Cómo utilizar el ángulo recto en trigonometría

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En este artículo:

Usar funciones trigonométricas para medir distancias

Usar funciones inversas para calcular ángulos

Definir las funciones básicas

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Referencias

La trigonometría de ángulos rectos es útil al lidiar con triángulos y constituye una parte fundamental de la trigonometría en general. Si usas las proporciones que surgen del ángulo recto y comprendes la aplicación de la circunferencia goniométrica, puedes resolver una amplia variedad de problemas que involucran ángulos y longitudes. Debes desarrollar un sistema en el que modelas un problema usando un triángulo recto y luego eliges la mejor relación trigonométrica para resolverlo.

Pasos

Método 1

Método 1 de 3:

Usar funciones trigonométricas para medir distancias

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   Dispón el modelo de un triángulo rectángulo. Puedes usar funciones trigonométricas para modelar situaciones del mundo real que involucren longitudes y ángulos. Como primer paso, debes definir la situación con el modelo de un triángulo rectángulo.

   • Por ejemplo, imagina que tienes el siguiente problema:
     • Estás trepando por una colina. Sabes que la cima se encuentra a 500 metros por encima de la base y que el ángulo de subida es de 15 grados. ¿Cuánto debes caminar para llegar a la cima?
     • Haz un bosquejo de un triángulo rectángulo y etiqueta las partes. El cateto vertical es la altura de la colina. El extremo superior de ese cateto representa la cima de la colina. El cateto en ángulo del triángulo (la hipotenusa) es el camino por el que trepas.
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   Identifica las partes que conozcas del triángulo. Una vez que tengas el bosquejo y hayas etiquetado sus partes, es necesario que asignes los valores que conozcas.

   • En el problema de la colina, se te informa que la altura vertical es de 500 metros. Marca el cateto vertical del triángulo como "500 m".
   • Sabes que el ángulo de subida es de 15 grados. Este constituye el ángulo entre la base (el cateto inferior) del triángulo y la hipotenusa.
   • Se te pide que encuentres la distancia de la subida; es decir, la longitud de la hipotenusa del triángulo. Marca esta incógnita como $x$.
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   Dispón una ecuación trigonométrica. Repasa la información que conozcas y la que intentes averiguar y elige la función trigonométrica que las vincule. Por ejemplo, la función del seno vincula un ángulo, el cateto opuesto y la hipotenusa. La función del coseno vincula un ángulo, el cateto adyacente y la hipotenusa. La función de la tangente vincula ambos catetos sin la hipotenusa.

   • En el problema de la subida a la colina, debes reconocer que conoces el ángulo base y la altura vertical del triángulo. Por ello, deberías saber que usarás la función del seno. Dispón el problema de la siguiente forma:
   • $\sin \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}$
   • $\sin 15={\frac {500}{\text{hipotenusa}}}$
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   Encuentra el valor desconocido. Mediante la manipulación algebraica básica, reorganiza la ecuación para encontrar el valor desconocido. Luego, usarás una tabla de valores trigonométricos o bien una calculadora para encontrar el valor del seno del ángulo que conozcas.

   • Puedes encontrar la longitud de la subida a la colina resolviendo la ecuación para encontrar la longitud de la hipotenusa.
     • $\sin 15={\frac {500}{\text{hipotenusa}}}$
     • ${\text{hipotenusa}}={\frac {500}{\sin 15}}$
     • ${\text{hipotenusa}}={\frac {500}{0,259}}$
     • ${\text{hipotenusa}}=1930$
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   Interpreta y reporta el resultado. Con cualquier problema verbal, la solución no termina con obtener una respuesta numérica. Es necesario que reportes tu respuesta en términos que tengan sentido para el problema con las unidades adecuadas.

   • En el caso del problema de la colina, la solución de 1930 implica que la longitud de la subida es de 1930 metros.
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   Resuelve otro problema para practicar. Considera un problema más, dispón un diagrama y luego resuelve para encontrar la longitud desconocida.

   • Lee el problema. Imagina que un lecho de carbón debajo de tu propiedad se encuentra en un ángulo de 12 grados y sale a la superficie a 6 km de distancia. ¿A cuánta profundidad tienes que excavar en línea recta hacia abajo para llegar al carbón debajo de tu propiedad?
   • Dispón un diagrama. En realidad, este problema presenta un triángulo rectángulo invertido. La base horizontal representa el nivel del suelo. El cateto vertical representa la profundidad debajo de tu propiedad y la hipotenusa es el ángulo de 12 grados que se inclina hacia abajo hasta el lecho de carbón.
   • Etiqueta los valores conocidos y desconocidos. Sabes que el cateto horizontal es de 6 km (3,7 millas) y la medida del ángulo es de 12 grados. Debes encontrar la longitud del cateto vertical.
   • Dispón una ecuación trigonométrica. En este caso, el valor desconocido que quieres encontrar es el cateto vertical, y ya conoces el cateto horizontal. La función trigonométrica que emplea dos catetos es la tangente.
     • $\tan \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}$
     • $\tan 12={\frac {\text{opuesto}}{6}}$
   • Encuentra el valor desconocido.
     • ${\text{opuesto}}=\tan 12*6$
     • ${\text{opuesto}}=0,213*6$
     • ${\text{opuesto}}=1,278$
   • Interpreta el resultado. En este problema, las longitudes se encuentran en unidades de kilómetros. Por ende, tu respuesta es 1,278 km (0,794 millas). La respuesta a la pregunta es que debes excavar 1,278 km (0,794 millas) en línea recta hacia abajo hasta el lecho de carbón.
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Método 2

Método 2 de 3:

Usar funciones inversas para calcular ángulos

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   Lee el problema con el ángulo desconocido. También se puede usar la trigonometría para calcular las medidas de los ángulos. Si bien el proceso es similar, el problema te pedirá la medida de un ángulo desconocido.

   • Considera el siguiente problema:
     • En un determinado momento del día, un asta de bandera de 60 metros (200 pies) de alto produce una sombra de 24 metros (80 pies) de largo. ¿Cuál es el ángulo del sol a esta hora del día?
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   Haz un bosquejo de un triángulo rectángulo y etiqueta sus partes. No olvides que los problemas de trigonometría están basados en la geometría de triángulos rectángulos. Haz un bosquejo de un triángulo rectángulo para representar el problema y etiqueta los valores que conozcas y los que no.

   • En el caso del problema del asta de bandera, el cateto vertical es el asta en sí. Etiquétalo con una altura de 60 metros (200 pies). La base horizontal del triángulo representa la longitud de la sombra. Etiqueta la base como "24 metros" (80 pies). En este caso, la hipotenusa no representa ninguna medida física sino la longitud de la parte superior del asta al final de la sombra. Esto te dará el ángulo que quieras encontrar. Marca el ángulo entre la hipotenusa y la base como ángulo $\theta$.
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   Dispón una ecuación trigonométrica. Es necesario que repases las partes del triángulo que conozcas y las que debas encontrar. Esto te servirá para elegir la función trigonométrica adecuada para ayudar a encontrar el valor desconocido.

   • En el caso del asta, conoces la altura vertical y la base horizontal pero no conoces la hipotenusa. La función que emplea la proporción entre los dos catetos es la tangente.
   • Dispón una ecuación para la tangente de la siguiente forma:
     • $\tan \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}$
     • $\tan \theta ={\frac {60}{24}}$
     • $\tan \theta =2,5$
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   Usa la función trigonométrica inversa para encontrar la medida del ángulo. Cuando tienes que encontrar la medida del ángulo en sí, es necesario que uses lo que se conoce como la función trigonométrica inversa. A las funciones inversas se les llama funciones "arco". Son el arcoseno ("arcsin"), el arcocoseno ("arccos") y el arcotangente ("arctan").

   • En una calculadora, estas funciones figuran como $sin^{-1}$, $cos^{-1}$ y $tan^{-1}$. Ingresas el valor y luego presionas el botón adecuado para obtener la medida del ángulo. Algunas calculadoras varían, ya que, en algunos casos, ingresas primero el valor y luego presionas el botón de "arctan" y, en otros, presionas el botón de "arctan" y luego ingresas el valor. Deberás determinar el proceso que funcione para tu calculadora.
     • $\tan \theta =2,5$
     • $\theta =\arctan 2,5$
     • $\theta =68,2$
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   Interpreta el resultado. La unidad del resultado serán los grados, ya que ibas a encontrar la medida de un ángulo. Revisa para ver si la respuesta tiene sentido.

   • Según esta solución, el ángulo entre la Tierra y el sol es de 68,2 grados. Al mediodía, el sol se encuentra directamente encima, lo cual sería un ángulo de 90 grados. Por ende, esta solución parece razonable.
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   Dispón otro problema con un ángulo desconocido. Cada vez que la medida del ángulo sea el factor desconocido, emplearás una función trigonométrica inversa. Por lo general, el procedimiento siempre es el mismo.

   • Lee el problema. Un triángulo rectángulo con catetos de 7,5 y 10 cm (3 y 4 pulgadas) de largo tiene una hipotenusa de 12 cm (5 pulgadas) de largo. ¿Cuál es la medida del ángulo opuesto al cateto de 7,5 cm (3 pulgadas)?
   • Haz un bosquejo del problema. En este caso, el problema tan solo tiene relación con las medidas de un triángulo. Haz un bosquejo de un triángulo rectángulo y etiqueta la información que conozcas. Un cateto mide 7,5 cm, el otro 10 cm y la hipotenusa 12 cm. Para este problema, el ángulo desconocido es el ángulo agudo opuesto al cateto de 7,5 cm (3 pulgadas).
   • Dispón una ecuación trigonométrica. En este caso, debido a que conoces los tres lados del triángulo, en realidad puedes elegir la función. Tienes los datos necesarios para emplear cualquiera de las funciones (seno, coseno o tangente) de la siguiente forma:
     • $\sin \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}$
     • $\cos \theta ={\frac {\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}}$
     • $\tan \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}$
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   Reemplaza los valores que conozcas y encuentra el ángulo desconocido. En este caso, continúa resolviendo con las tres funciones para a la larga darte cuenta de que las tres funciones distintas llegan a la misma conclusión en cuanto al valor del ángulo $\theta$.

   • En primer lugar, dispón una solución con la función $\sin$:
     • $\sin \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}$
     • $\sin \theta ={\frac {7,5}{12}}$
     • $\sin \theta =0,625$
   • Luego, dispón una solución con la función $\cos$:
     • $\cos \theta ={\frac {\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}}$
     • $\cos \theta ={\frac {10}{12}}$
     • $\cos \theta =0,83$
   • Por último, dispón una solución con la función $\tan$:
     • $\tan \theta ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}$
     • $\tan \theta ={\frac {7,5}{10}}$
     • $\tan \theta =0,75$
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   Encuentra los valores de las funciones arco con una calculadora o tabla trigonométrica para encontrar la medida del ángulo.

   • Encuentra la medida con $\arcsin$:
     • $\sin \theta =0,625$
     • $\theta =\arcsin 0,625$
     • $\theta =36,9$
   • Encuentra la medida con $\arccos$:
     • $\cos \theta =0,83$
     • $\theta =\arccos 0,83$
     • $\theta =36,9$
   • Encuentra la medida con $\arctan$:
     • $\tan \theta =0,75$
     • $\theta =\arctan 0,75$
     • $\theta =36,9$
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   Revisa tus resultados. En este problema, pudiste obtener la solución de tres formas distintas debido a que empezaste con un ángulo y las medidas de los tres lados. Cualquiera de ellas por sí sola habría bastado para encontrar la respuesta. Al resolver las tres, observas que la solución es la misma de cualquier forma. En este caso, el ángulo elegido es de 36,9 grados.
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Método 3

Método 3 de 3:

Definir las funciones básicas

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   Comprende la circunferencia goniométrica. La trigonometría se basa en el concepto matemático de la circunferencia goniométrica. Esta constituye un círculo que se dibuja sobre el plano de coordenadas x-y, siendo el centro el punto (0,0) y con un radio de 1. Al hacer que el radio sea igual a 1, puedes medir las funciones trigonométricas directamente.

   • Si visualizas una circunferencia goniométrica, cualquier punto dentro de ese círculo forma un triángulo rectángulo. Desde un punto seleccionado en el círculo, traza una línea vertical directamente hacia el eje x. Luego, desde ese punto en el eje x, traza una línea horizontal para unirla al origen. Estas dos líneas, la vertical y la horizontal, serán los catetos de un triángulo rectángulo. El radio del círculo que conecta el punto en el círculo con el centro en el origen es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
   • Las funciones trigonométricas siguen aplicando para los triángulos y longitudes que no sean 1 pero, al hacer que el radio sea igual a 1, es más directo calcular las proporciones.
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   Aprende la relación del seno. La función del seno constituye la proporción entre el cateto opuesto a un ángulo elegido y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En la circunferencia goniométrica, el seno es una forma de medir la distancia vertical del eje x al punto designado. En otras palabras, es la coordenada en el eje y del punto elegido.

   • El seno de un ángulo suele abreviarse como "sin". El ángulo de medida suele etiquetarse como $\theta$ por convención, por lo que uno dice que mide $\sin \theta$ o $sin(\theta )$.
   • Por ejemplo, en caso de que elijas un ángulo, llamado $\theta$, de 30 grados en el centro de la circunferencia goniométrica, esto marcaría un punto en el círculo cuyas coordenadas serían $({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})$. Luego, puedes decir que $\sin \theta ={\frac {1}{2}}$.
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   Repasa la función del coseno. La función del coseno es la proporción entre el cateto adyacente al ángulo elegido y la hipotenusa del triángulo rectángulo. En la circunferencia goniométrica, el coseno constituye la longitud del cateto horizontal, que también es la coordenada del punto en la circunferencia en el eje x.

   • El coseno de un ángulo se suele abreviar como "cos". Uno dice que mide $\cos \theta$ o $\cos(\theta )$.
   • Por ejemplo, en caso de que elijas un ángulo $\theta$ de 30 grados en el centro de la circunferencia goniométrica, esto marcaría un punto en la circunferencia cuyas coordenadas serían $({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})$. Luego, puedes decir que $\cos \theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.
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   Comprende la función de la tangente. La tercera función trigonométrica común es la tangente. Esta constituye la proporción entre los dos catetos del triángulo rectángulo sin hacer referencia a la hipotenusa. Específicamente, para un ángulo elegido de un triángulo rectángulo, la tangente se encuentra al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo elegido entre el cateto adyacente al ángulo elegido. En la circunferencia goniométrica, la tangente equivale a la coordenada en el eje y dividida entre la coordenada en el eje x.

   • La función de la tangente suele abreviarse como "tan". En el caso de un ángulo elegido $\theta$, uno dice que mide $\tan \theta$ o $\tan(\theta )$.
   • En el caso del ejemplo de un ángulo $\theta$ de 30 grados en el centro de la circunferencia goniométrica, recuerda que las coordenadas son $({\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}})$. Puedes encontrar la tangente si divides el seno (la coordenada en el eje y) entre el coseno (la coordenada en el eje x) de la siguiente forma:
     • $\tan \theta ={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}=0,577$.
     • Observa que, por lo general, reportar el resultado en términos de una fracción con la raíz cuadrada (por ejemplo, ${\frac {\sqrt {3}}{3}}$) se considera más preciso y exacto que redondear a un decimal (por ejemplo, 0,577). Para fines prácticos, podrían ser aceptables tres cifras decimales.
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   Repasa las demás proporciones. Es posible que, de vez en cuando, necesites proporciones alternativas al coseno, el seno y la tangente. Estas funciones alternativas son las inversas de estas tres primeras. Si bien no se usan tan comúnmente en los cálculos básicos, se vuelven esenciales en el trabajo trigonométrico más avanzado. Estas funciones son las siguientes:

   • Secante: se abrevia como "sec" y equivale a ${\frac {1}{cos}}$.
   • Cosecante: se abrevia como "csc" y equivale a ${\frac {1}{sin}}$.
   • Cotangente: se abrevia como "cot" y equivale a ${\frac {1}{tan}}$.
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   Aprende la mnemotécnica SOHCAHTOA. Al tratar de recordar las proporciones de las funciones primarias sin, cos y tan, muchos estudiantes emplean la herramienta de memorización "SOHCAHTOA". Si se la divide en sus partes, brinda las proporciones de la siguiente forma:

   • SOH son las iniciales de seno, opuesto e hipotenusa y trae a la mente la proporción:
     • $\sin ={\frac {\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}}$
   • CAH son las iniciales de coseno, adyacente e hipotenusa de la siguiente forma:
     • $\cos ={\frac {\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}}$
   • TOA son las iniciales de tangente, opuesto y adyacente y representa la proporción:
     • $\tan ={\frac {\text{opuesto}}{\text{adyacente}}}$
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Consejos

• Los valores para el seno y el coseno siempre se encuentran entre -1 y 1. Sin embargo, la tangente puede equivaler a cualquier número. En caso de que obtengas un error en la función trigonométrica inversa, es probable que el valor sea demasiado grande o demasiado pequeño. Revisa la proporción y vuelve a intentarlo. Un error común es invertir los lados en la proporción (por ejemplo, dividir la hipotenusa entre el opuesto para el seno).
• sin^-1 no es igual a la cosecante, cos^-1 no es igual a la secante y tan^-1 no es igual a la cotangente. La primera es la función trigonométrica inversa, lo que significa que, en caso de que ingreses el valor de una proporción, obtendrás el ángulo correspondiente, en tanto que la segunda es la función recíproca, lo que quiere decir que la proporción está invertida.

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