Come Tracciare il Grafico di una Funzione

Il grafico di una funzione matematica è la rappresentazione visiva del suo andamento all'interno di un piano cartesiano. Il grafico permette di studiare e comprendere diversi aspetti di una funzione che potrebbero essere molto complessi da intuire semplicemente osservando la funzione stessa. È possibile tracciare il grafico di centinaia di tipi di equazioni e per ognuna esiste un'apposita formula. In ogni caso è sempre possibile risalire alla rappresentazione grafica di qualsiasi funzione anche quando non si conosce il procedimento corretto da seguire.

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Tracciare il Grafico di una Funzione Lineare

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Riconoscere una funzione lineare è molto facile, dato che sono la rappresentazione grafica di una semplice retta come la seguente $y=2x+5$ . Questo tipo di funzioni è caratterizzato da una sola variabile e da una costante e rispetta la seguente forma $F(x)oy=a+bx$ $How.com.vn Italiano: F(x)oy=a+bx$ . In questo caso all'interno dell'equazione non sono presenti potenze, radici o altre entità matematiche complesse. Se sei alle prese con una funzione semplice come quella in esame, tracciarne il grafico è un'operazione molto facile. Ecco un elenco di altre funzioni lineari:
- $F(n)=4-2n$
- $y=3t-120$
- $F(x)={\frac {2}{3}}x+3$ ^{[1]XFonte di ricerca}
Si tratta del punto dell'asse Y in cui passa il grafico della funzione. In altre parole è il punto in cui il valore della variabile x è pari a zero ( $x=0$ ), quindi per calcolare tale valore devi semplicemente impostare la variabile x pari a zero e risolvere l'equazione ottenendo semplicemente il valore della costante. Seguendo la funzione di esempio indicata nel passaggio precedente, $y=2x+5$ , il punto di intersezione con l'asse Y è rappresentato dalle seguenti coordinate (0,5). Riporta il punto individuato all'interno del piano cartesiano in cui vuoi tracciare il grafico della funzione.
Nella funzione di esempio, $y=2x+5$ , la pendenza è pari a "2". Questo dato è corretto perché 2 è il coefficiente della variabile "x" dell'equazione. La pendenza della funzione indica di quanto rapidamente il grafico si muoverà verso il basso o verso l'alto quando ci si sposta verso destra o verso sinistra lungo l'asse X. Maggiore è l'inclinazione, più ripido sarà il grafico.
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Esprimi la pendenza della retta sotto forma di frazione. Questo aspetto della funzione descrive semplicemente il rapporto esistente fra l'andamento verticale e orizzontale del grafico, cioè come si muove la retta verso l'alto o verso il basso mentre ci si sposta lungo l'asse orizzontale. Per esempio, se la pendenza della retta è pari a "2", sotto forma di frazione può essere rappresentata come ${\frac {2}{1}}$ $How.com.vn Italiano: {\frac {2}{1}}$ , il che significa che per ogni unità di scostamento orizzontale si hanno due unità di scostamento verticale.
- Se il coefficiente della pendenza è negativo significa semplicemente che la retta sarà rivolta verso il basso mentre ci si sposta verso destra sull'asse orizzontale.
Inizia tracciando il grafico dal punto di intersezione con l'asse Y, quindi usa la frazione che indica la pendenza per calcolare altri punti. Dopo aver individuato la pendenza della retta puoi utilizzarla per tracciare altri punti appartenenti alla funzione in esame. Parti tracciando il punto di intersezione con l'asse Y, che nella funzione di esempio è pari a (0,5), quindi traccia gli altri punti rispettando la pendenza della funzione che è pari a 2 (questo significa che la retta si muove di 2 unità verticalmente per ogni unità di scostamento orizzontale). Quindi anche il punto (1,7) appartiene alla funzione in esame. Per poter tracciare il grafico della funzione in oggetto con precisione, calcola altri 1-2 punti.
Per evitare di commettere errori o di tracciare un grafico impreciso, individua almeno 3 punti, anche se in realtà ne bastano 2. Complimenti: la retta che hai disegnato rappresenta la visualizzazione grafica della funzione lineare che hai studiato!
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Tracciare la Posizione di un Punto su un Grafico

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Studia una funzione che abbia la seguente forma f(x), dove la variabile y rappresenta l'insieme, la variabile x rappresenta il dominio e f è la funzione. Per esempio l'equazione y = x+2 può essere scritta come f(x) = x+2.
Traccia due semplici rette perpendicolari. La linea orizzontale rappresenta l'asse delle ascisse, cioè i valori della variabile x, mentre la linea verticale è l'asse delle ordinate, cioè dei valori assunti dalla variabile y.
Suddividi entrambi gli assi in segmenti equidistanti, quindi assegna un valore a ogni tacca di suddivisione. Nel caso dell'asse x i numeri saranno positivi nella parte destra e negativi nella parte sinistra rispetto al punto di intersezione con l'asse y, che viene denominato origine. Nel caso dell'asse y i valori positivi saranno nella parte alta e quelli negativi nella parte bassa del grafico.
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Calcola il valore della variabile y sostituendo la variabile x della funzione in esame con 2-3 numeri. Prendi come esempio la funzione f(x) = x+2. Calcola alcuni valori di y sostituendo alla variabile x della funzione alcuni dei valori che hai assegnato all'asse x del grafico. Nel caso di equazioni più complesse potresti dover eseguire delle operazioni preliminari per poter semplificare la funzione e isolare una variabile in un solo membro dell'equazione.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
Traccia delle linee immaginarie che intersecano l'asse X e l'asse Y del piano cartesiano dei punti corrispondenti ai valori che hai ottenuto dalla funzione. Il punto in cui le due linee immaginarie si incontrano è il punto che devi disegnare sul grafico.
Nota: il grafico della funzione f(x) = x corrisponde alla retta che passa per l'origine degli assi e suddivide il piano cartesiano esattamente a metà, mentre la funzione f(x) = x+2 rappresenta una retta posizionata 2 unità più in alto (lungo l'asse Y) a causa della costante +2 presente nell'equazione.^{[2]XFonte di ricerca}
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Tracciare a Mano il Grafico di Funzioni Complesse

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Comprendi come rappresentare graficamente le tipologie di equazioni più comuni. Esistono molti modi per tracciare il grafico di una funzione, proprio perché esistono diverse tipologie di equazione e sarebbe impossibile descriverle tutte all'interno dell'articolo. Se ti trovi in difficoltà, prova a consultare questi articoli:
- Funzioni quadratiche.
- Funzioni razionali.
- Funzioni logaritmiche.
- Rappresentare graficamente le diseguaglianze (non sono funzioni, ma l'articolo contiene comunque informazioni utili).
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Individua tutti i punti in cui la funzione è pari a zero. Si tratta dei punti di intersezione con l'asse X, cioè i punti in cui il grafico della funzione taglia l'asse delle ascisse. Anche se non è detto che tutte le funzioni intersechino l'asse X, nella maggior parte dei casi ciò avviene ed è il primo aspetto che va valutato. Per individuare i punti di intersezione con l'asse X devi semplicemente eguagliare l'intera funzione a zero e calcolarne le soluzioni. Per esempio:
- $F(x)=2x^{2}-18$
- Eguaglia la funzione F(x) a zero ottenendo: $0=2x^{2}-18$
- Esegui i calcoli: $0=2x^{2}-18$ $How.com.vn Italiano: 0=2x^{2}-18$
  - $18=2x^{2}$
  - $9=x^{2}$
  - $x=3,-3$ ^{[3]XFonte di ricerca}
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Calcola e disegna tutti gli asintoti orizzontali o i punti che la funzione non sarà mai in grado di raggiungere. Normalmente si tratta di punti in cui la funzione in esame non esiste, per esempio quando devi dividere un valore per zero. Se all'interno dell'equazione in esame è presente un valore frazionario che include una variabile, per esempio $y={\frac {1}{4-x^{2}}}$ $How.com.vn Italiano: y={\frac {1}{4-x^{2}}}$ , parti impostando il denominatore della frazione a zero. Tutti i punti in cui l'equazione presente al denominatore è pari a zero (in questo esempio le rette x=2 e x=-2) rappresentano aree del grafico in cui la funzione data non potrà esistere, dato che in matematica non è possibile dividere un numero per zero. Tuttavia le frazioni non sono le uniche espressioni in cui sono presenti degli asintoti. Normalmente per individuarli basta semplicemente usare un po' di buon senso e intuizione:
- Alcune funzioni le cui soluzioni sono delle radici, per esempio $F(n)=n^{2}$ , non possono assumere valori negativi. Quindi in questo caso è presente un asintoto nel punto 0.
- A meno di non lavorare con i numeri immaginari, non è possibile eseguire il seguente calcolo ${\sqrt {-1}}$ ^{[4]XFonte di ricerca}
- Nel caso di equazioni con esponenti complessi potrebbero essere presenti molti asintoti.
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Calcola e disegna diversi punti della funzione che stai studiando. Prendi in esame alcuni valori della variabile x, sostituiscili all'interno della funzione ed esegui i calcoli, dopodiché traccia sul grafico i punti che hai individuato. In questo caso più il grafico della funzione è complesso, maggiore sarà il numero di punti che dovrai calcolare per poterlo disegnare con precisione. Normalmente i valori -1, 0 e 1 rappresentano i punti più semplici da calcolare e disegnare, ma serviranno almeno altri 2-3 valori sia a destra sia a sinistra dell'origine del grafico per poter ottenere un risultato accettabile.^{[5]XFonte di ricerca}
- Per esempio studiando l'equazione $y=5x^{2}+6$ potresti calcolare il valore di y per i seguenti valori di x: -1,0,1, -2, 2, -10 e 10. In questo modo otterrai un buon numero di punti da comparare.
- Scegli con intelligenza i valori da inserire nella funzione. Nell'esempio precedente puoi intuire rapidamente che usare un numero negativo darà il medesimo risultato della controparte positiva, cioè la soluzione dell'equazione per x pari a -10 sarà uguale a quella per x pari a 10.
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Cerca di capire qual è il comportamento della funzione agli estremi. Questo passaggio è utile per avere un'idea della direzione della funzione che normalmente ha un asintoto verticale. Per esempio, sai già che la funzione $y=x^{2}$ $How.com.vn Italiano: y=x^{2}$ genera valori estremamente grandi all'aumentare di x. Anche un solo incremento del valore di x (per esempio il passaggio da 1.000.000 a 1.000.001) dà come risultato un valore molto più grande. Esistono diversi metodi per testare il comportamento di una funzione agli estremi:
- Sostituisci alla variabile x 2-4 numeri molto grandi, metà negativi e metà positivi e disegna sul grafico i punti corrispondenti.
- Cosa succede al grafico della funzione se una delle variabili tende a "infinito"? La funzione tende a crescere o decrescere all'infinito?
- Se gli esponenti presenti al numeratore e al denominatore di una frazione sono uguali, per esempio nel caso della funzione $F(x)={\frac {x^{3}}{-2x^{3}+4}}$ , dividi semplicemente i due coefficienti dei termini con il grado maggiore ( ${\frac {1}{-2}}$ ) per individuare l'asintoto che determina il comportamento della funzione nei punti estremi (in questo caso -0,5).^{[6]XFonte di ricerca}
- Se il grado del numeratore è diverso da quello del denominatore, dovrai eseguire la divisione rispettando le regole della divisione fra polinomi.
Il grafico che ne risulterà sarà una stima di quello reale. Dopo che avrai calcolato 5-6 punti, individuato gli asintoti e intuito quel è l'andamento generale della funzione potrai disegnare la sua forma sul grafico.
Questi strumenti sono veri e propri computer tascabili con prestazioni molto elevate e sono in grado di tracciare il grafico esatto di qualsiasi funzione. Permettono di individuare punti esatti, calcolare la pendenza di una linea e visualizzare graficamente anche le equazioni più complesse senza alcuna difficoltà. Nella maggior parte dei casi per visualizzare a video il grafico di una funzione dovrai semplicemente digitare l'equazione esattamente come ti viene fornita (normalmente premendo il pulsante "F(x) = ") e premere il pulsante "Graph" o "Plot".
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Consigli

Le calcolatrici scientifiche con funzionalità grafiche rappresentano un valido aiuto nello svolgere questo tipo di compito. Prova a tracciare a mano il grafico della funzione in esame, dopodiché verifica la correttezza del tuo lavoro utilizzando la calcolatrice.
Se ti trovi in un vicolo cieco e non sai come uscirne, parti calcolando il grafico della funzione punto per punto. Sostituisci le variabili della funzione che vuoi rappresentare graficamente con una serie di numeri per ottenere il valore corrispondente. Puoi utilizzare una lista infinita di combinazioni.