Cómo derivar la raíz cuadrada de X

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En este artículo:

Usar la regla de la potencia

Usar la regla de la cadena para funciones con raíz cuadrada

Usar un atajo al derivar funciones con raíces

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Referencias

Si alguna vez estudiaste cálculo, seguramente aprendiste la regla de la potencia para encontrar la derivada de algunas funciones básicas. Sin embargo, si la función tiene una raíz cuadrada o un símbolo de raíz, como por ejemplo ${\sqrt {x}}$, esta regla de la potencia parece difícil de aplicar. Usando una simple sustitución de exponentes, puedes derivar esta función de forma sencilla. Luego puedes aplicar la misma sustitución y usar la regla de la cadena de cálculo para derivar muchas otras funciones que incluyan raíces.

Pasos

Método 1

Método 1 de 3:

Usar la regla de la potencia

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   Repasa la regla de la potencia de las derivadas. La primera regla que probablemente aprendiste para encontrar una derivada es la regla de la potencia (o de los exponentes). Esta regla establece que para una variable $x$ elevada a un exponente $a$, la derivada se calcula de la siguiente forma:

   • $f(x)=x^{a}$
   • $f^{\prime }(x)=ax^{a-1}$
   • Por ejemplo, observa las siguientes funciones y sus derivadas:
     • Si $f(x)=x^{2}$, entonces $f^{\prime }(x)=2x$
     • Si $f(x)=3x^{2}$, entonces $f^{\prime }(x)=2*3x=6x$
     • Si $f(x)=x^{3}$, entonces $f^{\prime }(x)=3x^{2}$
     • Si $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$, entonces $f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$
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   Reescribe la raíz cuadrada como exponente. Para encontrar la derivada de una función con raíz cuadrada, primero debes recordar que la raíz cuadrada de cualquier número o variable también se puede expresar a través de un exponente. El término que se encuentra bajo el símbolo de la raíz cuadrada (o radical) se escribe en la base y se eleva al exponente 1/2. Observa los siguientes ejemplos:

   • ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$
   • ${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}$
   • ${\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}$
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   Aplica la regla de la potencia. Si la función es la forma más simple de la raíz cuadrada, $f(x)={\sqrt {x}}$, aplica la regla de la potencia de la siguiente manera para encontrar la derivada:

   • $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$(escribe la función original)
   • $f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \$(reescribe la raíz como exponente)
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \$(encuentra la derivada con la regla de la potencia)
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \$(simplifica el exponente)
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   Simplifica el resultado. En este paso lo importante es darse cuenta que el exponente negativo significa que tendrás que calcular el recíproco del número que estaría elevado a ese exponente si fuera positivo. El exponente $-{\frac {1}{2}}$ significa que tendrás la raíz cuadrada de la base como denominador de una función.

   • Siguiendo con la función de la raíz cuadrada de x, la derivada se puede simplificar de esta forma:
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}$
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
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Método 2

Método 2 de 3:

Usar la regla de la cadena para funciones con raíz cuadrada

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   Repasa la regla de la cadena de las funciones. La regla de la cadena es una regla para derivadas que se usa cuando la función original es la composición de una función con otra función. La regla de la cadena establece que para dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, la derivada de la composición de ambas se calcula del siguiente modo:

   • Si $y=f(g(x))$, entonces $y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$.
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   Define las funciones para la regla de la cadena. Para usar la regla de la cadena primero debes definir las dos funciones que conforman la función compuesta. En el caso de las funciones de raíz cuadrada, la función externa $f(g)$ es la función de raíz cuadrada y la función interna $g(x)$ es lo que aparece debajo del símbolo de la raíz cuadrada.

   • Por ejemplo, supón que quieres encontrar la derivada de ${\sqrt {3x+2}}$. Define las dos partes de la función como se muestra a continuación:
     • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$
     • $g(x)=(3x+2)$
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   Encuentra las derivadas de las dos funciones. Para aplicar la regla de la cadena a la raíz cuadrada de una función, primero es necesario encontrar la derivada de la función general de raíz cuadrada:

   • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}$
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$
   • Ahora calcula la derivada de la segunda función:
     • $g(x)=(3x+2)$
     • $g^{\prime }(x)=3$
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   Combina las funciones de la regla de la cadena. Recuerda que la regla de la cadena establecía que $y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$; ahora tienes que combinar las derivadas como se muestra a continuación:

   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3$
   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3$
   • $y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}$
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Método 3

Método 3 de 3:

Usar un atajo al derivar funciones con raíces

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   Aprende un atajo para derivar cualquier función con raíces. Cada vez que quieras encontrar la derivada de la raíz cuadrada de una variable o una función, puedes aplicar una regla muy simple. La derivada en estos casos siempre será la derivada del radicando, dividida por el doble de la raíz cuadrada original. Con símbolos, esto se representa de la siguiente manera:

   • Si $f(x)={\sqrt {u}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}$
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   Encuentra la derivada del radicando. El radicando es el término o función que está debajo del símbolo de la raíz cuadrada. Para aplicar este atajo, primero calcula la derivada del radicando solamente. Observa los siguientes ejemplos:

   • En la función ${\sqrt {5x+2}}$, el radicando es $(5x+2)$. Su derivada es $5$.
   • En la función ${\sqrt {3x^{4}}}$, el radicando es $3x^{4}$. Su derivada es $12x^{3}$.
   • En la función ${\sqrt {sin(x)}}$, el radicando es $\sin(x)$. Su derivada es $\cos(x)$.
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   Escribe la derivada del radicando como el numerador de una fracción. La derivada de una función con raíz incluye siempre una fracción. El numerador de esta fracción es la derivada del radicando. Por lo tanto, para las funciones de ejemplo que se mostraron anteriormente, la primera parte de la derivada se calcula así:

   • Si $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{denom}}}$
   • Si $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{denom}}}$
   • Si $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{denom}}}$
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   Escribe el denominador como el doble de la raíz cuadrada original. Si usas este atajo, el denominador será el doble de la función de raíz cuadrada original. Por lo tanto, para las tres funciones de ejemplo
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Ç_ que se mostraron anteriormente, los denominadores de las derivadas serían los siguientes:

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   • Si $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
   • Si $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
   • Si $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {\text{num}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
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   Combina el numerador con el denominador para encontrar la derivada. Une las dos mitades de la fracción y el resultado será la derivada de la función original.

   • Si $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
   • Si $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
   • Si $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, entonces $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
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