如何计算梯形的周长

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在本文中：

已知两条侧边长和上、下底边长

已知梯形的高、两条侧边长和上底边边长

已知梯形的高、上底边长和底部内夹角角度

相关文章

参考

梯形是指只有一组对边平行的凸四边形。和其它多边形一样，计算梯形的周长时，你需要将所有边的边长（四个边长）相加，得到一个总和，这就是梯形的周长。然而很多时候，你可能不知道某些边的边长，而知道一些其它信息，比如梯形的高和夹角角度等。你可以利用这些已知的信息，通过几何学的定律和三角函数求出未知的边长。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

已知两条侧边长和上、下底边长

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1. 
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   写出梯形的周长公式。周长公式是$P=T+B+L+R$，其中$P$代表梯形的周长，变量$T$ 是梯形上底边的边长，变量$B$ 是梯形下底边的边长（在梯形中，平行的两条边是梯形的底边，短的一条是上底边，长的是下底边）。$L$是梯形左侧的侧边长，$R$是梯形右侧的侧边长。以下公式里所有的P都代指周长，不再做中文注明。
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   将每条边的边长带入公式。如果你不知道梯形的其中一条边的边长，那么你将无法使用这个公式来求周长。

   • 例如，有一个梯形，已知它的上底边边长为2厘米，下底边边长为3厘米，两个侧边都是1厘米。那么带入公式，可得出
     $P=2+3+1+1$ 。
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   3
   将各边长相加，就能得到梯形的周长。

   • 例如：
     $P=2+3+1+1$
     $P=7$
     因此，梯形的周长为7厘米。
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方法 2

方法 2 的 3:

已知梯形的高、两条侧边长和上底边边长

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1. 
   1
   将梯形分割成一个矩形和两个直角三角形。具体方法是从梯形上底边的两个顶点向下底边作垂线，画出梯形的高。

   • 如果只能画出一个直角三角形，而不是两个，这是因为梯形的一条侧边是垂直于底边的。也就是说这个梯形是直角梯形，它的一条侧边与高相等。这种梯形只能被分割成一个矩形和一个直角三角形。
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   画出梯形的高。由于梯形的两条高线是矩形的对边，因此它们的长短相同。

   • 例如，如果梯形的高为6厘米，那么你从上底边上的每个顶点向底边做垂线，得到的垂线长为6厘米。在垂线上标出高的长度，也就是6cm。
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   标出底边中央部分的长度，也就是分割得到的矩形的底边。由于它和梯形的上底边组成了新矩形的一组对边，因此，它的长度等于梯形上底边（也是矩形的对边）的长度。 如果你不知道梯形上底边的长度，则无法使用这个方法进行计算。

   • 例如，如果梯形的上底边长为6厘米，那么下底边中央部分的长度为6厘米。
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   写出勾股定理的公式，来计算第一个直角三角形的边长。勾股定理的公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$c$ 是直角三角形的斜边长（也就是正对着直角的一条边），$a$ 是直角三角形的高，$b$ 是直角三角形的底边长。
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   5
   将第一个三角形里已知的信息、数据带入公式里。将梯形的侧边长带入公式里的$c$。将梯形的高带入公式里的$a$。

   • 例如，如果你已知梯形的高为6厘米，一条侧边（直角三角形的斜边）长为9厘米，那么带入公式得：
     $6^{2}+b^{2}=9^{2}$ 。
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   6
   计算等式里已知数值的平方。然后相减得到变量$b$的平方。

   • 例如，如果等式是$6^{2}+b^{2}=9^{2}$，先计算6和9的平方，然后用9的平方减去6的平方：
     $6^{2}+b^{2}=9^{2}$
     $36+b^{2}=81$
     $b^{2}=45$
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   开方运算，得到$$ b {\displaystyle b} 的值。（如果你想要完整了解详细的化简平方根的方法，请查阅化简平方根。）这样，就能得到第一个三角形未知的那条边的边长。将结果标在三角形的底边上。

   • 例如：
     $b^{2}=45$
     $b={\sqrt {45}}$
     $b={\sqrt {45}}$
     $b=3{\sqrt {5}}$
     因此，将 $3{\sqrt {5}}$ 标记在第一个三角形的底边上。
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   8
   求出第二个直角三角形中未知长度的边长。写出勾股定理，并按照上面讲述的方法求出未知边的边长。如果是等腰梯形，那么梯形的两条不平行的侧边是一样长的。也就是说这两个三角形的斜边长是一样的。 这两个直角三角形能够完全重合在一起，所以你可以直接用第一个三角形的数据来代替第二个三角形的边长。

   • 例如，如果梯形的另一条侧边长为7厘米，那么代入公式，可以得到：
     $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
     $6^{2}+b^{2}=7^{2}$
     $36+b^{2}=49$
     $b^{2}=13$
     $b={\sqrt {13}}$
     因此，将${\sqrt {13}}$标记在第二个三角形的底边上。
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   将梯形的所有边长相加。多边形的周长等于所有边长的总和：$P=T+B+L+R$。对于梯形的下底边，你需要将两个直角三角形的底边和矩形底边相加，得到的总和就是梯形的下底边长。最后的结果可能带着平方根。你可以查阅“平方根的加法运算”等文章，来详细学习如何计算平方根的加法。你也可以用计算器把平方根化成小数后，进行计算。

   • 例如，$6+(6+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}})+9+7=28+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {13}}$
     将平方根换算成小数，得到$6+(6+6.708+3.606)+9+7=38.314$
     因此，梯形的周长约为38.314厘米。
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方法 3

方法 3 的 3:

已知梯形的高、上底边长和底部内夹角角度

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   1
   将梯形分割成一个矩形和两个直角三角形。具体方法是从梯形上底边的两个顶点向下底边作垂线，画出梯形的高。

   • 如果只能画出一个直角三角形，而不是两个，这是因为梯形的一条侧边是垂直于底边的。也就是说这个梯形是直角梯形，它的一条侧边与高相等。这种梯形只能被分割成一个矩形和一个直角三角形。
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   画出梯形的高。由于梯形的两条高线是矩形的对边，因此它们的长短相同。

   • 例如，如果梯形的高为6厘米，那么你从上底边上的每个顶点向底边做垂线，得到的垂线长为6厘米。在垂线上标出高的长度，也就是6 cm。
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   标出底边中央部分的长度，也就是分割得到的矩形底边。由于它和梯形的上底边组成了新矩形的一组对边，因此，它的长度等于梯形上底边（也是矩形的对边）的长度。

   • 例如，如果梯形的上底边长为6厘米，那么下底边中央部分的长度为6厘米。
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   写出第一个直角三角形的正弦函数公式。正弦函数公式是：$\sin \theta ={\frac {\text{对边}}{\text{斜边}}}$，其中$\theta$ 是三角形的一个内角，在我们的例子中，这个内角是斜边和底边形成的夹角。这里的${\text{对边}}$ 是三角形的高，${\text{斜边}}$是三角形斜边的长度。

   • 用正弦函数公式能让你求出第一个三角形的斜边，也就是梯形的一条侧边。
   • 斜边是正对着直角三角形里直角的那条边。
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   将已知的数值带入正弦函数公式。确保将三角形的高带入公式里的“对边”变量。这样能求出斜边长。

   • 例如，如果已知底部内夹角为35度，三角形的高为6厘米，那么代入公式得到
     $\sin(35)={\frac {6}{H}}$。
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   求出夹角的正弦值。在科学计算器上按下“SIN”按钮，计算夹角正弦值。然后将数值带入上面的公式。

   • 例如，用计算器计算35度的正弦值是0.5738（近似值）。所以，你的公式就变成了：
     $0.5738={\frac {6}{H}}$
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   7
   求出斜边长H。要求出H，你需要在等式两边同时乘上H，然后同时除以夹角的正弦值。或者你可以直接使用三角形的高除以夹角的正弦值。

   • 例如：
     $0.5738={\frac {6}{H}}$
     $0.5738H=6$
     ${\frac {.5738H}{.5738}}={\frac {6}{.5738}}$
     $H=10.4566$
     所以，弦的长度，也就是梯形的第一条未知边的边长就是10.4566厘米。
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   求出第二个直角三角中的弦长。对第二个已知的夹角列出正弦公式（$\sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}$） 。通过正弦公式，你可以求出弦的长度，也是梯形的一条斜边的长度。

   • 例如，如果已知另一个夹角的度数是45度，计算如下：
     $\sin(45)={\frac {6}{H}}$
     $0.7071={\frac {6}{H}}$
     $0.7071H=6$
     ${\frac {.7071H}{.7071}}={\frac {6}{.7071}}$$H=8.4854$
     所以，弦的长度，也就是梯形的第二条未知边的边长就是8.4854厘米。
9. 
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   列出第一个直角三角形的勾股定理公式。勾股定理的公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$c$表示弦的长度，$a$表示高的长度。
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    将第一个三角形中已知的数值代入到公式中。确保将弦长代入到$c$中，将高代入到$a$中。

    • 例如，如果第一个三角形的弦长是10.4566，高是6，你的公式就会变成：
      $6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}$
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    求出$$ b {\displaystyle b} 。这样你就能得到第一个直角三角的底边边长，也就是梯形底边未知的第一部分的长度。

    • 例如：
      $6^{2}+b^{2}=10.4566^{2}$
      $36+b^{2}=109.3405$
      $b^{2}=109.3405-36$
      $b^{2}=73.3405$
      ${\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {73.3405}}$
      $b=8.5639$
      所以，三角形的底边边长，也就是也就是梯形底边未知的第一部分的长度是8.5639厘米。
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    求出第二个直角三角形的底边长度。同样时用勾股定理（$a^{2}+b^{2}=c^{2}$）进行计算。将弦长代入到$c$中，将高代入到$a$中。求出$b$，也就得到了梯形底边未知的第二部分的长度。

    • 例如，如果第二个直角三角形的弦长为8.4854，高为6，计算过程如下：
      $6^{2}+b^{2}=8.4854^{2}$
      $36+b^{2}=72$
      $b^{2}=72-36$
      $b^{2}=36$
      ${\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {36}}$
      $b=6$
      所以，第二个直角三角形的底边边长，也就是也就是梯形底边未知的第二部分的长度是6厘米。
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    13
    将三部分长度相加。梯形的周长是所有边长之和：$P=T+B+L+R$。而要得到底边边长，你需要将矩形的底边长和两个三角形的底边长相加。

    • 例如，$6+(8.5639+6+6)+10.4566+8.4854=45.5059$
      所以，梯形的周长为45.5059厘米。
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小提示

• 你可以利用特殊三角形的规律计算未知边的边长，不需要使用正弦公式或勾股定理。特殊规律适用于角度分别为30-60-90，或90-45-45的三角形。
• 使用科学计算器计算任意角的正弦值，只需要输入角的度数，然后按下“SIN”按钮。你也可以参照三角函数表，找到角的正弦值。

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你需要准备

• 计算器
• 铅笔
• 纸