Come Comprendere il Calcolo Infinitesimale

Il calcolo infinitesimale è un ramo della matematica che studia principalmente i concetti di limite, funzione, derivata, integrale e serie infinite. Questa branca costituisce la parte più consistente della matematica e sta alla base di molte equazioni che descrivono i fenomeni fisici e meccanici. Per comprendere completamente il calcolo infinitesimale dovresti seguire un corso universitario, ma questo articolo rappresenta un buon inizio e ti aiuta a districarti fra i concetti importanti e i passaggi tecnici.

Parte 1

Parte 1 di 3:

Ripassare le Basi

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Si tratta di una branca della matematica che osserva i numeri e le linee, che appartengono in genere al mondo reale, e cerca di descrivere il modo in cui cambiano. Sebbene a prima vista possa sembrare un'analisi con poca utilità, il calcolo infinitesimale è invece uno dei rami della matematica più applicati al mondo. Immagina di avere gli strumenti necessari per capire quanto velocemente il tuo volume d'affari aumenti in ogni momento, oppure che ti permettano di tracciare la rotta di una navicella spaziale e capire quanto velocemente questa consumi il carburante. A questo punto è evidente che si tratta di un mezzo fondamentale in ingegneria, economia, statistica, chimica e fisica e che ha permesso la realizzazione di molte invenzioni e scoperte del mondo reale.
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Ricorda che le funzioni sono relazioni fra due numeri e si utilizzano per descrivere dei rapporti numerici nel mondo reale. Si tratta delle regole rispettate da dei numeri fra loro correlati e i matematici le rappresentano con dei grafici. In una funzione, ogni dato inserito porta a un risultato. Per esempio nella funzione y = 2x + 4, per ogni valore assegnato a "x" corrisponde un nuovo valore di "y". Se x = 2, allora y = 8, se x = 10, allora y = 24. Tutti gli studi del calcolo infinitesimale si concentrano sulle funzioni per capire come cambiano, per poi applicarle alle relazioni nel mondo reale.
- Le funzioni spesso sono scritte rispettando questo tipo di notazione: f(x) = x + 3. Questo significa che la funzione, f(x), prevede di sommare il valore 3 a ogni valore di x. Se vuoi assegnare il valore 2 alla variabile x allora devi scrivere: f(2) = 2 + 3 cioè f(2) = 5.
- Tuttavia, le funzioni possono descrivere delle relazioni ben più complesse. La NASA, ad esempio, ha sviluppato funzioni che fanno capire la velocità di un razzo basandosi sulla quantità di carburante consumato, la resistenza del vento e il peso della navicella.
Puoi associarlo alla ripetizione continua e senza fine di un processo. Non si tratta di un luogo specifico (non puoi raggiungere l'infinito), ma piuttosto il comportamento di un numero o di una equazione che viene calcolato continuamente. Questo è un fattore molto importante per studiare il cambiamento: forse vuoi sapere la velocità della tua auto in ogni dato momento; tuttavia, significa che vuoi sapere la velocità di un determinato secondo, di un certo millisecondo o di un nanosecondo? Puoi calcolare la velocità dell'auto per intervalli di tempo infinitamente sempre più piccoli per essere estremamente preciso. Questo è il momento in cui il calcolo infinitesimale ti viene in aiuto.
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Comprendi il concetto di limite. Il limite ti informa di cosa succede quando un processo è in prossimità dell'infinito. Ad esempio, prendi il numero 1 e dividilo per 2. Poi continua a dividere il risultato per 2. Il numero 1 diventerà prima 1/2 poi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 e così via. A ogni passaggio il quoziente è sempre più piccolo "avvicinandosi" allo zero. Ma come finirà? Quante volte devi dividere 1 per 2 per ottenere 0? Nel calcolo infinitesimale, invece di rispondere a questa domanda, imponi un limite. Nel caso di questo esempio il limite è lim=0.
- I limiti sono facilmente visualizzabili su un grafico; ad esempio, ci sono dei punti a cui il grafico si avvicina moltissimo senza mai toccarli?
- I limiti possono essere un numero, zero oppure l'infinito. Ad esempio se procedi con la somma 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... all'infinito, il tuo numero finale sarà infinitamente grande. In questo caso il limite sarebbe l'infinito.
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Ripassa i concetti essenziali di algebra, trigonometria e analisi matematica semplice. Il calcolo infinitesimale si basa su tutte le conoscenze matematiche che hai appreso durante il tuo corso di studio. Se conosci le fondamenta perfettamente, allora sarà molto più semplice imparare e comprendere questo ramo. Ecco alcuni argomenti che dovresti rivedere:
- Algebra. Comprendi i diversi processi e impara a risolvere le equazioni e i sistemi di equazioni con più variabili. Ripassa i concetti base degli insiemi e a tracciare i grafici delle equazioni.
- Geometria. Questa branca della matematica studia le forme geometriche. Ripassa le caratteristiche e le proprietà dei triangoli, rettangoli e cerchi; studia le formule per il calcolo del perimetro e dell'area. Accertati di conoscere gli angoli, le linee e i sistemi di riferimento.
- Trigonometria. Questo ramo della matematica si occupa delle proprietà delle circonferenze e dei triangoli rettangoli. Impara a utilizzare le identità trigonometriche, a manipolare i grafici, le funzioni e quelle trigonometriche inverse.
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Acquista una calcolatrice grafica. È davvero molto difficile comprendere il calcolo infinitesimale senza vedere cosa stai facendo. Le calcolatrici grafiche trasformano le funzioni in grafici e ti aiutano a capire meglio il lavoro che stai svolgendo. Spesso puoi impostare i limiti sullo schermo e calcolare le derivate e le funzioni in modo automatico.
- Molti smartphone e tablet sono dotati di applicazioni economiche ma efficaci, se non vuoi acquistare una calcolatrice specifica.
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Parte 2

Parte 2 di 3:

Comprendere le Derivate

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Impara come il calcolo infinitesimale viene utilizzato per studiare la "variazione istantanea". Lo scopo principale di questo ramo della matematica è quello di capire perché qualcosa sta cambiando in un preciso istante. Ad esempio puoi capire non solo la velocità di una vettura, ma puoi anche analizzare la variazione di velocità in ogni dato momento. Questo è uno degli esempi più semplici in cui si utilizza il calcolo infinitesimale; tuttavia, è estremamente importante: immagina quanto sia utile conoscere questo dato in merito a una navicella spaziale che sta cercando di raggiungere la luna!
- Trovare la variazione istantanea è un processo chiamato derivazione. Il calcolo differenziale è il primo dei due insiemi principali che compongono il calcolo infinitesimale.
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Usa le derivate per comprendere come una funzione cambia in un determinato istante. Il termine "derivata" può essere un po' strano e scatenare qualche ansia. Il concetto che sottende, però, non è difficile da assimilare; in pratica significa "quanto velocemente cambia un dato". La derivata più comune con cui ci confrontiamo ogni giorno è relativa alla velocità. Probabilmente non la chiami "derivata della velocità" bensì "accelerazione".
- L'accelerazione è una derivata che ti dice quanto rapidamente un oggetto sta aumentando o diminuendo la sua velocità, cioè in che modo modifica la sua velocità.
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Impara che la derivata rappresenta anche la pendenza (coefficiente angolare) fra due punti sul grafico. Questa è una delle scoperte chiave del calcolo infinitesimale. La derivata fra due punti corrisponde alla pendenza della retta che li unisce. Pensa a una retta comune, come quella identificata dalla funzione y = 3x. In questo caso il coefficiente angolare è pari a 3, il che significa che al variare di x, y varia di 3 volte. La pendenza corrisponde alla derivata: un coefficiente angolare pari a 3 significa che la retta cambia di 3 volte a ogni variazione di x. Quando x = 2, y = 6; quando x = 3, y = 9.
- Il coefficiente angolare di una retta è pari alla variazione di y divisa per la variazione di x.
- Maggiore è la pendenza e più "verticale" è la retta. In genere si può dire che le rette con un elevato coefficiente angolare variano "più rapidamente".
- Ripassa come trovare il coefficiente angolare di una retta, se non lo ricordi.
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Ricorda che puoi trovare la pendenza anche di una curva. Quando si tratta di linee rette, il calcolo della pendenza è piuttosto semplice: quanto cambia il valore di y al cambiare di x? Nelle equazioni con linee curve, il calcolo si fa più complesso, ad esempio con y = x². Puoi comunque trovare ancora la pendenza fra due punti qualunque, ti basta tracciare la retta che li unisce e calcolarne il coefficiente angolare.
- Per esempio in y = x², puoi scegliere due punti e calcolare la pendenza. Considera i punti con coordinate (1;1) e (2;4). Il coefficiente angolare in questo caso è pari a (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Questo significa che il rapporto di variazione fra x = 1 e x = 2 è 2.
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Per trovare una pendenza ancora più precisa, avvicina fra loro i punti. Minore è la distanza che li separa è più accurato sarà il valore. Supponiamo che tu voglia sapere quanto rapidamente accelera la tua vettura non appena premi sull'acceleratore. Non vuoi conoscere la variazione di velocità che è avvenuta nel tragitto fra la casa e il supermercato, bensì vuoi sapere di quanto è cambiata la velocità nell'istante immediatamente successivo alla tua pressione sul pedale del gas. Più la misurazione si avvicina all'istante che vuoi considerare e più precisa sarà.
- Ad esempio, gli scienziati studiano quanto velocemente si stanno estinguendo alcuni animali nel tentativo di salvarli. Tuttavia, gli animali hanno un tasso di mortalità superiore in inverno rispetto all'estate; quindi studiare la velocità media con cui gli esemplari scompaiono durante l'anno non è un dato utile; gli scienziati hanno bisogno di conoscere il tasso di mortalità in un intervallo più breve — ad esempio, dal primo luglio al primo agosto.
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Trova delle linee infinitamente piccole per trovare la "variazione istantanea", o derivata. Questa è la fase in cui il calcolo infinitesimale può suscitare un po' di confusione, ma in verità è il risultato di due semplici fatti. Per prima cosa sai che il coefficiente angolare di una retta è pari alla velocità con cui cambia. In secondo luogo sai che più sono vicini i due punti considerati e più preciso sarà il dato che otterrai. Ma come è possibile trovare la pendenza in un punto se questa è il rapporto fra le variazioni di due punti? Il calcolo infinitesimale è la tua risposta: scegli due punti infinitamente vicini fra loro.
- Ripensa all'esempio in cui hai cercato di dividere 1 per 2 all'infinito ottenendo: 1/2, 1/4, 1/8 e così via. Alla fine ti avvicinerai molto allo zero e la soluzione potrebbe essere "praticamente zero". In questo caso i due punti sono talmente vicini fra loro da essere "in pratica indistinguibili". Questa è la natura della derivata.
Impara a calcolare i vari tipi di derivata. Ci sono molte tecniche che ti permettono di trovare le derivate e dipendono dal tipo di equazione; tuttavia, la maggior parte di queste non dovrebbe essere un problema, se ricordi i principi di base delle derivate descritti in precedenza. Ricorda che ogni derivata è un modo per trovare la pendenza di una linea "infinitamente piccola". Ora che conosci la teoria, gran parte del lavoro è trovare le soluzioni.
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Trova la derivata delle equazioni per prevedere la variazione in ogni punto. L'utilizzo delle derivate a questo scopo è molto utile, ma la bellezza del calcolo infinitesimale risiede nel fatto che puoi creare nuovi modelli per ogni funzione. La derivata di y = x², ad esempio, è Y^l = 2x. Questo significa che puoi trovare la derivata per ogni punto del grafico y = x² inserendolo nell'equazione della derivata. Al punto con coordinate (2; 4), dove x = 2 e y = 4, la derivata è 4, poiché Y^l = 2*(2).
- Le funzioni derivate, in genere, si indicano con un apice; ad esempio la derivata dell'equazione Y è scritta come Y^l.
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Se hai qualche difficoltà ad afferrare il concetto, prova a ricordare degli esempi tratti dalla vita reale. Quello più semplice lo rilevi dalla velocità, che offre molte derivate diverse in cui ti imbatti ogni giorno. Ricorda che la derivata è la misura di quanto rapidamente qualcosa sta variando. Pensa al semplice esperimento di una biglia che rotola su un tavolo e devi calcolare di quanto si sposta e quanto rapidamente. Ora immagina che la biglia stia tracciando una retta su un grafico, puoi usare le derivate per misurare la variazione istantanea in ogni punto della retta.
- Quanto rapidamente la biglia cambia posizione? Qual è il tasso di variazione, cioè la derivata, del suo movimento? In questo caso la derivata è quella che noi chiamiamo "velocità".
- Fai rotolare la biglia su un piano inclinato e osserva quanto rapidamente acquista velocità. In questo caso che cosa rappresenta la derivata? Possiamo dire che stiamo misurando "l'accelerazione" della biglia.
- Fai rotolare la pallina verso l'alto e verso il basso, su un tracciato simile alle montagne russe. Quanto rapidamente aumenta la sua velocità in discesa e quanto rapidamente la riduce in salita? Qual è la sua velocità quando si trova esattamente a metà della prima salita? Questo è il tasso di variazione istantanea, o derivata, della biglia in uno specifico punto.
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Parte 3

Parte 3 di 3:

Comprendere gli Integrali

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Impara a usare il calcolo infinitesimale per trovare l'area e i volumi di figure complesse. Grazie a questa branca della matematica puoi misurare forme che sarebbero altrimenti troppo complicate. Ad esempio, prova a considerare quanta acqua ci sia in un lago dalla forma allungata e tortuosa; è praticamente impossibile misurare ogni litro d'acqua separatamente o con un righello. Il calcolo infinitesimale ti viene in aiuto perché ti consente di calcolare come cambia il profilo della riva e sfruttare questa informazione per giungere al valore della quantità di acqua contenuta.
- Realizzare dei modelli geografici e studiare il volume viene definito "integrazione" o quadratura. Questo è il secondo insieme principale del calcolo infinitesimale.
Gli integrali ti permettono di calcolare la superficie che si trova al di sotto di ogni linea, quindi di trovare l'area di forme strane e irregolari. Considera l'equazione y = x² il cui grafico assomiglia a una grossa "U". Ad esempio potresti voler trovare l'area della superficie che si trova sotto la U e puoi usare l'integrazione per questo calcolo. Se tutto ciò ti sembra inutile, prova a valutare l'industria manifatturiera: puoi creare una funzione il cui grafico sia simile a un nuovo pezzo che devi produrre e conoscerne l'area ti permette di ordinare i giusti quantitativi di materie prime.
Non puoi integrare un'intera funzione. Ad esempio, y = x è una retta diagonale infinita e non puoi integrarla completamente perché, appunto, è infinita. Quando integri delle funzioni devi stabilire un'area, come quella compresa fra i punti x = 2 e x = 5.
Immagina di avere una retta orizzontale sul grafico, come y = 4. Per trovare l'area che si trova al di sotto, devi selezionare la superficie del rettangolo compreso fra y = 0 e y = 4. L'area della figura che hai definito è semplice da calcolare, ma questo processo non è applicabile con le linee curve che non possono essere trasformate facilmente in rettangoli.
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L'integrazione consiste nel sommare l'area di molti piccoli rettangoli per trovare quella totale. Se ingrandisci moltissimo un segmento curvo, questo apparirà come una linea piana. Ciò accade anche nella vita quotidiana, ad esempio non puoi vedere la curvatura della Terra perché sei troppo vicino alla superficie. L'integrazione crea una serie infinita di piccoli rettangoli sotto la linea curva e sono così piccoli che il lato "curvo" si può considerare piatto, così da procedere facilmente con i calcoli. Somma l'area di tutti questi piccoli rettangoli per trovare la superficie totale.
- Immagina di sommare fra loro moltissime fette sotto il grafico e che la larghezza di ognuna sia prossima allo zero.
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Impara a leggere e a scrivere correttamente gli integrali. Questi sono composti da 4 parti. Ecco il suo aspetto tipico:

∫ f(x) dx
ll primo simbolo, ∫, indica l'integrazione. La seconda parte, f(x), indica la funzione in esame (2x + 2, t² e così via), mentre la sigla dx che trovi alla fine indica la direzione in cui devi misurare.
- Se alla fine dell'integrale trovi la sigla dy al posto di dx, significa che stai misurando in orizzontale, dall'asse delle y; in questo caso si tratta di problemi complessi.
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Impara a calcolare gli integrali. Puoi procedere in diversi modi e dovrai imparare molte formule per integrare tutte le funzioni. Tuttavia, ogni metodo segue i principi descritti in precedenza: con l'integrazione trovi un numero infinito di rettangoli che dovrai sommare fra loro.
- Integrazione per sostituzione;
- Calcolo degli integrali indefiniti;
- Integrazione per parti.
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Sappi che l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione. Questo è un concetto "inamovibile" del calcolo infinitesimale ed è quello che ha permesso di raggiungere molte scoperte scientifiche e tecnologiche. Dato che queste due operazioni sono strettamente correlate, la loro combinazione ti permette di trovare il tasso di variazione, l'accelerazione, la velocità e il movimento, a prescindere dalle informazioni che possiedi.
- Ad esempio, ricorda che la derivata della velocità è l'accelerazione, quindi puoi usare questo dato per trovarla. Tuttavia, se conosci solo l'accelerazione di un corpo (ad esempio di un oggetto che cade per effetto della gravità), puoi procedere all'integrazione e trovare la velocità! Quindi, a prescindere dai dati in tuo possesso, puoi usare gli integrali e le derivate per conoscere più dettagli.
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Ricorda che con gli integrali puoi anche trovare il volume di solidi tridimensionali. Se ruoti una figura piana attorno a un asse puoi creare un solido 3D. Immagina di far ruotare una moneta sul tavolo davanti a te, noterai che si crea una sfera durante il suo movimento. Puoi sfruttare questo concetto per trovare il volume in un processo definito "volume per rotazione".
- In questa maniera puoi trovare il volume di qualunque solido finché hai una funzione che lo può tracciare. Ad esempio puoi trovare una funzione che definisca il fondale di un lago e poi utilizzarla per calcolare il volume del lago stesso, cioè il suo contenuto di acqua.
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Consigli

Chiarisci i tuoi dubbi parlando con l'insegnante.
Inizia studiando i concetti di base.
Presta attenzione durante le lezioni.
La pratica rende perfetti, quindi esercitati risolvendo problemi sul libro di testo e controlla le soluzioni per comprendere meglio i concetti.