Cómo usar el teorema de pitágoras

El teorema de Pitágoras describe las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo de una forma tan elegante y práctica que el teorema aún se utiliza ampliamente en nuestros días. El teorema nos dice que para cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los lados diferentes a la hipotenusa es igual al cuadrado de la hipotenusa. En otras palabras, para un triángulo rectángulo con lados perpendiculares de longitud a y b con una hipotenusa de longitud c, a² + b² = c². El teorema de Pitágoras es uno de los pilares fundamentales de la geometría básica, tiene innumerables aplicaciones prácticas, por ejemplo, utilizando el teorema es fácil hallar la distancia entre dos puntos sobre un plano de coordenadas.

Método 1

Método 1 de 2:

Encuentra los lados de un triángulo rectángulo

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Asegúrate de que el triángulo sea un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras solo es aplicable a triángulos rectángulos, por lo que antes de seguir, es importante que te asegures de que el triángulo con el que trabajas encaja en la definición de triángulo rectángulo. Por suerte, solo hay un factor de clasificación para medir un triángulo rectángulo y este es que el triángulo debe tener un ángulo exacto de 90° grados.
- Los ángulos rectos frecuentemente se marcan con un pequeño cuadrado en lugar de una curva, para identificarlos como tales. Busca esta marca especial en la esquina del triángulo.
En el teorema de Pitágoras, las variables a y b se refieren a los lados que se tocan en el ángulo recto, mientras que la variable c se refiere a la hipotenusa, el lado más largo opuesto al ángulo recto. Para empezar, asigna a los lados más cortos del triángulo las variables a y b (no importa en cuál lado siempre que sean los más cortos), y asigna a la hipotenusa la variable c.
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Determina cuál lado(s) del triángulo vas a resolver. El teorema de Pitágoras permite a los matemáticos encontrar la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo siempre que se sepa las longitudes de los otros dos lados. Determina cuál de los lados tiene un longitud desconocida, a, b o c. Si desconoces la longitud de un solo lado, estás listo para proceder.
- Supongamos, por ejemplo, que sabemos que la hipotenusa tiene una longitud de 5 y uno de los lados tiene una longitud de 3, pero no sabemos cuál es la longitud del tercer lado. En este caso, sabemos que queremos hallar la longitud del tercer lado y como sabemos la longitud de los dos lados restantes, estamos listos para resolverlo. Utilizaremos este problema en los próximos pasos.
- Si desconoces la longitud de dos de los lados, necesitas determinar la longitud de un lado más para utilizar el teorema de Pitágoras. Las funciones trigonométricas básicas te pueden ayudar si conoces un lado de los ángulos no rectos del triángulo.
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Reemplaza los dos valores conocidos en la ecuación. Inserta los valores de las longitudes de los lados del triángulo en la ecuación a² + b² = c². Recuerda que a y b son los lados más cortos que se conectan en el ángulo recto, mientras que c es la hipotenusa.
- En nuestro ejemplo, conocemos la longitud de uno de los lados y la hipotenusa (3 y 5), entonces escribimos la ecuación de la siguiente forma 3² + b² = 5².
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Calcula los cuadrados. Para resolver la ecuación, toma el cuadrado de cada uno de los lados conocidos. Otra alternativa (si lo encuentras más fácil), es dejar la longitud de los cuadrados en su forma exponencial y elevarlas al cuadrado después.
- En nuestro ejemplo, tomamos el cuadrado de 3 y 5 para obtener 9 y 25, respectivamente. Podemos reescribir la ecuación como 9 + b² = 25.
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Despeja la variable desconocida. Si es necesario, utiliza las operaciones de algebra básica para dejar la variable desconocida a un lado del signo de igual y los dos cuadrados al otro lado del signo. Si vas a hallar la hipotenusa, c ya estará a un lado del signo de igual, por lo que no tienes que despejarla.
- En nuestro ejemplo, la ecuación es 9 + b² = 25. Para despejar b&sup2, restemos 9 a ambos lados de la ecuación. Estos nos deja con b² = 16.
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Saca raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación. Ahora te debería quedar de un lado de la ecuación una variable elevada al cuadrado y un número al otro lado. Simplemente saca raíz cuadrada a ambos lados para hallar la longitud del lado desconocido.
- En nuestro ejemplo, b² = 16, sacando raíz cuadrada a ambos lados obtenemos que b = 4. Por lo tanto, podemos decir que la longitud del lado desconocido del triángulo es 4.
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Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar los lados de triángulos del mundo real. La razón por la cual el teorema de Pitágoras es tan ampliamente utilizado es porque es aplicable en un sin número de situaciones prácticas. Aprender a reconocer los triángulos rectos en la vida real, en cualquier situación donde dos objetos o líneas rectas se encuentren en un ángulo recto y una tercera línea u objeto se extienda diagonalmente a través del ángulo recto, puedes utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de uno de los lados, dada la longitud de los dos lados restantes.
- Probemos con un ejemplo del mundo real que es un poco más difícil. Una escalera se encuentra inclinada contra un edificio. La base de la escalera es 5 metros desde la parte inferior de la pared. La escalera alcanza los 20 metros de la pared del edificio. ¿Qué tan larga es la escalera?
  - "5 metros desde la parte inferior de la pared" y "20 metros de la pared del edificio" son pistas de las longitudes de los lados del triángulo. Ya que la longitud de la pared y el suelo (presumiblemente) se encuentran en un ángulo recto y la escalera se inclina de forma diagonal contra la pared, podemos imaginarnos la situación como un ángulo recto con lados de una longitud de a = 5 y b = 20. La longitud de la escalera es la hipotenusa, así que c es desconocida. Apliquemos el teorema de Pitágoras:
    - a² + b² = c²
    - (5)² + (20)² = c²
    - 25 + 400 = c²
    - 425 = c²
    - sqrt(425) = c
    - c = 20,6. La longitud aproximada de la escalera es de 20,6 metros.
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Método 2

Método 2 de 2:

Calcula la distancia entre dos puntos en un plano bidimensional

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Define los dos puntos en el plano. El teorema de Pitágoras se puede utilizar fácilmente para calcular la distancia de la línea recta que uno dos puntos en un plano bidimensional. Todo lo que necesitas saber son las longitudes de las coordenadas x, y, de dos puntos cualquiera. Normalmente, estas coordenadas se escriben como pares ordenados de la forma (x, y).
- Para encontrar la distancia entre estos dos puntos, utilizamos cada punto como una de las esquinas sin ángulo rectángulo del triángulo. Al hacerlo, es más fácil hallar la longitud de los lados a y b, luego calcular c (la hipotenusa), la cual es la distancia entre los dos puntos.
En una plano bidimensional normal, para cada punto (x, y), x es un coordenada sobre el eje horizontal mientras que y es una coordenada en el eje vertical. Puedes hallar la distancia entre los dos puntos sin necesidad de hacer la gráfica, pero al hacerla obtienes un referente visual que puedes utilizar para asegurarte de que la respuesta tenga sentido.
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Halla las longitudes de los lados diferentes a la hipotenusa (lado a y b) del triángulo. Utilizando los dos puntos como las esquinas del triángulo adyacentes a la hipotenusa, encuentra las longitudes de los lados a y b del triángulo. Puedes hacerlo visualmente en la gráfica o también puedes utilizar las fórmulas |x₁ - x₂| para el lado horizontal y |y₁ - y₂| para el lado vertical, donde (x₁,y₁) es el primer punto y (x₂,y₂) es el segundo.
- Supongamos que los dos puntos son (6, 1) y (3, 5). La longitud del lado horizontal del triángulo es igual a:
  - |x₁ - x₂|
  - |3 - 6|
  - | -3 | = 3
- La longitud del lado vertical es igual a:
  - |y₁ - y₂|
  - |1 - 5|
  - | -4 | = 4
- Entonces, podemos decir que en nuestro triángulo rectángulo, el lado a = 3 y el lado b = 4.
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Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa. La distancia entre los dos puntos es la hipotenusa del triángulo cuyos lados acabas de definir. Aplica el teorema de Pitágoras como lo harías normalmente para hallar la hipotenusa, utilizando a como la longitud del primer lado y b como la longitud del segundo.
- En nuestro ejemplo utilizando los puntos (3, 5) y (6, 1), las longitudes de los lados son 3 y 4, entonces para hallar la hipotenusa hacemos lo siguiente:
  - (3)²+(4)²= c²
    c= sqrt(9+16)
    c= sqrt(25)
    c= 5. La distancia entre (3, 5) y (6, 1) es 5.
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Consejos

La hipotenusa siempre es:
- La línea recta a lo largo del triángulo rectángulo (que no toca el ángulo recto)
- El lado más largo del triángulo rectángulo
- El valor que se reemplaza en c en el teorema de Pitágoras
Si el triángulo no es un triángulo rectángulo, necesitas más información que solo la longitud de dos de sus lados.
sqrt(x) significa "raíz cuadrada de x" (se escribe así por su denominación en inglés "square root").
Recuerda revisar siempre tu trabajo. Si la respuesta parece incorrecta, regresa e inténtalo de nuevo.
Otro truco, el lado más largo se encuentra opuesto al ángulo más grande y el lado más corto se encuentra opuesto al ángulo más pequeño.
Los diagramas son la clave para asignar correctamente los valores de a, b y c. Si trabajas un ejercicio de aplicación, asegúrate de incluir todos los valores en un diagrama.
Si solo tienes la longitud de un lado, el teorema de Pitágoras no funcionará. Intenta utilizar la trigonometría (sin, cos, tan) o las proporciones 30 - 60 - 90 o 45 - 45 - 90 para resolver el problema.

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