Comment comprendre le calcul infinitésimal

Le calcul infinitésimal est une branche des mathématiques qui s'intéresse aux fonctions, à leurs limites, aux dérivées, aux intégrales, aux séries et suites infinies. C'est une partie essentielle des mathématiques, en cela qu'elle intéresse nombre de secteurs, comme la physique ou la mécanique. Le niveau exigé pour suivre cet article est au moins celui de la Terminale, et plus surement de l'université. Cependant, nous essaierons dans cet article de jeter les bases du calcul infinitésimal.

Partie 1

Partie 1 sur 3:

Réviser les bases du calcul infinitésimal

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C'est un domaine qui permet d'étudier, à coup de chiffres, de courbes et d'équations, nombre de phénomènes de la vie courante. Certes, ce genre de calcul peut sembler très abstrait, mais en fait, on peut, par exemple, étudier dans le détail la progression de votre entreprise, ou savoir quelle est la consommation d'un engin spatial à telle ou telle altitude. Le calcul infinitésimal sert beaucoup dans les domaines suivants : ingénierie, économie, statistiques, chimie, physique… Nombre de découvertes importantes ont été permises par ce calcul particulier.
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Une fonction établit une relation entre deux valeurs. Le plus souvent, on essaie, pour résoudre des problèmes, de trouver des fonctions pour décrire le monde qui nous entoure. Comme les fonctions mettent en relation des valeurs, il est possible d'en faire des graphes (courbes). Dans une fonction, tout antécédent a une image. Prenons la fonction : y = 2x +4. Toute nouvelle valeur de « x » (antécédent) donne une nouvelle valeur de « y » (image). Ainsi, si x = 2, alors y = 8, et si x = 10, alors y = 24 ^{[1]XSource de recherche}. Le calcul infinitésimal s'intéresse plus particulièrement aux changements des phénomènes.
- Une fonction s'écrit, par exemple, sous la forme suivante : f(x) = x + 3. En clair, chaque fois que vous remplacerez x par une valeur, vous devrez lui ajouter 3 pour avoir f(x), qu'on appelle aussi « y ». C'est comme cela que : f(2) = 2 + 3 = 5.
- Les fonctions peuvent rendre compte des mouvements complexes. L'Agence Spatiale européenne (ESA) a entré dans ses ordinateurs des milliers de fonctions qui permettent, à titre d'exemple, de calculer la vitesse ou la trajectoire de ses engins spatiaux en fonction de l'altitude, du carburant consommé, de la vitesse du vent, du poids du vaisseau spatial…
C'est un concept un peu difficile à cerner et qui peut, par exemple qualifier un phénomène qui se répète, sans arrêt ou sans limites : quelqu'un n’est-il jamais allé à l'infini ? On peut approcher la notion d'infini en se demandant comment peut évoluer, par exemple, une opération mathématique si on la répète indéfiniment. Vous le pressentez, il y a dans l'infini une notion de changement, et c'est cette modification que le calcul infinitésimal cherche à mettre en évidence. Ainsi, vous pouvez déterminer la vitesse de votre voiture à un instant t, mais qu'en est-il à la seconde suivante ? À la milliseconde suivante ? À la nanoseconde suivante? Vous voyez qu'on touche là à la notion d'infini et à ce stade, on a besoin du calcul infinitésimal.
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Comprenez ce qu'est la limite d'une fonction. La limite indique la valeur vers laquelle tend une fonction. Prenons le chiffre 1 et divisons-le par 2. Répétons cette division à l'infini, on obtiendra 1/2, puis 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. Vous le voyez, le résultat est de plus en plus petit et s'approche de 0. Mais quelle sera la limite ? Combien de fois faudra-t-il diviser pour obtenir 0 ? En calcul infinitésimal, on ne cherche pas à répondre à la question : on dit qu'il y a une limite, et ici, elle est de 0.
- Les limites se voient beaucoup mieux sur un graphe – on voit la courbe se rapprocher d'une valeur sans jamais l'atteindre.
- Une limite peut être une valeur numérique (positive ou négative), + ∞ (plus l'infini), - ∞ (moins l'infini), ou ne pas exister. Ainsi, si vous faites 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +..., vous soupçonnez que la limite sera un grand nombre : la limite est alors + ∞.
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Révisez vos notions d'algèbre, de trigonométrie et de géométrie. Le calcul infinitésimal serait impossible sans maitrise de certaines branches des mathématiques que vous avez surement étudiées au collège ou au lycée. Si vous maitrisez bien ces secteurs, vous aurez beaucoup moins de difficultés à appréhender le calcul infinitésimal. Voici quelques-uns des domaines à revoir absolument.
- L'algèbre : cette branche des mathématiques permet d'appliquer les propriétés des opérations et le traitement des équations, simples ou multiples. Elle s'intéresse aussi aux ensembles,
- La géométrie : cette branche étudie les figures du plan et de l'espace. Révisez les propriétés de certaines figures, comme les triangles, les carrés, les cercles… Vous devez savoir calculer leurs aires, leurs périmètres… Vous devez avoir une bonne connaissance de ce que sont les angles, les droites, les coordonnées.
- La trigonométrie : c'est une branche des mathématiques qui s'intéresse aux propriétés des cercles et des triangles rectangles. Vous devez maitriser parfaitement les identités trigonométriques, les courbes, les fonctions trigonométriques (simples comme inverses).
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Achetez une calculatrice graphique. Le calcul infinitésimal est très abstrait, c'est pourquoi il faut essayer de visualiser les résultats qu'on obtient par ce calcul. Avec les calculatrices graphiques, il est possible de voir les graphes des fonctions et finalement, de mieux comprendre ce qui se passe. Ces machines affichent les limites de la fonction, mais aussi les dérivées et les primitives.
- Si vous ne voulez pas investir dans une vraie calculatrice, sachez qu'il existe des applications pour ordiphones ou tablettes à des couts modiques, ce qui ne veut pas dire qu'elles sont moins fiables que les calculatrices.
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Partie 2

Partie 2 sur 3:

Comprendre les dérivées

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Le calcul infinitésimal sert à l'étude de la « variation instantanée ». Savoir pourquoi quelque chose se modifie à un moment précis, telle est la raison d'être du calcul infinitésimal. Ainsi, le calcul infinitésimal s'intéresse moins, pour prendre un exemple, à la vitesse d'une voiture qu'aux variations de vitesse qu'elle peut connaitre à tel ou tel moment de son parcours. Cela peut paraitre sans intérêt au premier abord, mais imaginez ce que cette connaissance pourrait avoir comme impact pour calculer la consommation de carburant de millions de véhicules. Imaginez cela pour un engin spatial qui connait de nombreuses variations de poussées ^{[2]XSource de recherche} !
- Trouver la variation instantanée est rendu possible par la dérivation. C'est une des deux grandes composantes du calcul infinitésimal.
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Avec les dérivées, on peut analyser les variations instantanées. Le mot « dérivée » résonne comme quelque chose d'inquiétant : on dérive ! Mais il n'en est rien, au contraire, dériver une fonction permet de savoir « comment quelque chose varie ». Partant, le terme « dérivée » implique souvent une idée de vitesse, qui entraine donc un changement, une variation. Au lieu de parler de « dérivée de la vitesse », on parle plus couramment « d'accélération », notion que tout le monde connait.
- L'accélération est une dérivée, elle représente la variation de la vitesse, à la baisse comme à la hausse, d'un mouvement en fonction du temps.
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Le taux de variation s'appelle la pente. Elle se mesure entre deux points d'une trajectoire et s'obtient grâce au calcul infinitésimal. La variation entre deux points est la pente de la droite les reliant. Prenons la droite linéaire définie par la fonction : y = 3x. Sa pente (on dit aussi son « coefficient directeur ») est de 3, ce qui signifie qu'à chaque nouvelle valeur de x, y est multiplié par 3. Les termes de pente et de taux de variation sont interchangeables : la droite monte d'une force 3 pour chaque valeur de x. Ainsi, quand x = 2, y = 6, et quand x = 3, y = 9.
- La pente correspond donc au rapport entre la variation de y et la variation correspondante de x.
- Plus forte est la pente, plus raide est la courbe. Une courbe très inclinée est synonyme de variation importante du phénomène.
- Si nécessaire, lisez cet article pour vous rappeler le mode de calcul d'une pente.
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Il est possible de calculer des pentes sur n'importe quelle courbe. Trouver la pente d'une ligne droite est simple : de combien augmente y à chaque modification de x ? Qu'en est-il pour une courbe complexe comme celle de la fonction y = x² ? C'est un peu plus difficile, car la courbe n'est pas linéaire. Cependant, il est possible de calculer la pente entre deux points de cette courbe : il suffit de tracer un segment de droite entre ces deux points avant d'en calculer la pente, ce qui vous donnera le taux de variation.
- Ainsi, avec y = x², il suffit de trouver deux points de la droite et on pourra calculer sa pente. Prenons les points (1,1) et (2,4). La pente est égale à : (4 - 1) / (2 - 1) = 4/2 = 2. Cela signifie que le taux de variation entre x = 1 et x = 2 est de 2.
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Pour des taux de variation précis, prenez deux points rapprochés. Plus vos points seront rapprochés, plus précise sera votre analyse. Admettons que vous vouliez connaitre l'accélération de votre voiture quand vous enfoncez la pédale d'accélérateur. Ce n'est pas la même chose que savoir la différence de vitesse entre votre maison et l'épicerie du coin : vous voulez, par exemple, connaitre la différence de vitesse une seconde après avoir appuyé sur la pédale. Plus votre intervalle de temps de référence sera court, plus fine sera votre analyse.
- Prenons un autre exemple : des scientifiques étudient la disparition de certaines espèces animales au cours de l'année, le but étant de trouver une parade. On sait, par exemple, qu'ils meurent beaucoup plus en hiver qu'en été. Vous comprenez bien que si on veut porter secours à ces animaux, il faudra étudier le rythme des pertes non pas sur l'année, mais bien durant l'hiver, par exemple, pendant le mois de janvier.
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Imaginez un très grand nombre de petits segments. C'est grâce à eux que vous allez trouver le « taux de variation instantané », appelé aussi « dérivée ». C'est un peu difficile à concevoir, mais retenez deux principes : la pente entre deux points donne un taux de variation, et plus vos points sont rapprochés, meilleure est la mesure de ce taux. Cependant, comment peut-on calculer le taux de variation en un seul point si la pente met en relation, par nature, deux points ? En calcul infinitésimal, il y a une réponse : prenez les deux points les plus proches possible de ce point.
- Reprenons l'exemple dans lequel on divisait 1 par 2, puis par 2 à nouveau, etc. On obtenait successivement 1/2, 1/4, 1/8, etc. Vous le pressentez, on va approcher de 0, la réponse sera donc : « pratiquement zéro ». Les points se rapprochent de plus en plus, tellement même, qu'à un moment donné, ils seront tellement proches qu'on pourra parler de taux instantané. C'est ce que fait la dérivée : elle va chercher la valeur la plus précise possible.
Selon les fonctions, il faudra utiliser telle ou telle formule de dérivation. Toutes, cependant, obéissent aux mêmes principes énoncés précédemment. Quelle que soit la dérivée, elle permet d'obtenir la pente du « plus petit segment possible » de la courbe. En voilà assez pour la théorie, place aux calculs !
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Déterminez la dérivée pour calculer le taux de variation. Elle vous permettra de le calculer en n'importe quel point. Certes, les dérivées sont utiles pour trouver le taux de variation en un point, mais avec le calcul infinitésimal, ce qu'il y a de bien, c'est qu'on peut créer un modèle pour chaque fonction. À titre d'exemple, la dérivée de y = x² est y^' = 2x. Comme vous le voyez, chaque fois que vous prendrez une valeur de x, vous pourrez calculer la dérivée en ce point. Ce dernier est bien entendu sur la courbe. Le calcul est simple, vous remplacez x dans la fonction dérivée par sa valeur. Ainsi, au point (2, 4), avec x = 2 et y = 4, la dérivée est 4, puisque y^' = 2 x 2.
- Les dérivées sont repérées par un signe en exposant : la dérivée de y est : y^' (lire « y prime »).
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Pensez à des exemples de la vie quotidienne. Si vous avez du mal à comprendre le principe de la dérivée, songez à un exemple concret dans lequel une vitesse est impliquée. Nous vous rappelons que la dérivée mesure la vitesse instantanée de variation d'une grandeur. Prenons comme exemple celui classique d'une bille qu'on lâcherait en haut d'un plan incliné. Notre objectif est de savoir, à n'importe quel moment de sa course, la distance qu'elle aura parcourue et la vitesse qu'elle aura alors atteinte. On posera que la course de la bille le long du plan incliné est une droite linéaire. C'est grâce à la dérivée qu'on pourra calculer la variation instantanée en n'importe quel point, de la trajectoire de la bille ici.
- À quelle vitesse la bille change-t-elle de position? Quel est le taux de variation, ou dérivée, du mouvement de la bille ? Cette dérivée est tout bonnement la « vitesse ».
- On lâche sans vitesse initiale une bille sur un plan incliné et on cherche à savoir comment elle prend de la vitesse. C'est cette différence de vitesse entre deux points qu'on veut connaitre, c'est un taux de variation, c'est la dérivée. On appelle ce phénomène « l'accélération ».
- Imaginons maintenant que cette même bille suit un parcours type «montagnes russes ». Nous cherchons à savoir comment cette bille prend de la vitesse dans les descentes et comment elle en perd dans les montées. On peut, par exemple, se demander à quelle vitesse elle se déplace à mi-parcours de la première montée. Sa vitesse sera la dérivée de la fonction de la trajectoire en ce point très précis.
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Partie 3

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Comprendre les intégrales

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Le calcul infinitésimal sert à calculer des surfaces et des volumes irréguliers. Sans lui, il serait extrêmement long et compliqué de calculer ces surfaces et ces volumes. Et encore, les résultats ne seraient que des approximations ! Imaginez que vous vouliez calculer le volume d'eau d'un grand lac aux contours irréguliers. Il est impossible d'établir ce volume à l'aide d'un seau ou même d'un contenant plus grand, tout comme il est tout aussi impossible d'en mesurer la surface. Grâce au calcul infinitésimal et en fonction des modifications des rives du lac, on peut calculer le volume du plan d'eau.
- C'est avec des intégrations multiples qu'ont été établis, par exemple, des modèles (météorologiques, volcaniques…). L'intégration est la seconde composante du calcul infinitésimal.
Cette opération permet donc de mesurer l'espace situé sous une courbe, que cette dernière soit rectiligne ou non. Prenons la fonction f(x) = x². Son graphe est une parabole en forme de « U » qui s'évase vers le haut. Admettons que vous vouliez calculer l'aire entre la courbe et l'axe des « x »,et ce, dans un intervalle donné : c'est possible grâce aux intégrales. Bon ! Cela peut paraitre sans intérêt au premier abord, mais appliquée à l'industrie ou aux BTP, imaginez une pièce dont on aurait tracé un des contours à l'aide d'une fonction. L'industriel pourrait alors, grâce à l'intégration, commander la quantité exacte de matériau dont il aura besoin pour fabriquer ses pièces.
Il n'est pas possible d'intégrer une fonction sur l'ensemble de son domaine de définition. Ainsi, la fonction y = x donne un graphe infini, la diagonale qui partage en deux les quadrants supérieurs droit et inférieur gauche. Vous comprenez bien que vous ne pouvez pas intégrer sur l'ensemble de la courbe. C'est pourquoi on choisit toujours d'intégrer sur un intervalle (qu'on écrit généralement « I »), par exemple, entre x = 2 et x = 5.
Prenons la droite horizontale d'équation : y = 4. Pour trouver une aire située sous cette droite, il faut la limiter. On prendra, par exemple, l'aire comprise entre x = 0 et x = 4. En précisant l'intervalle des « x », ce calcul sera simple, car il n'y a que des lignes droites. Mais avec un graphe irrégulier, le calcul devient beaucoup plus difficile : on n'a plus de rectangle.
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L'intégration consiste à additionner les aires de minuscules rectangles. Expliquons-nous. Si vous zoomez fortement sur un segment d'une courbe irrégulière, vous finirez par ne voir qu'un segment de droite, bien rectiligne. Cette illusion est très fréquente : la courbure de la terre n'est pas visible quand on marche sur le sol. Si on en revient à l'intégration, c'est une opération qui mesure un nombre infini de petits rectangles situés sous la courbe. Ils sont tellement petits qu'ils apparaissent sans volume. Par contre, en les additionnant tous, on obtient l'aire sous la courbe.
- C'est comme si vous empiliez sous le graphe un très grand nombre de petits rectangles dont les aires étaient pratiquement égales à 0, mais pas égales.
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Sachez décrypter la formulation de l'intégrale. Une intégrale comprend 4 éléments et se présente sous la forme :

∫ f(x) dx
Le premier symbole, ∫, est celui de l'intégration. Le deuxième élément, f(x), est la fonction concernée (2x + 2, t², etc.), tandis que le troisième élément, dx, indique la direction de l'intégration. Il ne manque que l'intervalle d'intégration qui est le quatrième élément.
- Si l'intégrale est suivie de dy, et non de dx comme habituellement, c'est qu'il faut intégrer par rapport à y : c'est un peu plus compliqué.
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Sachez résoudre des intégrales. Selon les fonctions, l'intégration passe par des formules différentes. Cependant, l'objectif est le même comme cela a été vu : l'intégration consiste à trouver l'aire totale de tous les rectangles possibles situés sous la courbe. Pour faire simple, on peut :
- intégrer par substitution,
- intégrer dans les intégrales indéfinies,
- intégrer par parties.
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L'intégration est l'inverse de la dérivation. C'est une réalité intangible, et c'est d'ailleurs ce qui est à l'origine de nombreuses avancées scientifiques. Les deux opérations sont si étroitement imbriquées qu'on peut calculer des taux de variation, des accélérations, des vitesses, des localisations, des mouvements… et ce quelles que soient les données dont vous disposez au départ.
- Ainsi, on a vu que l'accélération était la dérivée de la vitesse. En sens inverse, grâce à l'intégration de l'accélération, on va retrouver la vitesse. Si vous connaissez l'accélération (par exemple, celle d'un objet qui tomberait en chute libre sous l'action de la pesanteur), en intégrant, vous trouverez sa vitesse. Que ce soit pour l'intégration ou pour la dérivation, une seule donnée suffit pour avoir d'autres données.
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Grâce à l'intégration, on peut calculer des volumes. Un volume peut, par exemple, être obtenu par rotation d'un objet à deux dimensions sur lui-même. Imaginez que vous fassiez tourner une pièce sur elle-même à grande vitesse : elle vous apparait comme formant un volume, une sorte de sphère. Partant de cette expérience, vous touchez du doigt ce qu'on appelle un « volume engendré par rotation ».
- Si vous arrivez à déterminer une fonction qui rend un des côtés de votre volume, vous arriverez sans problème à calculer son volume. Ainsi, il est possible d'imaginer d'avoir une fonction qui détermine le profil du fond d'un lac. Partant de cette fonction, on peut, en intégrant, en déduire le volume du lac.
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Conseils

Si vous ne comprenez pas tel ou tel aspect, demandez l'aide de votre professeur.
Commencez par le début.
Soyez attentif en cours.
Faites des exercices. C'est en pratiquant qu'on s'améliore. Exercez-vous sur des exercices corrigés. Vous les trouverez dans votre manuel de cours et sur Internet.