代数計算を用いて2つの線が交わる点を求める方法

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2つの直線の交わる点を見つける

二次方程式を解く

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参照

2次元のグラフ上で2つの直線が交わるのは、$x$と$y$で構成された1組の座標のみです。どちらの直線もその点を通過することから、$x$の座標と$y$の座標は両方の方程式の条件を満たさなければなりません。いくつかのテクニックをおさえておけば、放物線を含む2次方程式の曲線が交わる点も、似た考え方で解くことができるようになるでしょう。

ステップ

方法 1

方法 1 の 2:

2つの直線の交わる点を見つける

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   $$ y {\displaystyle y} を左辺にして方程式を書き出す　$y$だけが方程式の左辺に来るように、必要に応じて置き換えて調整しましょう。$y$の代わりに$f(x)$や$g(x)$が用いられている時は、その項を分けましょう。項は同じ処理を両辺で行うことで消すことができるという点を忘れないようにしましょう。

   • 直線の方程式が明らかになっていない場合は、与えられている情報を元に見つけましょう。
   • 例： $y=x+3$さらに$y-12=-2x$という2つの直線があるとしましょう。2つ目の方程式は、両辺に12を足して $y=12-2x$とすると、左辺にあるのはyだけになります。
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   2つの方程式の右辺を等式で結ぶ　2つの直線の$x$と$y$の値が同じになる点、すなわち2つの直線が交わる点を見つけることが目的だということを今一度思い出しましょう。どちらの方程式も $y$ が左辺にあるので、右辺同士が等しいということが分かります。これを下記の様に書き表しましょう。

   • 例： 既出の例題では、$y=x+3$ および$y=12-2x$ということが分かっているので、 $x+3=12-2x$と書き表すことができます。
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   Xの値を求める　新たに書き表した方程式には$x$のみが含まれています。代数計算、つまり同じ演算を両辺で行うことで、ｘの値を求めましょう。 $x$ を含む項を方程式の一方の辺に集め、$x=??$という形式に書き直しましょう（不可能な場合は、この方法の一番最後の手順まで飛ばしましょう）。

   • 例： $x+3=12-2x$
   • $2x$を両辺に足しましょう。
   • $3x+3=12$となります。
   • 両辺から3を引きましょう。
   • $3x=9$となります。
   • 両辺を3で割りましょう。
   • $x=3$となります。
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   Xの値を用いてYの値を求める　2つの方程式のいずれかを選びましょう。その方程式に含まれている全ての$x$を、1つ前の手順で求めた値に置き換えましょう。計算をして$y$を求めましょう。

   • 例： $x=3$を$y=x+3$に当てはめてみましょう。
   • $y=3+3$
   • $y=6$
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   確認をする　$x$の値をもう一方の方程式に当てはめても同じ結果になるか確かめてみましょう。$y$の値が同じにならない場合は一旦戻って間違いを見つけましょう。

   • 例： $x=3$ を $y=12-2x$に当てはめましょう。
   • $y=12-2(3)$
   • $y=12-6$
   • $y=6$
   • 同じ答えになりました。つまり合っています。
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   交わる点の座標を書き出す　2つの直線が交わる点の $x$ と$y$の値が分かったので、 座標として書き出しましょう。$x$の値から書き始めます。

   • 例： $x=3$ および$y=6$を次の様に書き直します。
   • 2つの直線は (3,6) で交わります。
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   例外にも対応できるようになる　方程式の中には$x$を求めることができないものもあります。これは、必ずしも間違いとは限りません。2組の直線には次の2つの例外があります。

   • 2つの直線が平行していると交わることはありません。 $x$の項は相殺され、$0=1$のような偽の答えになります。この場合は2つの直線は交わらないや交わる点はないといった説明を答えとしましょう。
   • 逆に2つの方程式が全く同じ直線を表していると、その2つの直線は、いわば常に交差している状態となります。$x$の項が相殺され、$3=3$といった真の答えになります。こうした場合は2つの直線は同じという説明を答えとしましょう。
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方法 2

方法 2 の 2:

二次方程式を解く

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   二次方程式が何かを理解する　二次方程式では、1つ以上の変数が2乗（$x^{2}$ や $y^{2}$）されています。それ以上になることはありません。こうした方程式は曲線を表しているので、ゼロ、1つ、あるいは2つの点で交差していることが考えられます。ここでは、このゼロ、1つ、あるいは2つの座標を求める方法を説明します。

   • カッコを含む方程式を展開し、二次方程式かどうかを確認しましょう。例えば、$y=(x+3)(x)$は $y=x^{2}+3x$となるので、二次方程式です。
   • 円や楕円などの方程式には $x^{2}$ と $y^{2}$ の項の両方が含まれます。 こうした特殊な問題で苦労している場合は、この記事の最後の「ポイント」を参照しましょう。
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   Yが求められるよう書き直す　必要に応じてyを方程式の一方の辺に集めましょう。

   • 例： $x^{2}+2x-y=-1$ と$y=x+7$が交わる点を見つけましょう。
   • yが求められるよう書き直します。
   • $y=x^{2}+2x+1$および$y=x+7$となります。
   • この例題には2次方程式と1次方程式が1つずつ含まれています。2つの2次方程式で構成されている場合も解き方は同じです。
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   2つの方程式をまとめてYを消す　yを求める等式に書き直すと、双方の右辺を等号で結ぶことが可能になります。

   • 例： $y=x^{2}+2x+1$ と $y=x+7$は下記の様になります。
   • $x^{2}+2x+1=x+7$
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   一方の辺がゼロになるよう調整する　基本の代数計算の方法を使って、全ての項を一方の辺に集めましょう。これで次の手順で答えを求める準備が整います。

   • 例： $x^{2}+2x+1=x+7$
   • 両辺からxを引きましょう。
   • $x^{2}+x+1=7$となります。
   • 両辺から7を引きましょう。
   • $x^{2}+x-6=0$となります。
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   二次方程式を解く　一方の辺がゼロになると、3つの方法から解を求めることができるようになります。人それぞれ好みが別れます。二次方程式の解の公式や平方完成を参考にしたり、下記で紹介する因数分解を用いた方法を試してみましょう。

   • 例： $x^{2}+x-6=0$
   • ここでの目的は、かけ合わせて方程式を表すことのできる2つの因数を見つけることです。1つ目の項を見てみましょう。$x^{2}$はｘとｘに分解することができます。 (x    )(x    ) = 0 と書き出しましょう。
   • 3つ目の項は-6となっています。かけて-6になる組み合わせ書き出してみましょう。$-6*1$、 $-3*2$、 $-2*3$、$-1*6$が挙げられます。
   • 中央、つまり2つ目の項のx（つまり1x）に関しては、足して1になる因数の組み合わせを探しましょう。 $-2*3$は $-2+3=1$となるので条件を満たしています。
   • 因数を空白に書き込みましょう。$(x-2)(x+3)=0$となります。
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   Xの2つの解を見落とさない　急いで解くと、1つ目の解だけ見つけ、2つ目があることに気がつかないかもしれません。下記の手順で2種類のxの値を見つけましょう。

   • 例（因数分解）： 前の手順で$(x-2)(x+3)=0$という方程式を作ることができました。カッコの中に書かれている因数のどちらもゼロにならなければ、この等式は正解です。1つ目の解は $x-2=0$ → $x=2$となります。2つ目の解は$x+3=0$ → $x=-3$です。
   • 例（解の公式あるいは平方完成）：この2つの方法のいずれかを用いて解を求めると平方根が現れます。例題の方程式であれば$x=(-1+{\sqrt {25}})/2$となります。平方根とは、かけてその数になる2通りの組み合わせです。つまり${\sqrt {25}}=5*5$、さらに ${\sqrt {25}}=(-5)*(-5)$ということを意味しています。 2つの可能性それぞれの公式を書き出し、それぞれでxを求めましょう。
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   接点が1つあるいはゼロの場合の解を求める　ほとんど交わらない2つの線には1つの接点があり、交わることのない2つの線の接点はゼロです。下記を参考に見分けられるようになりましょう。

   • 1つの場合：因数分解の結果、全く同じ組み合わせが2つ並んだ方程式（例えば(x-1)(x-1) = 0）が出来上がります。解の公式に当てはめると平方根の項が ${\sqrt {0}}$となります。2つの方程式でなく1つだけ解を求めれば完了です。
   • 交わらない場合：条件を満たす因数がありません（足すと中央の項になります）。二次方程式に当てはめると、累乗根の内側に負の数が発生します（${\sqrt {-2}}$など）。交わらない、という説明を解としましょう。
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   元の方程式にxの値を代入する　交わる点のxの値がわかったら、元の方程式に代入して、yの値を求めましょう。2つ目のxの値がある場合は、その値も用いて同じ手順を繰り返します。

   • 例：例題では $x=2$そして$x=-3$という2つの値を見つけることができました。元の二次方程式の1つは$y=x+7$というものだったので、 $y=2+7$ そして $y=-3+7$と代入してみましょう。両方を計算すると、 $y=9$および$y=4$となります。
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   座標を書き出す　座標としてxとyが交わる2つの点を書き出しましょう。答えが2つある場合は、組み合わせを間違えないよう注意しましょう。

   • 例： $x=2$を代入すると $y=9$となったので、 (2, 9)という座標になります。2つ目も同じ考え方で (-3, 4)となります。
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ポイント

• 円や楕円の方程式には $x^{2}$と $y^{2}$の両方が含まれています。一次方程式でxを求め、円と直線の交わる点を見つけていきましょう。 求めたxの値を円形の方程式のxに代入すると、二次方程式が簡単になります。すでに説明されているように、こうした問題には解がゼロ、1つ、あるいは2つのものがあります。
• 円や放物線（あるいはその他の二次式）の場合は、答えがゼロ、1つ、2つ、3つ、あるいは4つの場合があります。両方の方程式で2乗になっている変数をまず見つけましょう。例えば x²があるとしましょう。 $x^{2}$を求めて、もう一方の方程式の $x^{2}$に代入してみましょう。yの値を求め、ゼロ、1つ、あるいは2つの解を見つけましょう。見つけたyの値を元の方程式に代入してxの値を求めましょう。いずれも、ゼロ、1つ、あるいは2つの解になるでしょう。

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