Vierkantswortels oplossen

Hoewel de intimiderende aanblik van een vierkantswortelsymbool mensen met wiskundeangst wellicht doen ineenkrimpen, zijn vierkantswortelproblemen niet zo moeilijk op te lossen als ze op het eerste gezicht lijken. Eenvoudige vierkantswortelproblemen kunnen vaak net zo gemakkelijk worden opgelost als eenvoudige keersommen en deelsommen. Complexere vierkantswortelproblemen daarentegen kunnen wat meer werk vergen, maar met de juiste aanpak kunnen zelfs deze problemen gemakkelijk worden opgelost. Begin vandaag nog met het beoefenen van vierkantswortelproblemen, om deze voor jouw misschien nieuwe wiskundige vaardigheid te leren!

Deel 1

Deel 1 van 3:

Machten en wortels begrijpen

Pdf downloaden

1
Kwadrateer een getal door deze met zichzelf te vermenigvuldigen. Om wortels te kunnen begrijpen, kun je het best met de kwadraten beginnen. Kwadraten zijn gemakkelijk — het kwadrateren van een getal is gelijk aan het vermenigvuldigen met zichzelf. Bijvoorbeeld: 3 in het kwadraat is hetzelfde als 3 × 3 = 9, en 9 in het kwadraat is hetzelfde als 9 × 9 = 81. Kwadraten worden aangegeven met een kleine '2' boven en rechts van het getal in het kwadraat — zoals dit: 3², 9², 100², enz.
- Probeer zelf nog enkele getallen te kwadrateren om dit concept te testen. Onthoud daarbij dat het kwadrateren van een getal niets anders is dan het vermenigvuldigen van dat getal met zichzelf. Je kunt dit zelfs met negatieve getallen doen. In alle gevallen zal het antwoord altijd positief zijn. Bijvoorbeeld: (-8)² = -8 × -8 = 64.
2
Om de wortel van een getal te vinden, zoek je het 'omgekeerde van' een kwadraat. Het symbool van de tweedemachtswortel (√, ook wel het 'wortelteken') is in principe het 'tegenovergestelde' van het kwadraatsymbool (²). Zie je een wortelteken, dan kun je jezelf de vraag stellen: 'Welk getal kan ik met zichzelf vermenigvuldigen zodat ik het getal onder het wortelteken krijg?' Bijvoorbeeld: als je de wortel √(9) ziet staan, dan zoek je naar het getal dat met zichzelf vermenigvuldigd negen als product heeft. In dit geval is dat drie, omdat 3² = 9.
- Een ander voorbeeld: We willen de vierkantswortel bepalen van 25 (√(25)). Dit betekent dat we het getal moeten vinden dat met zichzelf vermenigvuldigd, 25 als product heeft. Omdat 5² = 5 × 5 = 25, kunnen we stellen dat √(25) = 5.
- Je kunt dit ook beschouwen als het 'ongedaan maken' van een kwadraat (of machtsgetal). Als we voorbeeld de vierkantswortel van 64 (√64) willen vinden, beschouw 64 dan eerst als 8². Omdat een wortelteken in principe een kwadraat 'wegwerkt', kunnen we stellen dat √(64) = √(8²) = 8.
3
Weet wat het verschil is tussen perfecte en imperfecte kwadraten. Tot nu toe waren de antwoorden op de wortelopgaven mooie, ronde getallen. Dit is lang niet altijd het geval — in feite zijn er antwoorden mogelijk op vierkantswortels die erg lange, onhandige kommagetallen zijn. Wortelgetallen die hele getallen zijn (met andere woorden, getallen die geen breuken of kommagetallen zijn) heten kwadraten. Alle bovenstaande voorbeelden (9, 25 en 64) zijn kwadraten (ook wel perfecte vierkanten), omdat bij het worteltrekken, we hele getallen (3, 5 en 8) als resultaat krijgen.
- Aan de andere kant heten getallen die geen hele getallen geven na het worteltrekken, onvolmaakt vierkant. Wanneer je van een van deze getallen de wortel trekt, krijg je meestal een decimaal of breuk. Soms kunnen de erbij betrokken decimalen bijzonder rommelig worden. Bijvoorbeeld, √(13) = 3,605551275464…
4
Leer de eerste 10-12 kwadraten uit je hoofd. Zoals je waarschijnlijk al wel hebt opgemerkt, zijn vierkantswortels of kwadraten vaak heel gemakkelijk! Omdat deze rekenproblemen zo eenvoudig zijn, is het je tijd waard om de wortels van de eerste 12 of meer kwadraten te leren. Deze getallen zal je veel tegenkomen, dus kun je op de lange duur veel tijd besparen door ze al vroeg te leren. De eerste 12 kwadraten zijn:
- 1² = 1 × 1 = 1
- 2² = 2 × 2 = 4
- 3² = 3 × 3 = 9
- 4² = 4 × 4 = 16
- 5² = 5 × 5 = 25
- 6² = 6 × 6 = 36
- 7² = 7 × 7 = 49
- 8² = 8 × 8 = 64
- 9² = 9 × 9 = 81
- 10² = 10 × 10 = 100
- 11² = 11 × 11 = 121
- 12² = 12 × 12 = 144
5
Vereenvoudig wortels door waar mogelijk kwadraten te verwijderen. Het kan soms lastig zijn om de wortels van onvolmaakte vierkanten te vinden — vooral als je geen rekenmachine gebruikt (in de onderstaande paragrafen vind je trucs om dit proces te vergemakkelijken). Het is echter vaak mogelijk om de getallen onder het wortelteken te vereenvoudigen, om het werken ermee te vergemakkelijken. Hiertoe hoef je alleen maar het getal onder het wortelteken te ontbinden in factoren, waarna je de vierkantswortel neemt van factoren die kwadraten zijn, en het antwoord daarop buiten het wortelteken schrijft. Dit is makkelijker dan het klinkt — lees verder voor meer informatie!^[1]XBron
- Stel dat je de vierkantswortel van 900 wilt berekenen. Op het eerste gezicht ziet dit er erg moeilijk uit! Het is echter niet moeilijk als we 900 ontbinden in factoren. 'Factoren' zijn die getallen welke zich met elkaar kunnen vermenigvuldigen om nog een getal te maken. Bijvoorbeeld: omdat 6 het product is van 1 × 6 en 2 × 3, zijn de factoren van 6 de getallen 1, 2, 3 en 6.
- In plaats van met het getal 900 te rekenen, wat een beetje onhandig is, noteren we dit als 9 × 100. Nu geldt, omdat 9 een perfect vierkant is en gescheiden is van 100, dat we de vierkantswortel ervan kunnen nemen. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Met andere woorden, √(900) = 3√(100).
- We kunnen deze twee stappen zelfs nog verder vereenvoudigen door 100 te verdelen in de factoren 25 en 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Dus kunnen we zeggen dat √(900) = 3(10) = 30.
6
Gebruik denkbeeldige getallen voor de wortels van negatieve getallen. Welk kwadraat is -16? Het is niet 4 of -4 — het kwadrateren van beide geeft 16 (positief). Weet je het niet? In feite is er geen manier om de vierkantswortel van -16 of een ander negatief getal met gewone getallen te schrijven. In deze gevallen moeten we denkbeeldige getallen (meestal in de vorm van letters of symbolen) gebruiken om de vierkantswortel van het negatieve getal te vervangen. De variabele 'i' wordt bijvoorbeeld meestal gebruikt voor de vierkantswortel van -1. Als algemene regel geldt dat de vierkantswortel van een negatief getal altijd een denkbeeldig getal zal zijn (of er één zal bevatten).
- Let op: Hoewel denkbeeldige getallen niet met gewone cijfers kunnen worden weergegeven, kunnen ze nog steeds op vele manieren worden behandeld als gewone getallen. Bijvoorbeeld: de wortels van negatieve getallen kunnen in het kwadraat staan om die negatieve getallen te geven, net als elke andere vierkantswortel. Bijvoorbeeld: i² = -1.
Advertentie

Deel 2

Deel 2 van 3:

Algoritmen voor staartdelingen gebruiken

Pdf downloaden

1
Orden je vierkantswortelprobleem zoals een staartdeling. Hoewel het een beetje tijdrovend kan zijn, is het mogelijk om de wortels van moeilijke onvolmaakte vierkanten uit te rekenen zonder rekenmachine. Om dit te doen, gebruiken we een oplossingsmethode (of algoritme) die vergelijkbaar is met — maar niet precies hetzelfde als — een staartdeling.^[2]XBron
- Noteer eerst de vierkantswortel op dezelfde manier als een staartdeling. Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we de vierkantswortel van 6,45 willen berekenen, wat zeker geen handig perfect vierkant is. Eerst schrijven we een gewoon worteltekensymbool (√), daarna schrijven we het getal eronder. Vervolgens trekken we een lijn boven het getal, zodat het in een klein 'vakje' staat — net als bij een staartdeling. Als we klaar zijn, hebben we een langwerpig '√' met daaronder 6,45 genoteerd.
- We schrijven getallen boven de opgave, dus laat wat ruimte over.
2
Groepeer de cijfers in paren. Om je probleem op te lossen, groepeer je de cijfers van het getal onder het wortelteken in paren, te beginnen bij de komma. Je kunt kleine markeringen (zoals punten, schuine strepen, komma's, etc.) tussen je paren aanbrengen om ze uit elkaar te houden.
- In ons voorbeeld delen we 6,45 op in paren zoals: 6-,45-00. Merk op dat er een 'resterend' cijfer aan de linkerkant staat &mdash dat is de bedoeling.
3
Zoek het grootste getal waarvan het kwadraat kleiner is dan of gelijk aan de eerste 'groep'. Begin met het eerste getal of paar aan de linkerkant. Kies het grootste getal met een kwadraat dat kleiner of gelijk is aan de 'groep'. Bijvoorbeeld, als de groep 37 is, zou je de 6 kiezen, omdat 6² = 36 (kleiner dan 37), maar 7² = 49 (groter dan 37). Schrijf dit nummer boven de eerste groep. Dit is het eerste cijfer van je antwoord.
- In ons voorbeeld is de eerste groep in 6-,45-00 de 6. Het grootste getal dat kleiner is dan of gelijk aan 6², is 2 — 2² = 4. Schrijf een '2' boven de 6 onder het wortelteken.
4
Verdubbel het getal dat je net hebt opgeschreven, schrijf dit onder de eerste groep en trek het af. Neem het eerste cijfer van je antwoord (het getal dat je net gevonden hebt) en verdubbel het. Schrijf dit onder je eerste groep en trek het af om het verschil te vinden. Plaats het volgende paar getallen naast het antwoord eronder. Schrijf tenslotte het laatste cijfer van het dubbele van het eerste cijfer van je antwoord aan de linkerkant, en laat wat ruimte ernaast over.
- In ons voorbeeld beginnen we met het dubbele van 2, het eerste cijfer van ons antwoord. 2 × 2 = 4. Vervolgens trekken we 4 af van 6 (onze eerste 'groep') en krijgen we 2 als antwoord. Vervolgens plaatsen we de volgende groep (45) een regel naar onderen om 245 te krijgen. Tenslotte schrijven we nog eens 4 aan de linkerkant, waarbij we een kleine ruimte overlaten om toe te voegen aan het einde, zoals dit: 4_.
5
Vul de lege ruimte op. Vervolgens is het de bedoeling om aan de rechterkant van het getal dat je naar links hebt afgeschreven een cijfer toe te voegen. Kies een getal dat vermenigvuldigt met je nieuwe getal een zo groot mogelijk product oplevert, maar toch minder dan of gelijk is aan het 'naar beneden gehaalde' getal. Bijvoorbeeld: als je 'naar beneden gehaalde' getal 1700 is en het getal links is 40_, dan vul je het blanco deel in met '404' omdat 404 × 4 = 1616 (kleiner dan 1700), terwijl 405 × 5 = 2025. Het getal dat je in deze stap vindt is het tweede cijfer van je antwoord, zodat je het boven het wortelteken kunt toevoegen.
- In ons voorbeeld zoeken we het getal om de lege plek in 4_ × _ in te vullen; dat maakt het antwoord zo groot mogelijk, maar nog steeds kleiner dan of gelijk aan 245. In dit geval is het antwoord 5. 45 × 5 = 225, terwijl 46 × 6 = 276.
6
Ga door met het gebruik van je 'blanco' getallen voor je antwoord. Ga door met deze aangepaste staartdeling, totdat je nullen krijgt wanneer je het 'naar beneden gehaalde' getal aftrekt, of je de gewenste nauwkeurigheid hebt bereikt. Als je klaar bent, zijn de getallen die je gebruikt hebt om de lege ruimtes bij elke stap te vullen (plus het allereerste getal dat je gebruikt hebt) de cijfers van je antwoord.
- We gaan door met ons voorbeeld en vervolgen met 225 - 245 = 20. Vervolgens brengen we het volgende paar cijfers, 00, naar beneden om 2000 te maken. Verdubbelen we het getal boven het wortelteken, dan krijgen we 25 × 2 = 50. Lossen we de onbekende op in 50_ × _ =/< 2000, dan krijgen we 3 als antwoord. Op dit punt hebben we '253' boven het wortelteken staan — herhalen we dit nogmaals, dan is 9 het volgende cijfer.
7
Verplaats de komma van je oorspronkelijke 'deler' naar boven. Om je antwoord af te ronden, moet je de komma (de decimale punt) op de juiste plaats zetten. Gelukkig is dit eenvoudig — het enige wat je hoeft te doen is hem op één lijn zetten met de komma in je oorspronkelijke getal. Als het getal onder het wortelteken 49,8 is, dan verplaats je de komma omhoog tussen de twee getallen boven de 9 en de 8.
- In ons voorbeeld is het getal onder het wortelteken 6,45, dus schuiven we de komma simpelweg omhoog en plaatsen die tussen de 2 en 5 van ons antwoord, wat ons 2,539 oplevert.
Advertentie

Deel 3

Deel 3 van 3:

Onvolmaakte vierkanten snel schatten

Pdf downloaden

1
Zoek onvolmaakte vierkanten door te schatten. Als je eenmaal je kwadraten hebt onthouden, wordt het vinden van de wortels van onvolmaakte vierkanten veel gemakkelijker. Omdat je al een tiental kwadraten kent, kan elk getal dat tussen twee van deze perfecte kwadraten valt, worden gevonden door tussen deze waarden in te schatten. Om te beginnen zoek je de twee kwadraten waar je getal tussenin valt. Bepaal vervolgens welke van deze twee kwadraten het dichtst bij het getal ligt.
- Stel bijvoorbeeld dat we de vierkantswortel van 40 moeten vinden. Omdat we onze kwadraten hebben onthouden, kunnen we zeggen dat 40 tussen 6² valt en 7², of 36 en 49. Omdat 40 groter is dan 6², is de vierkantswortel groter dan 6, en omdat het kleiner is dan 7², zal de vierkantswortel ervan kleiner dan 7 zijn. Het getal 40 ligt iets dichter bij 36 dan 49, dus zal het antwoord waarschijnlijk iets dichter bij 6 liggen. In de volgende stappen zullen we ons antwoord nauwkeuriger maken.
2
Schat de vierkantswortel tot op één decimaal. Als je eenmaal twee kwadraten hebt uitgekozen waartussen je getal ligt, is het gewoon een kwestie van blijven schatten tot je een antwoord hebt gevonden waar je tevreden mee bent. Hoe verder je gaat, hoe nauwkeuriger je antwoord is. Om te beginnen kies je een tiental voor je antwoord — het hoeft niet correct te zijn, maar je bespaart tijd als je je gezond verstand gebruikt door een getal te kiezen dat dichtbij het juiste antwoord ligt.
- In ons voorbeeldprobleem is een redelijke schatting voor de vierkantswortel van 40 misschien 6,4, omdat we door het bovenstaande weten dat het antwoord waarschijnlijk iets dichter bij 6 dan bij 7 ligt.
3
Vermenigvuldig de schatting met zichzelf. Vervolgens kwadrateer je de schatting. Tenzij je geluk hebt, krijg je waarschijnlijk niet je oorspronkelijke getal — je zult ofwel iets hoger of lager uitkomen. Als je antwoord te hoog is, probeer het dan opnieuw met een iets kleinere schatting (en vice versa als het te laag is).
- Vermenigvuldig 6,4 met zichzelf, dus 6,4 × 6,4 = 40,96, wat iets groter is dan het oorspronkelijke getal.
- Vervolgens vermenigvuldigen we het getal met een tiende kleiner dan onze schatting hierboven (omdat ons antwoord te hoog is uitgevallen), en krijgen we 6,3 × 6,3 = 39,69. Dit is iets lager dan ons oorspronkelijke getal. Dit betekent dat de vierkantswortel van 40 ergens tussen de 6,3 en 6,4 ligt. Bovendien weet je, omdat 39,69 dichter bij 40 ligt dan 40,96, dat de vierkantswortel dichter bij 6,3 ligt dan bij 6,4.
4
Ga zo nodig door met schatten. Ben je tevreden met je antwoorden, dan wil je misschien gewoon een van je eerste schattingen gebruiken. Als je echter een nauwkeuriger antwoord wilt, hoef je alleen maar een schatting voor je 'honderdste' te kiezen waardoor deze schatting tussen je eerste twee komt te liggen. Ga je door met dit patroon, dan kun je een antwoord in drie, vier of meer decimalen krijgen — het hangt er gewoon van af hoe ver je wilt gaan.
- Laten we in ons voorbeeld 6,33 kiezen voor onze schatting in twee decimalen. Kwadrateer 6,33 en je krijgt 6,33 × 6,33 = 40,0689. Omdat dit iets boven ons oorspronkelijke getal ligt, zullen we een iets lager getal proberen, zoals 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Dit ligt iets onder ons oorspronkelijke getal, dus we weten dat de exacte vierkantswortel tussen 6,33 en 6,32 ligt. Als we verder zouden willen gaan, kunnen we dezelfde benadering blijven gebruiken om een antwoord te krijgen dat steeds nauwkeuriger is.
Advertentie

Tips

Gebruik voor snelle oplossingen een rekenmachine. De meeste moderne rekenmachines kunnen direct wortels uitrekenen. Meestal hoeft je alleen maar je getal in te voeren en vervolgens op de knop met het wortelteken van de tweede macht (de vierkantswortel) te drukken. Om bijvoorbeeld de vierkantswortel van 841 te vinden, druk je op de volgende toetsen: 8, 4, 1, (√) en levert dit als het goed is 29 op als antwoord.

Advertentie