Comment diviser des polynômes grâce à la division synthétique

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La division synthétique est une méthode bien pratique, et somme toute rapide, pour diviser deux polynômes. Le principe est assez simple dans la mesure où vous travaillez avec les coefficients du polynôme en numérateur et avec l'opposé de la constante du diviseur. Par un jeu assez systématique de multiplications et d'additions, vous finissez par obtenir le résultat de cette division très particulière, le tout est d'être un peu attentif et rigoureux.

Étapes

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   Posez bien l'opération. Pour être plus explicite, nous allons diviser $x^{3}+2x^{2}-4x+8$ par $x+2$. Tracez un trait de fraction au-dessus duquel vous inscrirez le premier polynôme (ce sera le numérateur, mais aussi le dividende) et au-dessous duquel vous inscrirez le second polynôme, le dénominateur qui fera donc office de diviseur.
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   Récupérez la constante du diviseur. Vous en profiterez pour changer son signe. Ici, la constante est $+2$, vous en changez le signe et vous obtenez $-2$, laquelle valeur va être primordiale pour la division.
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   Placez cette valeur au bon endroit. Vous allez faire une sorte de division à l'envers, à savoir que le diviseur va se trouver à gauche et le dividende à droite. Vous allez commencer par tracer une barre de division inversée qui ressemble donc à un « L » inversé (⅃). À gauche de ce symbole, vous placerez le diviseur déterminé précédemment, soit dans notre cas, $-2$.
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   Inscrivez tous les coefficients du polynôme en dividende. Sur la même ligne que le diviseur, mais à droite de la barre de division, inscrivez, dans le bon ordre, c'est-à-dire de gauche à droite, et en les séparant les uns des autres, les coefficients de chacun des termes contenant l'inconnue ($x$). En reprenant notre exemple, cela donne la disposition suivante :
   ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\end{matrix}}$.
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   Pour commencer, abaissez simplement le premier coefficient. Recopiez-le tel quel sur la deuxième ligne inférieure, la ligne intermédiaire servira à l'étape suivante. Vous devriez obtenir ceci :

   • ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\\\ &\downarrow \\\ &1\end{matrix}}$
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   Multipliez le premier coefficient par le diviseur. Prenez le coefficient le plus à gauche et multipliez-le mentalement par le diviseur en faisant attention aux signes. Inscrivez ce résultat sous le deuxième coefficient, mais juste sur la ligne du dessous. Dans notre exemple, le premier coefficient est $1$ et on le multiplie donc par le diviseur, soit $-2$. Le résultat, $-2$, est inscrit juste sous le deuxième coefficient. La division synthétique se présente alors comme suit :

   • ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\\\ &\ &-2\\\ &1\end{matrix}}$
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   Faites la somme de la deuxième colonne. Vous avez donc, alignés verticalement, $2$ et $-2$. Tracez un trait, faites la somme des deux et inscrivez le résultat obtenu. Ici, nous avons à additionner $2$ et $-2$, ce qui donne $0$. Ce dernier résultat doit se trouver sur la même ligne que le $1$ du premier coefficient. La division se présente comme suit :

   • ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\\\ &{\underline {}}\ &{\underline {-2}}\\\ &1\ &0\end{matrix}}$
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   Multipliez ce dernier résultat par le diviseur. Opérez exactement comme vous l'avez fait à la 6e étape : vous multipliez la somme obtenue par le diviseur de départ. Dans notre exemple, cela revient à multiplier $0$ (obtenu en faisant $-2-(-2)=-2+2$) par $-2$, le diviseur. $0$ étant l'élément absorbant de la multiplication, le résultat est $0$, il sera donc inscrit juste sous le troisième coefficient ($4$). La division se présente comme suit :

   • ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\\\ &{\underline {}}\ &{\underline {-2}}\ &0\\\ &1\ &0\end{matrix}}$
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   Faites la somme de la troisième colonne. Vous avez donc, alignés verticalement, $-4$ et $0$. Tracez un trait, faites la somme des deux et inscrivez le résultat obtenu. Ici, nous avons à additionner $-4$ et $0$, ce qui donne $-4$. Ce dernier résultat doit se trouver sur la même ligne que le $1$ du premier coefficient et le $0$ du deuxième. La division se présente comme suit :

   • ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\\\ &{\underline {}}\ &{\underline {-2}}\ &{\underline {0}}\\\ &1\ &0&-4\end{matrix}}$
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    Multipliez ce dernier résultat par le diviseur. Opérez exactement comme vous l'avez fait à la 6e étape : vous multipliez la somme obtenue par le diviseur de départ. Dans notre exemple, cela revient à multiplier $-4$ (obtenu en faisant $-4+0$) par $-2$, le diviseur. En faisant attention aux signes, vous obtenez le résultat suivant : $-4\times -2=-(-8)=8$ et il est inscrit juste sous le quatrième coefficient ($4$). Comme précédemment, faites la somme de ce résultat et du dernier coefficient, ce qui donne :$8+8=16$. Ce résultat est inscrit sous un trait d'addition et c'est le reste. La division dans son état final se présente comme suit :

    • ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\\\ &{\underline {}}\ &{\underline {-2}}\ &{\underline {0}}&{\underline {8}}\\\ &1\ &0&-4&{\underline {|16}}\end{matrix}}$
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    Préparez la réponse définitive. Les trois premiers chiffres de la dernière ligne de la division sont les coefficients des différents termes de la réponse, lesquels termes voient la puissance de l'inconnue diminuée d'une unité par rapport au polynôme du dividende. Pour être plus concret, reprenons notre exemple. Le premier coefficient trouvé est $1$, il est affecté à $x^{2}$
    ($x^{3-1}$), le deuxième coefficient est $0$, affecté à $x$ et le dernier coefficient, $-4$ devient la constante. Tout à droite de la ligne, il y a une valeur : c'est le reste et il vaut ici $16$. Pour se résumer, vous avez la division :

    • ${\begin{matrix}{\underline {-2|}}&1&2&-4&8\\\ &{\underline {}}\ &{\underline {-2}}\ &{\underline {0}}&{\underline {8}}\\\ &1\ &0&-4&{\underline {|16}}\end{matrix}}$
      
      La réponse partielle est $(1)x^{2}+(0)x+(-4)$ et il reste $16$, ce qui après simplification, donne :
      $x^{2}-4$, toujours avec un reste de $16$.
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    Inscrivez la réponse définitive. Cette division de polynômes a pour réponse : $(x^{2}-4)+{\frac {16}{x+2}}$, c'est-à-dire $x^{2}-4$, auquel on ajoute le reste ($16$) rapporté au dénominateur.
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Conseils

• Pour vérification, faites l'opération inverse : multipliez le quotient par le diviseur, puis ajoutez le reste. Si vous avez bien travaillé, vous devriez retomber sur le polynôme de départ.

  La formule est la suivante : (diviseur x quotient) + (reste) = polynôme de départ.

  $(x+2)(x^{2}-4)+16$

  Développez le produit de polynômes comme suit :

  $(x^{3}-4x+2x^{2}-4x-8)+16$

  $x^{3}+2x^{2}-4x-8+16$

  $x^{3}+2x^{2}-4x+8$

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