa} Chame-os de Realces A, B, C e D em sentido anti-horário.
- Em um quadrado de lado 4x4, simplesmente marque as quatro casas dos cantos.
- Em um quadrado de lado 8x8, cada Realce será uma área 2x2 nos cantos.
- Em um quadrado de lado 12x12, cada Realce será uma área 3x3 nos cantos, e assim por diante.
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Crie o Realce Central. Marque todas as casas no centro do quadrado mágico em uma área quadrada de comprimento n/2, no qual n = comprimento de um lado de todo o quadrado mágico. O Realce Central não deve se sobrepor de forma alguma aos Realces A e D, mas apenas tocar os cantos de cada um deles.
- Em um quadrado de lado 4x4, o Realce Central será uma área 2x2 no centro.
- Em um quadrado de lado 8x8, o Realce Central será uma área 24x4 no centro, e assim por diante.
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Preencha o quadrado mágico, mas somente em áreas dos Realces. Comece preenchendo os números do quadrado mágico da esquerda para a direita, mas enumere apenas se a casa cair em um Realce. Então, em uma casa 4x4, você preencherá as seguintes casas:
- 1 na casa superior esquerda e 4 na casa superior direita.
- 6 e 7 nas casas centrais da fileira 2.
- 10 e 11 nas casas centrais da fileira 3.
- 13 na casa inferior esquerda e 16 na casa inferior direita.
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Preencha o resto do quadrado mágico em contagem regressiva. No fundo, este é o inverso do passo anterior. Recomece pela casa superior esquerda; desta vez, porém, ignore todas as casas que caírem na área de Realce e preencha as casas fora dessa área em contagem regressiva. Comece com o maior daquele limite de números. Assim, em um quadrado mágico de 4x4, você deve preencher da seguinte forma:
- 15 e 14 nas casas centrais da fileira 1.
- 12 na casa mais à esquerda e 9 na casa mais à direita da fileira 2.
- 8 na casa mais à esquerda e 5 na casa mais à direita da fileira 3.
- 3 e 2 nas casas centrais da fileira 4.
- Neste ponto, a soma de todas as colunas, linhas e diagonais devem ser iguais à constante mágica que você calculou.
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