Как дополнить до полного квадрата

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Преобразование стандартного уравнения к вершинной форме

Решение квадратного уравнения

Дополнительные статьи

Дополнение до полного квадрата - полезный метод, который позволяет записать квадратное уравнение в форме, легкой для представления и решения. Вы можете дополнить до полного квадрата сложное квадратное уравнение и даже решить его. Если вы хотите научиться делать это, выполните следующие действия.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 2:

Преобразование стандартного уравнения к вершинной форме

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите уравнение. Например, 3x² - 4x + 5.
2. 
   2
   Вынесите за скобки коэффициент при первых двух членах. Чтобы вынести за скобки 3 из первых двух членов, разделите каждый из них на 3. 3x² делить на 3 = x² и 4x делить на 3 = 4/3x. Итак, новое уравнение записывается как: 3(x² - 4/3x) + 5. Свободный член 5 остается за скобками, так как его мы не делим на 3.
3. 
   3
   Делим на 2 второй член и возводим его в квадрат. Вторым членом, называемым b, является 4/3 . Делим его на 2: 4/3 ÷ 2 , или 4/3 х 1/2, равно 2/3 . Теперь возводим это значение в квадрат путем возведения в квадрат числителя и знаменателя дроби. (2/3)² = 4/9.
4. 
   4
   Прибавьте и вычтите полученную величину к/из уравнения. Нам нужен этот "лишний" член, чтобы дополнить уравнение до полного квадрата. Запомните, что вы одновременно добавляете и вычитаете новый член, поэтому исходное уравнение не меняется. Новое уравнение должно выглядеть следующим образом: 3( x² - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
5. 
   5
   Вынесите за скобку новый член со знаком минус. Поскольку перед скобкой стоит множитель 3, вы не можете просто вынести -4/9. Сначала умножьте его на 3: -4/9 х 3 = -12/9, или -4/3. Если вы работаете с уравнением, где коэффициент при x² отсутствует (то есть равен 1), то можете пропустить этот шаг.
6. 
   6
   Преобразуйте слагаемые в скобках в полный квадрат. В скобках осталось выражение: 3(x² -4/3x +4/9). Вы нашли 4/9, которое дополняет два первых слагаемых до полного квадрата: 3(x - 2/3)². Вы можете проверить решение, возведя выражение в скобках в квадрат:

   • 3(x - 2/3)² =
     
   • 3(x - 2/3)(x -2/3) =
   • 3[(x² -2/3x -2/3x + 4/9)]
   • 3(x² - 4/3x + 4/9)
7. 
   7
   Сложите свободные члены. У нас осталось два свободных члена: 3(x - 2/3)² - 4/3 + 5. Сложите их вместе: -4/3 + 5 = 11/3. Это можно сделать, приведя их к общему знаменателю.

   • -4/3 + 15/3 = 11/3.
     
8. 
   8
   Запишите уравнение в вершинной форме. Окончательный вид уравнения: 3(x - 2/3)² + 11/3, что соответствует вершинной форме a( x - h )² + k, где k – свободный член.
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Решение квадратного уравнения

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите уравнение. Например: 3x² + 4x + 5 = 6
2. 
   2
   Перенесите все члены уравнения на одну сторону и приравняйте его к 0. В нашем примере сложите свободные члены (члены уравнения без переменной): 5+(-6)=-1. Теперь уравнение записывается как:3x² + 4x - 1 = 0.
3. 
   3
   Вынесите за скобку коэффициент при переменной высшего порядка. В нашем случае 3 является коэффициентом x². Теперь уравнение записывается в виде: 3(x² + 4/3x - 1/3) = 0.
4. 
   4
   Избавьтесь от множителя перед скобкой. Просто перенесите его в правую часть уравнения (разделите 0 на 3 = 0). Теперь наше уравнение: x² + 4/3x - 1/3 = 0
5. 
   5
   Делим на 2 второй член и возводим его в квадрат. Вторым членом, называемым b, является 4/3 . Делим его на 2: 4/3 ÷ 2 , или 4/3 х 1/2=4/6=2/3. Квадрат 2/3 = 4/9. Так как вы добавляете новый член, нужно добавить его к обеим сторонам уравнения, чтобы оно не изменилось:x² + 4/3 x + 2/3² - 1/3 = 2/3²
6. 
   6
   Переместите свободный член (из исходного уравнения) с левой стороны уравнения в правую. Сложите два свободных члена на правой стороне уравнения, приведя их к общему знаменателю: 1/3+4/9=3/9+4/9=7/9. Теперь наше уравнение: x² + 4/3 x + 2/3² = 4/9 + 1/3 и затем: x² + 4/3 x + 2/3² = 7/9.
7. 
   7
   Запишите левую часть уравнения в виде квадрата:(x + 2/3)². Теперь уравнение запишется в виде:(x + 2/3)² = 7/9.
8. 
   8
   Возьмите квадратный корень из обеих сторон уравнение. Квадратный корень из (x + 2/3)² = x + 2/3. На правой стороне получим +/-( √ 7)/3. Квадратный корень из знаменателя 9 = 3, а квадратный корень из 7= √7. Не забудьте написать +/-, потому что квадратный корень может быть положительным или отрицательным.
9. 
   9
   Выделите переменную. Для выделения переменной х перенесите свободный член 2/3 в правую часть уравнения. Теперь у вас есть два возможных значения х: +/-( √ 7)/3 - 2/3. Это ваши два ответа. Вы можете оставить все как есть или найти фактический квадратный корень из 7, если требуется дать ответ без корня.
   Реклама

Советы

• Не забудьте записать +/- перед корнем; в противном случае вы получите только один ответ.
• Даже после вы знаете формулу решения квадратного уравнения, периодически практикуйтесь в дополнении до полного квадрата. Таким образом, вы не забудете, как это сделать, когда вам это понадобится.

Реклама