Comment calculer le périmètre d'un trapèze

Télécharger l'article

Télécharger l'article

Dans cet article:

Calculer le périmètre d'un trapèze connaissant toutes ses dimensions

Calculer le périmètre d'un trapèze à l'aide du théorème de Pythagore

Calculer le périmètre d'un trapèze à l'aide de la trigonométrie

Articles en relation

Références

En géométrie, le périmètre d'un trapèze est la somme de la longueur de ses côtés. Lorsque toutes les informations sont disponibles, ce calcul est aisé . Dans le cas contraire, le calcul du périmètre nécessite plusieurs étapes intermédiaires afin de trouver les dimensions manquantes. Le recours aux théorèmes mathématiques ou à la trigonométrie peut alors être nécessaire. Concernant les notations utilisées dans l'article, sachez que la longueur d'un segment [AB] s'écrit AB.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer le périmètre d'un trapèze connaissant toutes ses dimensions

Télécharger l'article

1. 
   1
   Notez la formule de calcul du périmètre d'un trapèze ABCD. Soit [DC] la grande base, [AB] la petite base, [AD] et [BC] les deux autres côtés du polygone. Comme pour tous les quadrilatères, le périmètre P du trapèze est égal à la somme de la longueur des quatre côtés . En l'espèce, il est donné par la formule suivante : P = AB + BC + CD + DA.
2. 
   2
   Intégrez les valeurs numériques dans la formule. Pour calculer le périmètre d'un trapèze en une étape, vous devez disposer de ses quatre longueurs.

   • Supposons les longueurs suivantes, exprimées en centimètres : DC = 3, AB = 2, AC = BC = 1. Dans ce cas particulier, notez qu'il s'agit d'un trapèze isocèle, car ses côtés non parallèles ont la même longueur.
3. 
   3
   Additionnez les longueurs. Si l'on reprend les valeurs numériques, le périmètre du trapèze est de 7 cm.

   • Le calcul détaillé est P = 3 + 2 + 1 + 1 = 7.
   Publicité

Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Calculer le périmètre d'un trapèze à l'aide du théorème de Pythagore

Télécharger l'article

1. 
   1
   Décomposez votre trapèze en trois figures plus simples. Soit ABCD un trapèze dont vous connaissez la hauteur, les dimensions de la petite base [AB] ainsi que des côtés non parallèles [AD] et [BC]. La longueur de la grande base [DC] est donc l'inconnue que vous devez trouver. Pour cela, il faut décomposer le polygone. Le trapèze est un quadrilatère particulier, car ses bases sont parallèles. Il est ainsi possible de le diviser en trois figures simples, à savoir un rectangle encadré par deux triangles rectangles. Pour les figurer, tracez les deux hauteurs issues des sommets A et B .

   • Pour calculer le périmètre d'un trapèze rectangle, divisez‑le en deux figures simples. En effet, il dispose d'au minimum un angle droit et peut être décomposé en un rectangle et un triangle rectangle .
2. 
   2
   Nommez les sommets de votre figure. Outre les points A, B, C et D du trapèze initial, ajoutez les points H₁ et H₂. Ils représentent les intersections entre les hauteurs et la grande base. Vous obtenez ainsi les triangles BCH₂ et ADH₁.

   • Les bases du trapèze étant parallèles, les deux hauteurs ont la même longueur. Celle‑ci est également la largeur du rectangle. Supposons que la hauteur du trapèze mesure 6 cm. Vous avez donc AH₁ = BH₂ = 6.
3. 
   3
   Notez les dimensions du rectangle ABH₂H₁. Le découpage du trapèze permet de les déduire aisément. La longueur du rectangle est égale à celle de la petite base du trapèze et sa largeur équivaut à la hauteur.

   • Supposons que la petite base mesure 6 cm. La longueur du rectangle est également de 6 cm, ce qui donne AB = H₂H₁ = 6. Dans ce cas particulier, notez que le polygone ABH₂H₁ est un carré. Ceci dit, cette observation n'impacte pas le calcul.
4. 
   4
   Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer les dimensions des triangles BCH₂ et ADH₁. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, lequel est défini par une hauteur et la base associée . Le théorème de Pythagore énonce que, dans le cas d'un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés . Notez que, par abus de langage, la longueur du côté est assimilée audit côté.
5. 
   5
   Appliquez le théorème de Pythagore au triangle BCH₂. Soit [BC] son hypoténuse [BH₂] sa hauteur et [CH₂] sa base. Selon le théorème de Pythagore, le rapport des longueurs donne BC² = BH₂² + CH₂².

   • Notez que l'hypoténuse du triangle BCH₂ est également le côté [BC] du trapèze. Vous disposez donc des longueurs de l'hypoténuse et d'un des côtés du triangle.
6. 
   6
   Isolez la dimension inconnue du triangle. Pour cela, affinez la formule du théorème de Pythagore. Vous avez donc CH₂² = BC² - BH₂². Donc CH₂ = √(BC² - BH₂²).

   • Supposons BH₂ = 6 et BC = 9. En insérant ces données dans la formule précédente, vous obtenez CH₂² = (9² - 6²) = 45.
7. 
   7
   Calculez la longueur de la base du triangle BCH₂. Reprenez la formule établie à l'étape précédente. En intégrant les données numériques, vous obtenez CH₂² = 45 soit CH₂ = √45. Il faut ensuite simplifier ce résultat.

   • Hormis les carrés parfaits, la racine carrée d'un nombre est rarement un entier. Par exemple, la racine carrée de 45 vaut 6,71. Le résultat simplifié donne donc √45 = √(9 x 5) = √9 x √5 = 3√5.
8. 
   8
   Calculez la longueur de la base du triangle ADH₁. Soit [AH₁] sa hauteur [AD] son hypoténuse et [DH₁] sa base. Pour calculer la longueur de la base, appliquez à nouveau la formule du théorème de Pythagore. Pour le triangle ADH₁, vous avez AD² = AH₁² + DH₁². En isolant la base, vous obtenez DH₁² = AD² - AH₁², ce qui donne DH₁ = √(AD² - AH₁²). Notez que, si vous cherchez le périmètre d'un trapèze isocèle, les côtés latéraux ont la même longueur. En décomposant cette figure, vous obtenez deux triangles identiques, ce qui facilite les calculs.

   • Supposons AH₁ = 6 et AD = 7. Cela donne DH₁ = √(7² - 6²) = √13.
9. 
   9
   Calculez le périmètre de votre trapèze. Calculez la longueur de la grande base. Compte tenu des résultats précédents, vous avez DC = DH₁ + H₁H₂ + H₂C. La formule du périmètre P est donc P = DH₁ + H₁H₂ + H₂C + AB + BC + AD. Il est préférable de garder vos valeurs, notamment les racines carrées, sous forme d'entier.

   • En remplaçant par les valeurs numériques, vous obtenez DC = √13 + 6 + 3√5 et P = √13 + 6 + 3√5 + 6 + 9 + 7 = 28 + 3√5 + √13. Le périmètre du trapèze est donc de 38,3 cm (arrondi au dixième près).
   Publicité

Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer le périmètre d'un trapèze à l'aide de la trigonométrie

Télécharger l'article

1. 
   1
   Divisez le trapèze en trois figures simples. Soit un trapèze ABCD dont vous connaissez la hauteur, la dimension de la petite base [AB] et la valeur des angles définis par la grande base. Comme dans la méthode précédente, la décomposition du trapèze facilite le calcul. Tracez les hauteurs issues des sommets A et B de votre trapèze.

   • Notez H₁ et H₂ les points d'intersection entre les hauteurs et la grande base. Votre trapèze est ainsi divisé en un rectangle ABH₂H₁ et deux triangles rectangles, notés BCH₂ et ADH₁.
2. 
   2
   Déduisez la largeur du rectangle. Dans la mesure où les bases du trapèze sont parallèles, les deux hauteurs ont la même longueur. Elle est également la largeur du rectangle.

   • Supposons que la hauteur mesure 6 cm. Vous avez donc AH₁ = BH₂ = 6.
3. 
   3
   Déduisez la longueur du rectangle ABH₂H₁. Elle est égale à celle de la petite base [AB].

   • Supposons que la petite base mesure 6 cm. Vous avez donc AB = H₁H₂ = 6. Dans ce cas particulier, la largeur et la longueur du rectangle sont identiques, ce qui en fait un carré.
4. 
   4
   Calculez les dimensions des côtés non parallèles du trapèze. Compte tenu de vos données, vous pouvez les trouver grâce à la trigonométrie. En effet, les côtés non parallèles du trapèze se confondent avec l'hypoténuse des triangles rectangles qui le composent. Or, dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est égal au rapport entre les longueurs du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse .

   • Vous disposez de la valeur des angles en C et en D ainsi que de la hauteur du trapèze. Or, dans les triangles BCH₂ et ADH₁, les segments [BH₂] et [AH₁] sont respectivement les côtés opposés à ces angles. Vous pouvez donc calculer la longueur de leur hypoténuse grâce à la formule du sinus.
   • La trigonométrie est un outil intéressant dans les calculs géométriques. Outre le sinus, vous pouvez également utiliser le cosinus  ou la tangente  d'un angle pour trouver une dimension dans un triangle rectangle.
5. 
   5
   Calculez la longueur de l'hypoténuse du triangle BCH₂. Soit [BC] l'hypoténuse du triangle α₂ l'angle en C et [BH₂] le côté opposé à cet angle. En reprenant la relation trigonométrique, vous avez sin α₂ = BH₂ / BC.

   • Supposons que l'angle en C mesure 35°. Cela donne sin 35 = BH₂ / BC.
6. 
   6
   Calculez le sinus de l'angle en C. Il n'existe que quelques valeurs remarquables en trigonométrie. Pour les autres, vous devez utiliser une calculatrice scientifique.

   • Dans notre exemple, le sinus de l'angle en C vaut 0,57. Vous pouvez conserver la valeur entière comportant le sinus ou l'arrondir. La précision de l'arrondi dépend de celle requise par votre travail.
7. 
   7
   Calculez la valeur numérique de l'hypoténuse du triangle BCH₂. En reprenant la formule trigonométrique précédente, vous obtenez BC = BH₂ / sin α₂.

   • Avec les données numériques, vous obtenez BC = 6 / sin 35 = 10,46. Le côté [BC] du trapèze mesure donc 10,5 cm (arrondi au dixième près).
8. 
   8
   Procédez de même pour le triangle ADH₁. Le sinus de l'angle en D, noté α₁, correspond au rapport entre les longueurs du côté opposé [AH₁] et de l'hypoténuse [AD]. En reprenant la formule trigonométrique, vous obtenez donc sin α₁ = AH₁ / AD soit AD = AH₁ / sin α₁.

   • Supposons que l'angle en D mesure 45°. Vous avez donc AD = 6 / sin 45 = 8,49. Le côté [AD] du trapèze mesure 8,5 cm (arrondi au dixième près).
9. 
   9
   Calculez la longueur de la base des triangles. Cela vous permettra de déterminer la longueur de la grande base du trapèze. Grâce à vos précédents calculs, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le rapport des longueurs est particulier. Selon le théorème de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Notez que, par abus de langage, la longueur d'un côté est désignée par ledit côté.
10. 
    10
    Calculez la longueur de la base du triangle BCH₂. Il s'agit du segment [CH₂]. En reprenant la formule du théorème de Pythagore et les notations précédentes, BC² = BH₂² + CH₂². En isolant la longueur de la base, vous obtenez CH₂ = √(BC² - BH₂²).

    • Avec les données numériques, vous avez CH₂ = √(10,5² - 6²) = 8,56. Le segment [CH₂] mesure 8,6 cm (arrondi au dixième près).
11. 
    11
    Procédez de même pour le triangle ADH₁. En appliquant la formule du théorème de Pythagore, vous avez AD² = AH₁² + DH₁². En isolant la longueur de la base, vous obtenez DH₁ = √(AD² - AH₁²).

    • En incluant les données numériques, la longueur de la base du triangle vaut 6 cm. Le calcul est DH₁ = √(8,5² - 6²) = 6,02. Le segment [DH₁] mesure donc 6 cm (arrondi au dixième près).
12. 
    12
    Calculez la longueur de la grande base. Elle est la somme de la longueur du rectangle et des bases des triangles que vous avez calculées. En reprenant les notations précédentes, vous avez DC = DH₁ + H₁H₂ + CH₂.

    • En intégrant les données numériques, vous obtenez DC = 6 + 6 + 8,6 = 20,6. La grande base de trapèze mesure 20,6 cm.
13. 
    13
    Calculez le périmètre du trapèze. Sommez les dimensions des côtés du polygone. La formule du périmètre P est la suivante : P = AB + BC + CD + DA.

    • En remplaçant par les valeurs numériques, vous obtenez P = 6 + 10,5 + 20,6 + 8,5 = 45,6. Le périmètre du trapèze est donc de 45,6 cm.
    Publicité

Conseils

• Utilisez les propriétés des triangles particuliers afin de trouver les dimensions manquantes. Par exemple, sachez que les rapports entre les longueurs sont remarquables dans le cas des triangles rectangles isocèles ou des triangles rectangles possédant des angles de 30° et 60° .
• Gardez une calculatrice scientifique à portée de main. Elle est indispensable pour les calculs trigonométriques et la conversion des racines carrées. Vous pouvez également en trouver en ligne.
• Indiquez les dimensions directement sur votre figure au fur et à mesure.
• À moins que vos calculs nécessitent une précision absolue, vous pouvez vous contenter d'arrondir les dimensions au dixième près.

Publicité

Éléments nécessaires

• Une calculatrice scientifique
• Un crayon à papier
• Une feuille de papier