Como Diferenciar a Raiz Quadrada de X

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Usando a regra da potência

Usando a regra da cadeia para funções de raiz quadrada

Usando um atalho para derivadas de funções com radical

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Referências

Se você já estudou Cálculo, é provável que tenha aprendido a regra da potência para se encontrar a derivada de funções básicas. No entanto, quando a função contém uma raiz quadrada ou um radical, como no caso de ${\sqrt {x}}$, essa regra fica difícil de ser aplicada. Com uma simples substituição do expoente, diferenciar essa função fica bastante fácil. Você poderá então aplicar a mesma substituição e usar a regra da cadeia para diferenciar várias outras funções envolvendo radicais.

Passos

Método 1

Método 1 de 3:

Usando a regra da potência

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   Revise a regra da potência nas derivadas. A primeira regra que você provavelmente aprendeu no cálculo das derivadas é a regra das potências. Ela afirma que, para uma variável $x$ elevada a qualquer expoente $a$, sua derivada ficará da seguinte maneira:

   • $f(x)=x^{a}$
   • $f^{\prime }(x)=ax^{a-1}$
   • Como exemplo, relembre os conceitos com as seguintes funções com derivadas:
     • Se $f(x)=x^{2}$, logo $f^{\prime }(x)=2x$;
     • Se $f(x)=3x^{2}$, logo $f^{\prime }(x)=2\times 3x=6x$;
     • Se $f(x)=x^{3}$, logo $f^{\prime }(x)=3x^{2}$;
     • Se $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$, logo $f^{\prime }(x)=4\times {\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$.
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   Reescreva a raiz quadrada em forma de expoente. Para encontrar a derivada de uma função de raiz quadrada, você precisa se lembrar de que a raiz quadrada de qualquer número ou variável também pode ser escrita em forma de expoente. O termo abaixo do radical será escrito como base e elevado ao expoente ${\frac {1}{2}}$. Considere os exemplos seguintes:

   • ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$;
   • ${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}$;
   • ${\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}$.
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   Aplique a regra da potência. Se a função for a raiz quadrada mais simples, $f(x)={\sqrt {x}}$, aplique a regra da potência como se segue para encontrar a derivada:

   • $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$(escreva a função original);
   • $f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \$ (reescreva o radical em forma de expoente);
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \$ (ache a derivada pela regra da potência);
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \$ (simplifique o expoente).
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   Simplifique o resultado. A essa altura, é importante reconhecer que um expoente negativo indica fazer uso da recíproca, ou o que o número seria tendo o expoente positivo. Em outras palavras, o expoente $-{\frac {1}{2}}$ significa que voc6e terá a raiz quadrada da base na forma do denominador de uma fração.

   • Continuando a partir da função acima com a raiz quadrada de x, a derivada poderá ser simplificada como:
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$;
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{\sqrt {x}}}$;
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.
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Método 2

Método 2 de 3:

Usando a regra da cadeia para funções de raiz quadrada

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   Revise a regra da cadeia em funções. Ela é usada nas derivadas quando a função original combina uma função dentro de outra. A regra da cadeia indica que, para duas funções $f(x)$ e $g(x)$, a derivada da combinação de ambas pode ser calculada da seguinte forma:

   • Se $y=f(g(x))$, logo $y^{\prime }=f^{\prime }(g)\times g^{\prime }(x)$.
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   Determine as funções para a regra da cadeia. Para usar essa regra, você precisa antes definir as duas funções que compõem a função combinada. Nas funções de raiz quadrada, a função externa $f(g)$ será a raiz quadrada, enquanto a função interna $g(x)$ será o que aparece abaixo do radical.

   • Por exemplo, considere o cálculo para se encontrar a derivada de ${\sqrt {3x+2}}$. Defina as duas partes como se segue:
     • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$;
     • $g(x)=(3x+2)$.
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   Determine as derivadas de ambas as funções. Para aplicar a regra da cadeia à raiz quadrada de uma função, é necessário antes determinar a derivada da função geral, mais externa:

   • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$;
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}$;
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$.
   • A seguir, determine a derivada da segunda função, mais interna:
     • $g(x)=(3x+2)$;
     • $g^{\prime }(x)=3$.
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   Combine as funções na regra da cadeia. Relembre a regra da cadeia, $y^{\prime }=f^{\prime }(g)\times g^{\prime }(x)$, e combine as derivadas como a seguir:

   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}\times 3$;
   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2)}}}}\times 3$;
   • $y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2)}}}}$.
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Método 3

Método 3 de 3:

Usando um atalho para derivadas de funções com radical

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   Aprenda o atalho para derivadas de qualquer função com radical. Ao tentar encontrar a derivada da raiz quadrada de uma variável ou função, você pode aplicar um padrão simples. Ela sempre será a derivada do radicando dividida pelo dobro da raiz quadrada original. Simbolicamente, isso pode ser exibido da seguinte forma:

   • Se $f(x)={\sqrt {u}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}$.
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   Encontre a derivada do radicando. Esse é o termo ou a função abaixo do sinal da raiz. Para aplicar esse atalho, determine qual é a derivada apenas do radicando. Considere os seguintes exemplos:

   • Na função ${\sqrt {5x+2}}$, o radicando é $(5x+2)$. Sua derivada será $5$.
   • Na função ${\sqrt {3x^{4}}}$, o radicando é $3x^{4}$. Sua derivada será $12x^{3}$.
   • Na função ${\sqrt {\sin(x)}}$, o radicando é $\sin(x)$. Sua derivada será $\cos(x)$.
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   Escreva a derivada do radicando em forma de numerador de uma fração. A derivada de uma função com radical envolverá uma fração. Seu numerador representa a derivada do radicando. Para os exemplos acima, a primeira parte da derivada fica como a seguir:

   • Se $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{denom}}}$;
   • Se $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{denom}}}$;
   • Se $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{denom}}}$.
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   Escreva o denominador como o dobro da raiz quadrada original. Usando esse atalho, o denominador equivalerá a duas vezes a raiz quadrada original. Logo, para as três funções de exemplo acima, os denominadores das derivadas serão:

   • Para $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$;
   • Para $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$;
   • Para $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$.
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   Combine o numerador e o denominador para encontrar a derivada. Coloque ambas as metades da fração juntas e o resultado será a derivada da função original.

   • Para $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$;
   • Para $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$;
   • Para $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, logo $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$.
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