Как вычислить точку пересечения двух прямых

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке,^{[1]XИсточник информации} задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками, вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

Метод 1

Метод 1 из 2:

Точка пересечения двух прямых

Загрузить PDF

1
Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.
- Если уравнения прямых вам не даны, найдите их на основе известной вам информации.
- Пример. Даны прямые, описываемые уравнениями $y=x+3$ и $y-12=-2x$ . Чтобы во втором уравнении обособить «у», прибавьте к обеим сторонам уравнения число 12: $y=12-2x$
2
Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Наша задача — найти точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.
- Пример. Так как $y=x+3$ и $y=12-2x$ , то можно записать такое равенство: $x+3=12-2x$ .
3
Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если это невозможно, перейдите в конец этого раздела).
- Пример. $x+3=12-2x$
- Прибавьте $2x$ к каждой стороне уравнения:
- $3x+3=12$
- Вычтите 3 из каждой стороны уравнения:
- $3x=9$
- Разделите каждую сторону уравнения на 3:
- $x=3$ .
4
Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.
- Пример. $x=3$ и $y=x+3$
- $y=3+3$
- $y=6$
5
Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.
- Пример: $x=3$ и $y=12-2x$
- $y=12-2(3)$
- $y=12-6$
- $y=6$
- Мы получили такое же значение «у», поэтому в наших вычислениях ошибок нет.
6
Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).
- Пример. $x=3$ и $y=6$
- Таким образом, две прямые пересекаются в точке с координатами (3,6).
7
Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:
- Если две прямые параллельны, они не пересекаются. При этом переменная «х» просто сократится, а уравнение превратится в бессмысленное равенство (например, $0=1$ ). В этом случае в ответе запишите, что прямые не пересекаются или решения нет.
- Если оба уравнения описывают одну прямую, то точек пересечения будет бесконечное множество. При этом переменная «х» просто сократится, а уравнение превратится в строгое равенство (например, $3=3$ ). В этом случае в ответе запишите, что две прямые совпадают.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Задачи с квадратичными функциями

Загрузить PDF

1
Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, $x^{2}$ $How.com.vn Русский: x^{2}$ или $y^{2}$ $How.com.vn Русский: y^{2}$ . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
- Если уравнение включает выражение в скобках, раскройте их, чтобы удостовериться, что функция является квадратичной. Например, функция $y=(x+3)(x)$ является квадратичной, так как, раскрыв скобки, вы получите $y=x^{2}+3x.$
- Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ .^{[2]XИсточник информации}^{[3]XИсточник информации} Если у вас возникли проблемы при решении задач с такой функцией, перейдите в раздел «Советы».
2
Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
- Пример. Найдите точку (точки) пересечения графиков $x^{2}+2x-y=-1$ и $y=x+7$
- Обособьте переменную «у» на левой стороне уравнения:
- $y=x^{2}+2x+1$ и $y=x+7$ .
- В этом примере вам дана одна квадратичная функция и одна линейная функция. Помните, что если вам даны две квадратичные функции, вычисления аналогичны шагам, изложенным далее.
3
Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
- Пример. $y=x^{2}+2x+1$ и $y=x+7$
- $x^{2}+2x+1=x+7$
4
Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
- Пример. $x^{2}+2x+1=x+7$
- Вычтите «x» из обеих сторон уравнения:
- $x^{2}+x+1=7$
- Вычтите 7 из обеих сторон уравнения:
- $x^{2}+x-6=0$
5
Решите квадратное уравнение. Перенеся все члены уравнения на его левую сторону, вы получили квадратное уравнение. Его можно решить тремя способами: при помощи специальной формулы, дополнением до полного квадрата и разложением уравнения на множители.
- Пример. $x^{2}+x-6=0$
- При разложении уравнения на множители вы получите два двучлена, при перемножении которых получается исходное уравнение. В нашем примере первый член $x^{2}$ можно разложить на х*х. Сделайте следующую запись: (x )(x ) = 0
- В нашем примере свободный член -6 можно разложить на следующие множители: $-6*1$ , $-3*2$ , $-2*3$ , $-1*6$ .
- В нашем примере второй член – это х (или 1x). Сложите каждую пару множителей свободного члена (в нашем примере -6), пока не получите 1. В нашем примере подходящей парой множителей свободного члена являются числа -2 и 3 ( $-2*3=-6$ ), так как $-2+3=1$ .
- Заполните пробелы найденной парой чисел: $(x-2)(x+3)=0$ .
6
Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. В спешке можно забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
- Пример (разложение на множители). Если в уравнении $(x-2)(x+3)=0$ одно из выражений в скобках будет равно 0, то все уравнение будет равно 0. Поэтому можно записать так: $x-2=0$ → $x=2$ и $x+3=0$ → $x=-3$ (то есть вы нашли два корня уравнения).
- Пример (использование формулы или дополнение до полного квадрата). При использовании одного из этих методов в процессе решения появится квадратный корень. Например, уравнение из нашего примера примет вид $x=(-1+{\sqrt {25}})/2$ . Помните, что при извлечении квадратного корня вы получите два решения. В нашем случае: ${\sqrt {25}}=5*5$ , и ${\sqrt {25}}=(-5)*(-5)$ . Поэтому запишите два уравнения и найдите два значения «х».
7
Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
- Если графики пересекаются в одной точке, то квадратное уравнение раскладывается на одинаковые множители, например, (х-1) (х-1) = 0, а в формуле появляется квадратный корень из 0 ( ${\sqrt {0}}$ ). В этом случае уравнение имеет только одно решение.
- Если графики вообще не пересекаются, то уравнение на множители не раскладывается, а в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа (например, ${\sqrt {-2}}$ ). В этом случае в ответе напишите, что решения нет.
8
Подставьте найденное значение переменной «х» в уравнение (любое) кривой. Так вы найдете значение переменной «у». Если у вас есть два значения переменной «х», проделайте описанный процесс с обоими значениями «х».
- Пример. Вы нашли два значения переменной «х»: $x=2$ и $x=-3$ . Подставьте каждое из этих значений в линейное уравнение $y=x+7$ . Вы получите : $y=2+7=9$ и $y=-3+7=4$ .
9
Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух графиков. Если вы определили по два значения «х» и «у», запишите две пары координат, не перепутав соответствующие значения «х» и «у».
- Пример. При подстановке в уравнение $x=2$ вы получите $y=9$ , то есть одна пара координат (2, 9). Проделав аналогичные вычисления со вторым значением «х», вы получите вторую пару координат (-3, 4).
Реклама

Советы

Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ . Для нахождения точки (точек) пересечения окружности и прямой вычислите «х», используя линейное уравнение.^{[4]XИсточник информации} Затем подставьте найденное значение «х» в функцию, описывающую окружность, и вы получите простое квадратное уравнение, которое может не иметь решения или иметь одно или два решения.
Окружность и кривая (квадратичная или иная) могут не пересекаться или пересекаться в одной, двух, трех, четырех точках. В этом случае необходимо найти значение x² (а не «х»), а затем подставить его во вторую функцию. Вычислив «у», вы получите одно или два решения или вообще не получите решений. Теперь подставьте найденное значение «у» в одну из двух функций и найдите значение «х». В этом случае вы получите одно или два решения или вообще не получите решений.