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이 글은 공동 작성자 Grace Imson, MA. 그레이스 임슨은 40년 이상 경력의 수학강사다. 현재 샌프란시스코 시티칼리지에서 수학강사로 재직 중이며 이전에는 세인트루이스대학교 수학과에서 근무했다. 초등학교, 중학교, 고등학교, 대학교 수학 과목을 가르친 경험이 있는 그녀는 세인트루이스대학교에서 교육학 석사학위를 받았다.
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모든 직각 삼각형은 직각(90도)이 하나가 있고, 빗변은 직각 반대쪽이나 직각 삼각형의 가장 긴 부분이다.[1] 빗변은 삼각형의 가장 긴 변으로, 몇 가지 방법으로 쉽게 알아낼 수 있다. 이 글에서는 삼각형 나머지 두 변의 길이를 알 때, 피타고라스 정리를 이용해서 빗변의 길이를 알아내는 방법에 대해 설명한다. 그리고 시험에 종종 나오는 특수한 직각 삼각형의 빗변을 알아내는 방법에 대해서도 설명한다. 마지막으로, 한 변의 길이를 알고 각도 하나의 값을 알 때, 사인 법칙을 이용해 빗변의 길이를 구하는 방법을 알아본다.
단계
삼각형이 직각 삼각형인지 확인한다. 피타고라스 정리는 직각 삼각형에만 들어맞으며, 정의에 따르면 직각 삼각형만이 빗변을 가질 수 있다. 삼각형에 정확히 90도인 각이 있다면, 그건 직각 삼각형이기 때문에 계속 하면 된다.- 교재나 시험에서 직각은 각도 구석에 작은 네모로 표시된 경우가 많다. 이 표시는 "90도" 라는 의미이다.
변수 a,b,c를 삼각형 변에 할당한다. 변수 "c"는 빗변이나 가장 긴 변에 할당되어야 한다. 다른 변 중 하나를 "a", 나머지 변을 "b"라고 정한다.(어느 걸 a,b로 할지는 중요하지 않다. 결과는 똑같다). 그리고 a,b 길이의 값을 다음 예시에 따라 공식에 넣는다:- 삼각형 변의 길이가 각각 3과 4이고, 이에 a = 3, b = 4라고 정했다면 다음과 같이 등식을 써야 한다.: 32 + 42 = c2.
a,b의 제곱을 구한다. 수의 제곱을 구하려면 그 수를 곱하면 된다. 그래서 a2 = a x a 가 된다. a,b의 제곱을 구하려면, 공식에 대입한다.- 만약 a = 3이라면, a2 = 3 x 3, 또는 9이다. 만약 b = 4라면, b2 = 4 x 4, 또는 16 이다.
- 값을 등식에 대입했을 때 다음과 같이 된다: 9 + 16 = c2.
전문가 팁그레이스 임슨은 40년 이상 경력의 수학강사다. 현재 샌프란시스코 시티칼리지에서 수학강사로 재직 중이며 이전에는 세인트루이스대학교 수학과에서 근무했다. 초등학교, 중학교, 고등학교, 대학교 수학 과목을 가르친 경험이 있는 그녀는 세인트루이스대학교에서 교육학 석사학위를 받았다.샌프란시스코 시티컬리지 수학강사
Grace Imson, MA
샌프란시스코 시티컬리지 수학강사'사람들이 하는 흔한 한 가지 실수는 제곱처리를 하지 않는 것입니다. 피타고라스 정리에서, 모든 항은 제곱을 해야 합니다. 많은 사람들이 빨리 풀다가 제곱을 하지 않고 'a' 와 'b'의 합을 구합니다. 이는 틀린 답이죠.
a2 와 b2 값을 더한다. 이를 등식에 넣으면 c2의 값이 나온다. 이제 한 가지 단계만 하면 빗변이 값을 구할 수 있다!- 예를 들어, 9 + 16 = 25 면, 25 = c2 이 돼야 한다.
c2의 제곱근을 찾는다. 계산기의 제곱근 기능을 이용하여(아니면 구구단을 외웠던 기억을 이용해서) c2의 제곱근을 구한다. 그 답이 바로 빗변의 길이다!- 예를 들어, c2 = 25 면, 25의 제곱근은 5 (5 x 5 = 25, 그래서 √25 = 5)이다. 즉, c = 5가 빗변의 길이다!
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피타고라스 삼조를 배운다. 피타고라스 삼조의 변 길이는 피타고라스 정리와 일치하는 정수이다. 이 특수한 삼각형은 기하학 교재나 수능시험에 자주 등장한다. 특히 처음에 나오는 2개의 피타고라스 삼조를 외운다면, 시험에서 시간을 많이 아낄 수 있다. 변의 길이만 보고 빗변을 바로 알 수 있기 때문이다. [4]- 처음 피타고라스 삼조는 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25)이다. 변의 길이가 3,4인 직각 삼각형을 보면 계산하지 않고 빗변이 5라는 걸 확실하게 바로 알 수 있다.
- 피타고라스 삼조의 비율은 변에 다른 수를 곱해도 참이다. 예를 들어, 변이 6, 8 인 직각 삼각형의 빗변은 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100)이다. 9-12-15도 참이고, 1.5-2-2.5도 참이다. 다른 수를 더해서 확인해본다!
- 시험에서 자주 등장하는 두 번째 피타고라스 삼조는 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169)이다. 비율로 더해서 나오는 값 10-24-26, 2.5-6-6.5도 참이라는 걸 알아두자!
45-45-90 직각 삼각형의 변의 비율을 외운다. 45-45-90 직각 삼각형은 각도가 45, 45, 90도 이며, 직각 이등변 삼각형이라고도 불린다. 이는 시험에서 자주 나오는데, 풀기 아주 쉬운 삼각형이다. 삼각형 변의 비율은 1:1:√2인데, 즉, 양변은 값이 같고, 빗변 길이는 변에 제곱근 2를 곱한 값이다.- 한 변의 길이로 이 삼각형의 빗변을 계산하려면, 변 길이에 √2를 곱하면 된다.
- 특히 시험이나 숙제에서 변의 값이 정수가 아니라 변수라면, 이 비율을 유용하게 쓸 수 있다.
30-60-90 직각 삼각형의 변의 비율을 배운다. 이 삼각형은 각도가 30, 60, 90도이며, 정삼각형을 반으로 나누면 생기는 삼각형이다. 30-60-90 직각 삼각형의 변의 비율은 항상 1:√3:2, or x:√3x:2x 이다. 30-60-90 직각 삼각형의 변 하나를 알고 있는 상태에서 빗변을 구해야 한다면 쉽게 할 수 있다:[5]- 가장 짧은 변의 길이가 제시됐다면 (30도의 반대편), 변에 2를 곱해서 빗변을 구하면 된다. 예를 들어 가장 짧은 변의 길이가 4라면, 빗변은 8이 돼야 한다.
- 가장 긴 변의 길이가 제시됐다면(60도의 반대편), 변에 2/√3 을 곱해서 빗변의 길이를 구할 수 있다. 예를 들어, 긴 변의 길이가 4라면, 빗변은 4.62가 된다.
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"사인"의 의미를 이해한다. "사인", "코사인", "탄젠트" 라는 용어는 모두 직각 삼각형의 변과 각도의 관계를 일컫는 용어이다. 직각 삼각형에서, 한 각도의 사인은 그 각의 반대편의 변 길이를 삼각형의 빗변으로 나눈 값으로 정의된다. 방정식과 계산기에서 사인은 sin으로 표시된다.[6]
사인을 계산하는 방법을 배운다. 기본 과학 계산기에도 사인 기능이 들어가 있다. sin이라고 표시된 걸 찾는다. 각도의 사인을 구하려면, sin 키를 누르고 각도를 입력하면 된다. 하지만 어떤 계산기에는 먼저 각도를 입력하고 sin 키를 눌러야 한다. 계산기로 계산해보거나 설명서를 보고 어떤 방법이 맞는지 확인한다.- 80도 각도의 사인을 구하려면 sin 80 를 입력하고 등호를 누르거나 엔터키를 누르거나 80 sin 으로 입력해야 한다(답은 -0.9939이다)
- 웹 검색에 "사인 검색기"를 검색해서 쉽게 사용할 수 있는 계산기를 찾아도 된다. [7]
사인법칙을 배운다. 사인법칙은 삼각형 문제를 푸는 데 유용한 도구다. 특히 한 변의 길이를 알고, 직각 외에 다른 각도를 하나 더 아는 경우, 직각 삼각형의 빗변을 구하는 데 도움이 된다. a, b, c 이고, 각도가 A, B, C 인 모든 삼각형의 사인 법칙은 다음과 같다. a / sin A = b / sin B = c / sin C.[8]- 사인법칙은 실제로 "모든" 삼각형의 빗변을 구할 수 있지만, 직각 삼각형만 빗변을 가진다.
변수 a, b, c 를 삼각형 변에 할당한다. 빗변(가장 긴 변)은 "c" 가 돼야 한다. 간단하게 표현하려면, 변 하나를 "a," 나머지 변을 "b"로 한다. 그리고 A, B, C 를 각도에 할당한다. 빗변의 맞은편에 있는 직각은 "C"가 된다. "a" 맞은편의 각도는 "A," "b" 맞은편의 각도는 "B"가 된다.
세 번째 각도를 계산한다. 직각이기 때문에 C = 90 도 라는 걸 이미 알고, A 또는 B도 알고 있다. 삼각형 내의 각도는 항상 180도로 동일해야 하기 때문에, 다음 공식을 따라서 나머지 각도를 쉽게 구할 수 있다: 180 – (90 + A) = B. 180 – (90 + B) = A로 방정식을 바꿀 수도 있다.- 예를 들어, A = 40 도 라는 걸 알고 있다면, B = 180 – (90 + 40) 이다. 그러면 B = 180 – 130 이고, B = 50 도가 된다.
삼각형을 확인한다. 이제 모든 각도와 a 변을 알고 있다. 그러면 사인법칙 방정식에 이 정보들을 대입해서 다른 두 변의 길이를 구하면 된다.- 예를 들면, 변이 a = 10. 각도 C = 90 도, 각도 A = 40 도, 각도 B = 50 도라고 해보자.
삼각형에 사인법칙을 쓴다. 빗변 c의 길이를 구하기 위해 다음 방정식에 숫자를 넣어 풀기만 하면 된다: 변 a의 길이 / sin A = 변 c의 길이 / sin C. 복잡하게 보일 수 있지만 90도의 사인은 상수이고 항상 1이 된다. 그러면 방정식이 다음과 같이 간단해진다: a / sin A = c / 1, 아니면 a / sin A = c.
a 변의 길이를 각도 A의 사인으로 나눠서 빗변을 구한다. 2단계로 나눠서 할 수 있는데, 첫번째는 sin A 를 구하고 적은 다음 a로 나누는 것이다. 아니면 계산기에 동시에 입력할 수도 있다. 계산기에 입력한다면, 나누기 표시 다음에 괄호를 입력하는 걸 까먹지 않는다. 예를 들면, 계산기에 맞게 10 / (sin 40) 또는 10 / (40 sin)을 입력한다.- 예시에서 우리는 sin 40 = 0.64278761 이라는 걸 알았다. c 값을 구하려면, 이 수로 변 길이를 나눠서, 10 / 0.64278761 = 15.6 라는 빗변의 길이를 구할 수 있다!
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출처
- ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/hypotenuse.html
- ↑ http://mathematica.ludibunda.ch/pythagoras6.html
- ↑ https://www.wikihow.com/Use-the-Pythagorean-Theorem
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/working-with-pythagorean-triple-triangles.html
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/identifying-the-30-60-90-degree-triangle.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/sine.html
- ↑ http://www.rapidtables.com/calc/math/Sin_Calculator.htm
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-sine-law.html
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샌프란시스코 시티컬리지 수학강사
이 글은 공동 작성자 Grace Imson, MA. 그레이스 임슨은 40년 이상 경력의 수학강사다. 현재 샌프란시스코 시티칼리지에서 수학강사로 재직 중이며 이전에는 세인트루이스대학교 수학과에서 근무했다. 초등학교, 중학교, 고등학교, 대학교 수학 과목을 가르친 경험이 있는 그녀는 세인트루이스대학교에서 교육학 석사학위를 받았다. 조회수 86,607회
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