कैसे X खंड प्राप्त करें

बीजगणित में, 2 आयामी आलेखाकृति में क्षैतिज अक्ष, या x-अक्ष तथा उर्ध्वाधर अक्ष, या y-अक्ष होते हैं। इन अक्ष पर जहाँ से कोई रेखा गुजरती है वो इन अक्षो पर अंतःखंड बनाती है। जब रेखा y-अक्ष से गुजरती है तो y अंतःखंड बनाती है तथा x- अक्ष से गुजरती है तो x अंतःखंड बनाती है। x अंतःखंड को बीजगणितीय विधि द्वारा प्राप्त करना सरल या कठिन हो सकता है, तथा यह इसपर निर्भर करता है कि यह द्वीपद समीकरण है या वर्ग समीकरण है। दोनों समीकरणों द्वारा इसे प्राप्त करने की विधि आगे दी गयी है।

विधि 1

विधि 1 का 2:

सामान्य द्वीपदी समीकरण

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y का मूल्य 0 लिखिए: जिस बिंदु पर एक सरल रेखा क्षैतिज या x-अक्ष को काटती है, वहां y का मान 0 होता है।
- उदाहरणार्थ, समीकरण 2x + 3y = 6 में, y के लिए 0 लिखते हुए समीकरण होगा 2x + 3(0) = 6, या और सरल रूप में 2x = 6 होगा।
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x को सरल कीजिये: इसका मतलब है, समीकरण के दोनों पक्षों को x के गुणांक से विभाजित करना।
- ऊपर दिए गए उदाहरण में, 2x = 6, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर हमें 2/2 x = 6/2, or x = 3 मिलेगा। यह समीकरण 2x + 3y = 6 का x अंतःखंड होगा।
- आप ax^2 + by^2 = c जैसे समीकरण के लिए भी इन्हीं चरणों का उपयोग कर सकते हैं। इस स्थिति में, y के लिए 0 लिखते हुए, आपको x^2 = c/a मिलेगा, और समीकरण के दाहिनी ओर का मान ज्ञात करने के पश्चात् आपको x के वर्ग का वर्गमूल ज्ञात करना होगा। इसके दो मान होंगे, 1 धनात्मक तथा 1 ऋणात्मक, जिन्हें, जोड़ने पर 0 प्राप्त होगा।

विधि 2

विधि 2 का 2:

वर्ग समीकरण के लिए

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समीकरण को ax^2 + bx + c = 0 के रूप में लिखिए: यह वर्ग समीकरण को लिखने का सही तरीका है, जहाँ a द्वारा x के वर्ग का गुणांक दर्शाया जाता है, b द्वारा x का गुणांक दर्शाया जाता है, और c अचरांक होता है।
- उदाहरण के रूप में हम इस भाग में, समीकरण x^2 +3x - 10 = 0 लेंगे।
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x का समीकरण हल करें: एक वर्ग समीकरण को हल करने के कई तरीके हैं। यहाँ जिन 2 तरीकों को दिखाया गया है, वे गुणनखंड तथा वर्ग समीकरण सूत्र द्वारा किये गए हैं।
- गुणनखंड विधि में, वर्ग समीकरण को विभाजित कर के उन्हें दो सरल बीजगणितीय पदों में दर्शाया जाता है जिनका गुणनफल ही वर्ग समीकरण होता है। अक्सर a तथा c के मान द्वारा ही सही गुणनखण्डों का अनुमान लगाया जाता है। चूँकि 2 गुणा 5 का मान 10 होता है, जो कि c का मान है, तथा b का मान c से कम है, 2 और 5 गुणनखंड के सही घटक हो सकते हैं। 5 में से 2 घटाने पर 3 मिलता है, सही गुणनखंड x + 5 तथा x – 2 होंगे। वर्ग समीकरण को गुणनखंड के रूप में लिखने पर, (x + 5)(x - 2) = 0 मिलेगा, x के 2 अंतःखंड -5 (-5 + 5 = 0) और 2 (2 - 2 = 0) होंगे।
- वर्ग समीकरण सूत्र में a, b तथा c का मान लिखा जाता है, जो कि सूत्र (-b + or - SQR (b^2 - 4 ac))/2a में लिखा जाता है, (जहाँ SQR का मतलब होता है वर्गमूल) और x का मान प्राप्त किया जाता है।
- सूत्र में 1, 3, तथा -10 लिखने पर (-3 + or - SQR (3^2 - 4(1)(-10)))/2(1) प्राप्त होगा। यह सूत्र हल करने पर 9 -(-40) or 9+40 प्राप्त होगा, जो कि 49 होगा, इसलिए समीकरण छोटा होकर (-3 + or - 7)/2 होगा, जो (-3 + 7)/2 या 4/2 होगा, जो 2 मिलेगा, और (-3 -7)/2 या -10/2, जो -5 होगा।
- पिछले भाग में दिए गए द्विपदी समीकरण से अलग, वर्ग समीकरण को आलेख पर सीधी रेखा के बजाय परवलय (घुमावदार रेखा) के रूप में दर्शाया जाता है। वर्ग समीकरण के 0 अंतःखंड, 1 अंतःखंड या 2 अंतःखंड हो सकते हैं।