因数分解する方法

整数の因数とは、積がその整数になる数のことを意味しています。あらゆる整数は複数の因数で構成されていると考えると分かりやすいかもしれません。因数分解を行うとは、一つの整数を、それぞれの構成要素に分解することを意味していて、数学の基本としてだけでなく、代数や微分積分の問題を解く上で欠かすことができません。ステップ1から順に因数分解の方法を身につけましょう。

方法 1

方法 1 の 2:

基本的な整数を因数分解する

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整数を書き出す　まず分解する対象となる数が必要となります。本来はどのような数でも問題はありませんが、ここでは分かりやすい整数を用いて問題を解いてみましょう。整数とは、分数や小数点が含まれていない数を意味しています。正負の符号を伴っていても整数です。^{[1]X出典文献}
- ここでは12を例として考えてみましょう。紙に「12」と書き出しましょう。
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席が元の整数となる数の組み合わせを見つける　あらゆる整数は2つの異なる整数の積として書き直すことができます。素数も、その数自体と1の積になります。1つの数を2つの因数の積として捉えるには、発想を逆にする必要があります。つまり、「何を掛ければこの数字になるだろうか」というように考えてみましょう。
- 例えば12にも複数の因数が存在します。12 × 1、6 × 2、 3 × 4 が全て12になります。つまり12の因数は、1、2、3、4、6、そして12となります。
- 偶数の場合は、因数に常に2が含まれているので特に理解しやすいでしょう。例えば、4は2×2、26は13×2が含まれます。
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因数をさらに分解することができないか考える　数の多くは（大きなものは特に）何度も因数分解を行うことができます。2つの因数を見つけることができたら、それぞれがさらに分解できることも多々あります。必要に応じて、さらに分解してみましょう。
- 例えば、12は 2×6 というように因数分解することができました。その中の6もまた、3×2 にというように因数分解が可能です。つまり、 12 = 2 × (3 × 2) と書き直すことができます。
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素数に到達するまで因数分解を続ける　素数とは1より大きい整数で、1と、その数自体でしか割り切れない数を意味しています。例えば、2、3、5、7、11、13、17はすべて素数です。残っている数が素数になるまで因数分解をしたら、それ以上続ける必要はありません。その数字自体に1を掛けても、あまり意味を持たないので、ここで止めましょう。
- 例題では、12を 2 × (2 × 3)、 2、 2、そして3に因数分解しました。これらはすべて素数です。これ以上因数分解をしようとすると (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)) となりますが、あまり役に立たないので行う必要はありません。
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負の数も同様に因数分解する　負の数もまた、正の数と全く同じ方法で因数分解を行うことができます。唯一の違いは、元の数の負の性質を失わないようにするために、奇数の負の記号をつける必要があるという点です。^{[2]X出典文献}
- 例として、‐60の因数分解を見てみましょう。
  - -60 = -10 × 6
  - -60 = (-5 × 2) × 6
  - -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
  - -60 = -5 × 2 × 3 × 2となります。この時、1回でなくとも奇数の負の記号が付け加えられていれば同じ積になります。つまり、-5 × 2 × -3 × -2も-60です。
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方法 2

方法 2 の 2:

大きな数を因数分解する

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2列の表を作り上部に因数分解をする数字を書き出す　小さな整数は比較的簡単に因数分解を行うことができるものの、数が大きくなると、ややこしくなります。4～5桁の数を暗算で素数まで因数分解しようとすると、四苦八苦する人は少なくありません。そこで、表を使いながら、より分かりやすく計算を行いましょう。縦2列のアルファベットのTのような表を作り因数分解する数字を表の上に書き出しましょう。この表にどんどん因数を書き加えていきます。^{[3]X出典文献}
- 例として 6,552を因数分解してみましょう。
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可能な限り最も小さな素数で元の数を割る　元の数字を可能な限り最も小さな素数（1を除く）で余りのないように割りましょう。左側の列に素数を、右の列に割った結果を書きましょう。既に説明したように、偶数は常に2という最も小さな素数を用いることができるため、因数分解も比較的楽に行えるでしょう。その一方で、奇数の場合は都度変わります。
- 6,552という例を用いると、まず最も小さな素数は2であることが分かっているので、6,552 ÷ 2 = 3,276 となります。左の列に 2、さらに右の列に3,276と書き込みましょう。
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同じ方法で因数分解を続ける　次は、元の数ではなく右の列に書き込んだ数を、最も小さな素数で因数分解します。用いた素因数を左側の列に、そして新たな解を右側の列に書き込みましょう。この手順を続けます。続けるごと右側の列の数が小さくなっていることに気がつくでしょう。
- 3,276 ÷ 2 = 1,638 から因数分解を続けましょう。表の左側に 2、そして右側に 1,638と書き加えます。さらに、 1,638 ÷ 2 = 819 なので、同様に2 と 819 を下の段に付け足しましょう。
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奇数には小さな素因数を試す　奇数は偶数と異なり、自動的に2が最も小さな素因数とはならないので、因数分解も少し難しくなります。奇数を与えられた場合は、2以外の小さな素数（3、5、7、11など）から、余りなく割る事の出来る因数を探しましょう。これが、その数の最も小さな素因数となります。^{[4]X出典文献}
- 6,552という例題では、因数分解を続けた結果819という数にたどり着きました。これは奇数なので、2は因数ではありません。そこで、2の次の素数、つまり3を試してみましょう。819 ÷ 3 = 273 となり余りも残しません。 3 と273を表に描き加えましょう。
- 因数を探す時は、あらゆる素数、さらに考えうる中で最も大きな因数の平方根まで試してみめあしょう。ここまで試しても均等に分割できない場合は素数を因数分解しようとしている可能性があり、その時はここで因数分解は完了となります。
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1になるまで続ける　表の右側の列の数が素数になるまで最小の素因数で割り続けましょう。最後に、右側の列の数をそれ自体で割ります。そして左側の列の数が1となります。
- 例として用いた6,552の因数分解を完了させましょう。下記を参考に試してみましょう。
  - 再び3で割りましょう。 273 ÷ 3 = 91で余りはありません。左側に3、右側に91と書き込みます。
  - さらに91の因数分解を行いましょう。3が因数に含まれていません。同様に5でも上手く分解することができませんが、7であれば可能です。91 ÷ 7 = 13となり余りもありません。表に7そして13と書き込みましょう。
  - もう一度7を因数として用いられないか考えてみましょう。13は7あるいはその次の素数11で因数分解することができませんが、それ自体であれば可能です。13 ÷ 13 = 1 となります。つまり、左側に13 右側に1と書き込み、因数分解は終了です。
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表の左側に書き込まれた数を元の数の因数として用いる　表の右側が1になったら完了です。左側の列に書き出された数が因数となります。つまり、これらの因数を全て掛けると表の一番上に書き出しておいた元の数になるはずです。同じ因数が複数回用いられている場合は、単純に累乗すると書く手間が省けるでしょう。例えば、2が4回用いられた時は、 2 × 2 × 2 × 2 の代わりに 2⁴ と書くことができます。
- 6,552の場合は 2³ × 3² × 7 × 13となります。これが6,552を素因数分解した結果となります。因数をどの順序で掛けても6,552という数は変わりません。
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ポイント

2、3、5、7、11、13、17、19、23が最も小さな素数となります。
数によっては、他の手法を用いたほうが、より早く因数分解を行える場合もありますが、ここで紹介した方法はどのような場合にも用いることができるだけでなく、完了した際に素因数が小さなものから順に並んでいます。
この記事でば、いわゆる自然数（1，2，3，4，5と数えられる数）のみを取り扱っているという点を忘れないようにしましょう。負の数や分数（それだけで独自の記事が成立します）は含まれていません。
数の和が3の倍数になる場合は、3が因数となります。（例えば 819 は 8+1+9 = 18, 1+8 =9 と考えることができます。3は9の倍数なので、819の因数となります。)
素数を正しく理解しておくことも大切です。素数には因数が2つしかありません。その数自体と1です。例えば、3は1と3という因数しかないため素数ということになります。その一方で、4は、2という因数が含まれます。素数でない数は合成数と呼ばれています。（ただし、1は例外で、素数でも合成数でもない特殊な数とされています。）
ある数で、より大きな数を割り切ることができる時、それは因数です。つまり、大きい方の数を小さい方の数で割ると、余りが出ないという状態を意味しています。例えば6は24を割り切ることができるので（24 ÷ 6）24の因数ということになります。その一方で、25の因数ではありません。