Comment calculer la surface d'une sphère

L’aire d’une sphère est le nombre d’unités (en cm, en m ou toute unité de mesure de distance) qui recouvrent sa surface extérieure. L’équation a été établie par le philosophe et mathématicien grec Aristote il y a plus de mille ans. Celle-ci est relativement simple, même si elle a été compliquée à établir. Pour trouver la surface d’une sphère, utilisez la formule suivante : (4πr²), avec r = rayon du cercle.

Étapes

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Vous devez connaitre les différentes parties de l’équation : aire = 4πr². Cette ancienne formule est la plus simple pour déterminer l’aire d’une sphère. Il est possible sur à peu près n’importe quelle calculatrice d’entrer le rayon et d’obtenir l’aire d’une sphère.
- r ou « rayon » : le rayon est la distance entre le centre de la sphère et sa bordure.
- π ou « pi » : ce nombre incroyable (égal à environ 3,14) représente le ratio entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Il est utile dans toutes les équations impliquant des cercles et les sphères. Il est généralement arrondi pour donner π = 3,1416, mais vous devez savoir qu’il possède un nombre infini de décimales ^{[1]XSource de recherche}.
- 4 : pour des raisons un peu compliquées, l’aire d’une sphère représente toujours 4 fois l’aire d’un cercle de même rayon.
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Trouvez le rayon de la sphère. Parfois, le rayon sera donné dans le problème. Parfois, vous devrez le trouver vous-même. Si le diamètre d’un cercle vous est donné, il vous suffit de diviser ce dernier par 2 pour obtenir le rayon. Par exemple, une sphère de 10 cm de diamètre possède un rayon de 5 cm.
- Conseil pour aller plus loin : si seul le volume de la sphère vous est donné, vous devrez faire un effort supplémentaire pour en déduire le rayon. Divisez le volume par 4π, puis multipliez le résultat par 3. Enfin, prenez la racine carrée de ce dernier résultat.
Pour cela, vous pouvez poser une multiplication et faire un calcul de tête (5² = 5*5 = 25) ou utiliser la fonction « carré » de votre calculatrice (correspondant généralement au signe « x² »).
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Multipliez le résultat par 4. Vous pouvez d’abord multiplier par 4 ou par pi, mais il est généralement plus simple de commencer par multiplier par 4, car il ne présente pas de décimales.
- Si le rayon est égal à 5, comme dans l’exemple ci-dessus, cela donne 4*25*π ou 100π.
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Multipliez le résultat par pi (π). S’il est indiqué que vous devez donner la valeur exacte du résultat, écrivez le symbole π après le nombre et vous aurez fini. Autrement, utilisez l’arrondi π = 3,14 ou la touche π de votre calculatrice.
- 100*π = 100*3,14
- 100π = 314
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N’oubliez pas l’unité après la réponse finale. Si l’aire de la sphère est égale à 314 cm, vous devrez écrire « cm² » après le résultat, car c’est l’unité d’une aire (c’est ce que l’on appelle les « centimètres carrés »).
- La réponse entière correspondant à l’aide de la sphère sur l’image est la suivante : aire = 314 cm².
- L’unité est toujours la même que celle donnée pour le rayon. Si le rayon est en mètre, la réponse doit reprendre la même unité.
- Conseil pour aller plus loin : nous mettons l’unité au carré, car l’aire est équivalente au nombre de carrés que peut contenir la surface d’une sphère. Reprenons le même problème avec des mètres. Cela signifie que pour une sphère de rayon r = 5, sa surface pourrait contenir 314 carrés de 1 m de côté.
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Entrainez-vous avec un exemple. Si le rayon d’une sphère mesure 7 cm, quelle est l’aire de la surface de cette sphère ?
- 4πr²
- r = 7
- 4*π*7²
- 49*4*π
- 196π
- Réponse : Aire = 615,75 cm², soit 615,75 centimètres carrés.
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Vous devez comprendre ce qu’est une aire. L’aire d’une sphère représente la surface recouvrant l’extérieur de cette sphère. Vous pouvez voir cela comme le caoutchouc recouvrant un ballon de football ou la surface de la Terre. Parce qu’elle est incurvée, il est beaucoup plus difficile de mesurer l’aire d’une sphère que celle d’une boite, c’est pourquoi il est nécessaire de faire appel à une équation.
- Si vous faites tourner un cercle autour d’un axe central, vous obtiendrez une sphère. Posez une pièce sur une table et faites-la tourner sur elle-même, vous verrez apparaitre une sphère. Même si nous ne la détaillerons pas, vous devez savoir que c’est de là que provient cette équation.
- Conseil pour aller plus loin : de toutes les formes possibles, les sphères possèdent le plus petit ratio surface/volume, ce qui signifie que ce sont celles qui peuvent contenir le plus de choses dans un espace restreint.
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Conseils

Si votre rayon inclut une racine carrée, comme 3 √ 5, n’oubliez pas de mettre au carré le coefficient multiplicateur et la racine. (3 √ 5)² devient 9×5, ce qui donne 45.