Как найти производную квадратного корня из x

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

С помощью правила дифференцирования степенной функции

С помощью правила дифференцирования сложной функции

С помощью упрощенного правила дифференцирования корня

Дополнительные статьи

Источники

На курсах дифференциального исчисления вы наверняка учили правила дифференцирования основных функций, в том числе правило дифференцирования степенной функции. Однако если функция содержит квадратный или другой корень, например ${\sqrt {x}}$, может показаться, что данное правило не подходит. Тем не менее достаточно переписать ее в степенном виде, чтобы получить очевидный ответ. Если функция содержит несколько корней, такую подстановку можно делать сколько угодно раз и использовать правило дифференцирования сложной функции.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 3:

С помощью правила дифференцирования степенной функции

Загрузить PDF

1. 
   1
   Вспомните правило дифференцирования степенной функции. Обычно это правило учат в самом начале курса дифференциального исчисления. Оно гласит, что производная переменной $x$, возведенной в степень $a$, равна:

   • $f(x)=x^{a}$
   • $f^{\prime }(x)=ax^{a-1}$
   • В качестве примера рассмотрим следующие функции и найдем их производные:
     • если $f(x)=x^{2}$, то $f^{\prime }(x)=2x$;
     • если $f(x)=3x^{2}$, то $f^{\prime }(x)=2*3x=6x$;
     • если $f(x)=x^{3}$, то $f^{\prime }(x)=3x^{2}$;
     • если $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$, то $f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$.
2. 
   2
   Запишите квадратный корень в виде степенной функции. Чтобы найти производную квадратного корня, вспомните, что его можно переписать в виде степенной функции. При этом стоящая под корнем величина записывается в виде основания, которое возводится в степень 1/2. Рассмотрим следующие примеры:

   • ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$;
   • ${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}$;
   • ${\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}$.
3. 
   3
   Примените правило дифференцирования степенной функции. Если под корнем стоит переменная x, $f(x)={\sqrt {x}}$, производная берется следующим образом:

   • $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$(записываем первоначальную функцию);
   • $f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \$(переписываем корень в виде степенной функции);
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \$(находим производную с помощью правила дифференцирования степенных функций);
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \$(упрощаем степенную функцию).
4. 
   4
   Упростите результат. На этом этапе необходимо вспомнить, что при отрицательной степени следует найти число, обратное данному числу в той же положительной степени. Степень $-{\frac {1}{2}}$ означает, что квадратный корень следует поставить в знаменателе дроби.

   • Продолжим приведенный выше пример для квадратного корня x и упростим производную:
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$;
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}$;
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

С помощью правила дифференцирования сложной функции

Загрузить PDF

1. 
   1
   Вспомните правило дифференцирования сложных функций. Это правило применяется в тех случаях, когда необходимо продифференцировать функцию, аргументом которой выступает другая функция. Согласно данному правилу, комбинация двух функций, $f(x)$ и $g(x)$, дифференцируется следующим образом:

   • если $y=f(g(x))$, тогда $y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$.
2. 
   2
   Определите функции. При использовании правила дифференцирования сложных функций первым делом следует выявить комбинацию функций. В случае квадратного корня в роли внешней функции $f(g)$ выступает взятие корня, а внутренней функцией $g(x)$ является то, что стоит под знаком корня.

   • Предположим, необходимо найти производную функции ${\sqrt {3x+2}}$. Определим составляющие ее функции следующим образом:
     • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$;
     • $g(x)=(3x+2)$.
3. 
   3
   Найдите производные обеих функций. Чтобы применить правило дифференцирования сложных функций к квадратному корню, сначала следует найти производную квадратного корня:

   • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$;
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}$;
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$.
   • После этого находим производную второй функции:
     • $g(x)=(3x+2)$;
     • $g^{\prime }(x)=3$.
4. 
   4
   Комбинируем найденные производные согласно правилу дифференцирования сложных функций. Вспоминаем это правило ($y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$) и в результате получаем:

   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3$;
   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3$;
   • $y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}$.
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

С помощью упрощенного правила дифференцирования корня

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запомните простое правило дифференцирования любых квадратных корней. Если необходимо найти производную квадратного корня, под которым стоит переменная или функция, используйте следующее правило. Результат всегда будет представлять собой производную подкоренного выражения, поделенную на удвоенный первоначальный квадратный корень. Это можно записать следующим образом:

   • если $f(x)={\sqrt {u}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}$.
2. 
   2
   Найдите производную подкоренного выражения. Как следует из названия, подкоренное выражение стоит под знаком квадратного корня. Чтобы применить данное правило, найдем производную этого выражения. Рассмотрим следующие примеры:

   • в функции ${\sqrt {5x+2}}$ подкоренным выражением является $(5x+2)$, а его производная $5$;
   • в функции ${\sqrt {3x^{4}}}$ подкоренным выражением является $3x^{4}$, а его производная $12x^{3}$;
   • в функции ${\sqrt {sin(x)}}$ подкоренным выражением является $\sin(x)$, а его производная $\cos(x)$.
3. 
   3
   Запишите производную подкоренного выражения в числителе дроби. Производная корня представляет собой дробь, в числителе которой стоит производная подкоренного выражения. Для приведенных выше функций получаем следующие выражения:

   • если $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{знаменатель}}}$;
   • если $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{знаменатель}}}$;
   • если $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{знаменатель}}}$.
4. 
   4
   Запишите знаменатель в виде удвоенного первоначального квадратного корня. Согласно данному правилу, в знаменателе следует написать удвоенный квадратный корень. Для приведенных выше функций получаем следующие знаменатели:

   • если $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {\text{числитель}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$;
   • если $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {\text{числитель}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$;
   • если $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {\text{числитель}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$.
5. 
   5
   Скомбинируем числитель и знаменатель и получим искомую производную. Запишите полную дробь, и у вас получится производная первоначальной функции:

   • если $f(x)={\sqrt {5x+2}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$;
   • если $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$;
   • если $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$, тогда $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$.
   Реклама