Come Calcolare il Perimetro del Trapezio

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In questo Articolo:

Utilizzare la Lunghezza delle Basi e dei Lati

Utilizzare l'Altezza, i Lati e la Base Superiore

Utilizzare l'Altezza, la Base Superiore e gli Angoli Interni Inferiori

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Riferimenti

Con il termine trapezio o trapezoide si definisce un quadrilatero composto da due lati opposti paralleli (detti basi). Come nel caso di qualunque altro poligono, per calcolare il perimetro di un trapezio, occorre conoscere la lunghezza di tutti e quattro i lati e sommarli fra loro. Spesso, tuttavia, i problemi di geometria non forniscono tutte queste informazioni e si limitano a fornire ad esempio la misura dell'altezza o degli angoli interni. In qualunque caso è comunque possibile usare le informazioni note e le leggi geometriche per risalire senza sforzi ai dati mancanti.

Passaggi

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Utilizzare la Lunghezza delle Basi e dei Lati

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   1
   Imposta la formula per calcolare il perimetro di un trapezio. Tale formula è $P=b+B+Ld+Ls$, dove $P$ rappresenta il perimetro della figura, $b$ rappresenta la lunghezza della base minore (quella superiore), $B$ è la lunghezza della base maggiore (quella inferiore), $Ls$ rappresenta la lunghezza del lato sinistro e $Ld$ rappresenta la lunghezza del lato destro.
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   Sostituisci i valori noti delle rispettive variabili all'interno della formula data. In questo caso, se non si conosce la lunghezza di tutti e quattro i lati del trapezio, non è possibile usare questo metodo di calcolo.

   • Ad esempio, ipotizzando di studiare un trapezio avente la base superiore lunga 2 cm, quella inferiore lunga 3 cm e i due lati obliqui uguali e lunghi 1 cm, la formula finale dovrebbe apparire così:
     $P=2+3+1+1$.
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   Esegui i calcoli. Sommando le misure dei quattro lati otterremo il perimetro del trapezio in esame.

   • Nel nostro esempio avremo:
     $P=2+3+1+1$
     $P=7$
     Il perimetro del trapezio è pari a 7 cm.
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Utilizzare l'Altezza, i Lati e la Base Superiore

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   Suddividi il trapezio in tre parti: il corpo centrale caratterizzato da un rettangolo e due triangoli rettangoli. Per farlo, occorre semplicemente tracciare la retta equivalente all'altezza partendo dai due vertici della base superiore per arrivare a toccare quella inferiore. Entrambe le rette sono perpendicolari rispetto alla base inferiore del trapezio.

   • Se non puoi ricavare due triangoli perché la figura in esame è un trapezio rettangolo, ovvero uno dei lati è perpendicolare alle basi, prendi semplicemente nota che tale lato coincide con l'altezza. In questo caso dovrai suddividere il trapezio in due parti: un rettangolo e un triangolo rettangolo.
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   Etichetta entrambe le linee che rappresentano le altezze. Dato che i lati opposti di un rettangolo sono uguali, entrambe le rette in oggetto avranno la stessa lunghezza.

   • Ad esempio, ipotizzando di avere un trapezio con un'altezza pari a 6 cm, dovresti tracciare due linee rette che, partendo dai vertici della base superiore, si estendono perpendicolarmente fino alla base inferiore. Riporta la dicitura "6 cm" su ognuna delle rette tracciate.
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   Etichetta la sezione centrale della base inferiore (si tratta della base inferiore del rettangolo ricavato nel passaggio precedente). La lunghezza di questa sezione equivale a quella della base superiore dato che ne rappresenta la proiezione esatta perché i lati opposti di un rettangolo, che coincidono con l'altezza del trapezio, sono identici. Se non si conosce la lunghezza della base superiore del trapezio, non è possibile adottare questo metodo di calcolo.

   • Ad esempio, ipotizzando che la base superiore del trapezio sia lunga 6 cm, allora la sezione centrale della base inferiore sarà anch'essa lunga 6 cm.
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   Imposta la formula relativa al teorema di Pitagora per studiare il primo triangolo rettangolo. La formula in questione è $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, dove $c$ rappresenta la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo (il lato obliquo del trapezio), $a$ rappresenta l'altezza del triangolo in esame e $b$ è la lunghezza della base del triangolo.
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   Sostituisci i valori noti relativi al triangolo in esame all'interno della formula. Assicurati di sostituire la variabile $c$ con la lunghezza del lato obliquo del trapezio e di sostituire la variabile $a$ con la relativa altezza.

   • Ad esempio, ipotizzando di studiare un trapezio con altezza pari a 6 cm e lato obliquo (l'ipotenusa del triangolo) lungo 9 cm, l'equazione finale dovrebbe risultare così:
     $6^{2}+b^{2}=9^{2}$
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   6
   Calcola il quadrato dei valori noti presenti nell'equazione. A questo punto, isola la variabile $b$ all'interno di uno dei due membri.

   • Nel nostro esempio l'equazione di partenza è $6^{2}+b^{2}=9^{2}$, quindi occorre calcolare il quadrato di 6 e 9, per poi sottrarre il quadrato di 6 da ambo i membri dell'equazione:
     $6^{2}+b^{2}=9^{2}$
     $36+b^{2}=81$
     $b^{2}=45$
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   Per calcolare il valore di $$ b {\displaystyle b} , occorre utilizzare la radice quadrata (per avere maggiori istruzioni su come semplificare una radice quadrata fai riferimento a questo articolo). Il risultato finale di questo calcolo rappresenta la lunghezza della base del primo triangolo rettangolo ricavato dal trapezio iniziale; usa questo valore per identificare la base del triangolo sul disegno.

   • Nel nostro esempio avremo:
     $b^{2}=45$
     $b={\sqrt {45}}$
     $b={\sqrt {45}}$
     $b=3{\sqrt {5}}$
     Quindi sul disegno dovrai riportare la dicitura $3{\sqrt {5}}$ sulla base del primo triangolo.
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   Individua la lunghezza della base del secondo triangolo rettangolo. Anche in questo caso è possibile utilizzare il teorema di Pitagora ripetendo la procedura descritta nei passaggi precedenti. Se stai studiando un trapezio isoscele, in cui i lati obliqui sono uguali, significa che i due triangoli rettangoli sono congruenti, quindi avranno basi identiche. A questo punto puoi usare il valore ottenuto nel passaggio precedente per etichettare anche la base del secondo triangolo.

   • Ad esempio, ipotizzando che il secondo lato del trapezio misuri 7 cm dovrai procedere come segue:
     $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     $6^{2}+b^{2}=7^{2}$
     $36+b^{2}=49$
     $b^{2}=13$
     $b={\sqrt {13}}$
     La base del secondo triangolo è quindi lunga ${\sqrt {13}}$ e puoi usare tale valore per identificarla sul disegno.
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   Procedi sommando fra loro le misure di tutti i lati del trapezio. Il perimetro di un qualunque poligono si calcola sommando la lunghezza di tutti i lati che lo compongono: $P=b+B+Ld+Ls$. Per ottenere la misura della base inferiore, dovrai sommare fra loro la lunghezza della sezione centrale della base del trapezio (cioè la base del rettangolo in cui lo abbiamo suddiviso) e le basi dei due triangoli rettangoli. È molto probabile che all'interno del risultato finale siano presenti delle radici quadrate; per trasformare una radice quadrata in un numero decimale, puoi usare la calcolatrice.

   • Nel nostro esempio avremo: $6+(6+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}})+9+7=28+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}}$
     Calcoliamo le radici quadrate ottenendo: $6+(6+6,708+3,606)+9+7=38,314$
     Quindi, arrotondando il risultato finale, il perimetro del trapezio in esame è pari a circa 38,3 cm.
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Utilizzare l'Altezza, la Base Superiore e gli Angoli Interni Inferiori

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   Suddividi il trapezio in tre parti: il corpo centrale caratterizzato da un rettangolo e due triangoli rettangoli. Per farlo, occorre semplicemente tracciare la retta equivalente all'altezza partendo dai due vertici della base superiore per arrivare a toccare quella inferiore. Entrambe le rette sono perpendicolari rispetto alla base inferiore del trapezio

   • Se non puoi ricavare due triangoli perché la figura in esame è un trapezio rettangolo, cioè uno dei lati è perpendicolare alle basi, prendi semplicemente nota che tale lato coincide con l'altezza. In questo caso, dovrai suddividere il trapezio in due parti: un rettangolo e un triangolo rettangolo.
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   Etichetta entrambe le linee che rappresentano le altezze. Dato che i lati opposti di un rettangolo sono uguali, entrambe le rette in oggetto avranno la stessa lunghezza.

   • Ad esempio, ipotizzando di avere un trapezio con un'altezza pari a 6 cm, dovresti tracciare due linee rette che, partendo dai vertici della base superiore, si estendono perpendicolarmente fino alla base inferiore. Riporta la dicitura "6 cm" su ognuna delle rette tracciate.
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   Etichetta la sezione centrale della base inferiore (si tratta della base inferiore del rettangolo ricavato nel passaggio precedente). La lunghezza di questa sezione equivale a quella della base superiore dato che ne rappresenta la proiezione esatta perché i lati opposti di un rettangolo, che coincidono con l'altezza del trapezio, sono identici.

   • Ad esempio, ipotizzando che la base superiore del trapezio sia lunga 6 cm, allora la sezione centrale della base inferiore sarà anch'essa lunga 6 cm.
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   Imposta la funzione trigonometrica "seno" relativa al primo triangolo rettangolo. La relazione che lega la funzione trigonometrica seno, i lati e gli angoli di un triangolo è la seguente: $\sin \theta ={\frac {\text{Lato Opposto}}{\text{Ipotenusa}}}$, dove $\theta$ rappresenta l'ampiezza dell'angolo interno compreso fra i due cateti, ${\text{Lato Opposto}}$ in questo caso rappresenta l'altezza del triangolo e ${\text{Ipotenusa}}$ è la lunghezza dell'ipotenusa.

   • Utilizzando l'equazione in oggetto è possibile risalire alla lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo, che nel nostro caso coincide con la lunghezza del lato obliquo del trapezio in esame.
   • In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo di 90°.
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   Sostituisci i valori noti all'interno dell'equazione fornita nel passaggio precedente. In questo caso, come lato opposto della relazione che lega l'ipotenusa e il seno dell'angolo retto di un triangolo, occorre utilizzare l'altezza del trapezio. Assicurati di usare i dati corretti, quindi risolvi l'equazione ottenuta in base alla variabile che rappresenta l'ipotenusa ("I").

   • Ad esempio, ipotizziamo che l'angolo interno del triangolo misuri 35° e che l'altezza sia pari a 6 cm. La formula finale dovrebbe apparire così:
     $\sin(35)={\frac {6}{I}}$
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   Calcola il seno dell'angolo. Per farlo, devi utilizzare la funzione "SIN" di una qualunque calcolatrice scientifica. Sostituisci il valore ottenuto all'interno della formula.

   • Nel nostro esempio, usando la calcolatrice, il seno di un angolo di 35° è pari a 0,5738 (arrotondando). Quindi la nostra formula iniziale sarà la seguente:
     $0,5738={\frac {6}{I}}$
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   Risolvi l'equazione in base alla variabile "I". Per farlo, moltiplica ogni membro dell'equazione per "I", quindi dividilo per il valore della funzione "SIN" ottenuto nel passaggio precedente. In alternativa, puoi semplicemente dividere la lunghezza dell'altezza del triangolo per il valore del seno dell'angolo interno.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $0,5738={\frac {6}{I}}$
     $0,5738*I=6$
     ${\frac {0,5738*I}{0,5738}}={\frac {6}{0,5738}}$
     $I=10,4566$
     Quindi la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo in esame, che coincide con la lunghezza del lato obliquo del trapezio, è pari a circa 10,46 cm (arrotondando).
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   Calcola la lunghezza dell'ipotenusa del secondo triangolo rettangolo. Anche in questo caso possiamo utilizzare la relazione $\sin \theta ={\frac {\text{Lato Opposto}}{\text{Ipotenusa}}}$ relativa al secondo triangolo. Tale formula permette di calcolare la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo, che nel nostro caso coincide con il lato obliquo del trapezio in esame.

   • Ad esempio, ipotizzando che l'angolo interno misuri 45° otterremo:
     $\sin(45)={\frac {6}{I}}$
     $0,7071={\frac {6}{I}}$
     $0,7071*I=6$
     ${\frac {0,7071*I}{0,7071}}={\frac {6}{0,7071}}$$I=8,4854$
     Quindi la lunghezza dell'ipotenusa, che coincide con il secondo lato obliquo del trapezio, è pari a circa 8,5 cm (arrotondando).
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   Imposta la formula relativa al teorema di Pitagora per studiare il primo triangolo rettangolo. La formula in questione è $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, dove $c$ rappresenta la lunghezza dell'ipotenusa e $a$ rappresenta l'altezza del triangolo in esame.
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    Sostituisci le variabili della formula del teorema di Pitagora con i valori noti relativi al primo triangolo rettangolo. Assicurati di sostituire la variabile $c$ con la lunghezza dell'ipotenusa e la variabile $a$ con la misura relativa all'altezza.

    • Nel nostro esempio il primo triangolo rettangolo ha un'ipotenusa lunga 10,46 cm e un'altezza pari a 6 cm, quindi la formula finale sarà:
      $6^{2}+b^{2}=10,46^{2}$
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    Risolvi l'equazione in base alla variabile $$ b {\displaystyle b} . In questo modo otterrai la lunghezza della base del primo triangolo rettangolo che rappresenta una parte mancante della base inferiore del trapezio.

    • Nel nostro esempio avremo:
      $6^{2}+b^{2}=10,46^{2}$
      $36+b^{2}=109,3405$
      $b^{2}=109,3405-36$
      $b^{2}=73,3405$
      ${\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {73,3405}}$
      $b=8,5639$
      Quindi la base del triangolo in esame, che coincide con una delle sezioni mancanti della base inferiore del trapezio, misura circa 8,6 cm (arrotondando).
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    Calcola la base del secondo triangolo rettangolo. Anche in questo caso, è possibile usare la formula relativa al teorema di Pitagora $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Sostituisci alla variabile $c$ la lunghezza dell'ipotenusa e alla variabile $a$ la misura dell'altezza. Risolvi l'equazione in base alla variabile $b$ per ottenere la misura della seconda sezione mancante della base inferiore del trapezio.

    • Nel nostro esempio l'ipotenusa del secondo triangolo rettangolo è lunga 8,5 cm (arrotondando), mentre l'altezza misura 6 cm, quindi otterremo:
      $6^{2}+b^{2}=8,4854^{2}$
      $36+b^{2}=72$
      $b^{2}=72-36$
      $b^{2}=36$
      ${\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {36}}$
      $b=6$
      La base del secondo triangolo rettangolo, che corrisponde alla seconda sezione mancante della base inferiore del trapezio misura 6 cm.
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    13
    Procedi sommando fra loro le misure di tutti i lati del trapezio. Il perimetro di un qualunque poligono si calcola sommando la lunghezza di tutti i lati che lo compongono: $P=b+B+Ld+Ls$. Per ottenere la misura della base inferiore, dovrai sommare fra loro la lunghezza della sezione centrale della base del trapezio (cioè la base del rettangolo in cui lo abbiamo suddiviso) e le basi dei due triangoli rettangoli.

    • Nel nostro esempio otterremo $6+(8,6+6+6)+10,46+8,5=45,56$
      A questo punto, possiamo affermare che il perimetro del trapezio in esame misura 45,6 cm (arrotondando).
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Consigli

• Per calcolare le lunghezze mancanti dei triangoli che formano un trapezio puoi sfruttare le regole relative ai triangoli speciali senza ricorrere al teorema di Pitagora o alla funzione trigonometrica seno. Tali regole possono essere applicati ai triangoli che presentano una configurazione particolare degli angoli interni: 30°-60°-90° o 90°-45°-45°.
• Per calcolare il seno di un angolo, utilizza una calcolatrice scientifica. Per farlo, occorre digitare l'ampiezza dell'angolo in gradi e premere il pulsante "SIN". In alternativa, puoi utilizzare una tavola trigonometrica.

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Cose che ti Serviranno

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• Foglio di carta

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