Come Calcolare le Probabilità nel Lancio dei Dadi

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Enumerazione

Recursione

Funzioni generatrici

Approssimazione continua

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Riferimenti

Molti pensano che tirando 3 normali dadi a 6 facce si abbia la stessa probabilità di ottenere un tre o un dieci. Non è così, tuttavia, e quest’articolo ti mostrerà come calcolare la deviazione media di un insieme di dadi.

Impara la terminologia della meccanica dei dadi. I dadi hanno solitamente 6 facce, ma esistono anche d2 (monete), d4 (piramidi a 3 facce), d8 (ottaedro), d10 (decaedro), d12 (Dodecaedro) e d20 (Icosaedro). Il lancio dei dadi segue la formula (numero di dadi) (tipo di dado), perciò 2d6 rappresenterebbe il lancio di 2 dadi a 6 facce. In quest’articolo, alcune formule presupporranno che n = numero di dadi identici e r = numero di lati di ciascun lato, numerati da 1 a r, e 'k' è il valore della combinazione. Ci sono vari metodi per calcolare l’approssimazione di ogni somma.

Passaggi

Metodo 1

Metodo 1 di 4:

Enumerazione

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   Nota il numero di dadi, i loro lati e la somma desiderata.
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   Enumera tutti i modi per ottenere la somma. Può essere noioso in caso ci siano molti dadi, ma è abbastanza lineare. È come cercare tutte le partizioni di k in n parti, di cui nessuna maggiore di r. Un esempio per n=5, r=6 e k=12 è mostrato in seguito. Per assicurarsi che il conteggio sia esaustivo e non ci siano doppioni, le partizioni sono presentate in ordine lessicografico e i dadi di ciascuna partizione in ordine crescente.
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   Non tutte le partizioni elencate nel passaggio precedente sono ugualmente probabili. Questo perché devono essere elencate, non solo contate. In un esempio più piccolo a 3 dadi, la partizione 123 copre 6 possibilità (123, 132, 213, 231, 312, 321) mentre la partizione 114 ne copre solo 3 (114, 141, 411) e 222 include solo se stessa. Usa la formula multinomiale per calcolare il numero di versioni possibili per ciascuna partizione.
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   Somma il numero totale di modi per ottenere il numero in questione.
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   Dividi per il numero totale di risultati. Poiché ogni dado ha r facce ugualmente probabili, è semplicemente rⁿ.
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Metodo 2

Metodo 2 di 4:

Recursione

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Questo metodo dà la probabilità di ogni somma per ogni numero totale di dadi. Può essere usato facilmente in un foglio di calcolo.

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   Nota le probabilità dei risultati di un dado singolo. Registrale in un foglio di calcolo. L’esempio mostrato usa dadi a 6 facce. Le righe vuote per somme negative sono trattate come zeri e consentono di usare la stessa formula in ogni riga.
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   Nella colonna dei 2 dadi, usa la formula mostrata. Ovvero, la probabilità che 2 dadi diano qualsiasi somma k equivale alla somma dei seguenti eventi. Per valori molto alti o molto bassi di k, alcuni o tutti questi termini potrebbero essere 0, ma la formula è valida per ogni valore di k.

   • Il primo dado mostra k-1 e il secondo mostra 1.
   • Il primo dado mostra k-2 e il secondo mostra 2.
   • Il primo dado mostra k-3 e il secondo mostra 3.
   • Il primo dado mostra k-4 e il secondo mostra 4.
   • Il primo dado mostra k-5 e il secondo mostra 5.
   • Il primo dado mostra k-6 e il secondo mostra 6.
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   Similmente, per 3 o più dadi, vale ancora la stessa formula, usando le probabilità ora note per ciascuna somma data su un dado in meno. Perciò, la formula inserita nel secondo passaggio può essere usata sia verticalmente che orizzontalmente, fino al completamento della tabella.
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   Convertire il “numero di modi” e la “probabilità” è semplice: probabilità = numero di modi / r^n in cui r è il numero di lati in ciascun dado e n è il numero di dadi.
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Metodo 3

Metodo 3 di 4:

Funzioni generatrici

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   Scrivi il polinomio (1/r)(x + x² + x^r). Questa è la funzione generatrice per un singolo dado. Il coefficiente del termine x^k è la probabilità che il dado mostri k.
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   Eleva il polinomiale alla potenza di n^th per ottenere la funzione generatrice corrispondente per la somma mostrata su n dadi. Ovvero il calcolo (1/rⁿ)(x + x² + x^r)ⁿ. Se n è maggiore di circa 2, sarà probabilmente il caso di usare un computer.
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   Per quanto riguarda i calcoli, questo metodo equivale al precedente, ma talvolta i risultati teorici sono più facili da ottenere con una funzione generatrice. Per esempio, il lancio di 2 dadi normali a 6 facce ha la stessa identica distribuzione di somme di un dado (1, 2, 2, 3, 3, 4) e un altro in forma (1, 3, 4, 5, 6, 8). Questo è perché (x+x² +x²+x³+x³+x⁴)(x+x³ +x⁴+x⁵+x⁶+x⁸) = (x+x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶)(x+x² +x³+x⁴+x⁵+x⁶).
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Metodo 4

Metodo 4 di 4:

Approssimazione continua

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   Per una moltitudine di dadi, il calcolo esatto seguendo i metodi precedenti può essere complicato. Il teorema del limite centrale afferma che la somma di un numero di dadi uguali si avvicina a una distribuzione normale con l’aumento del numero di dadi.
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   Calcola la variazione media e standard basata sul numero e il tipo di dadi. Posti n dadi numerati da 1 a r, si applicano le seguenti formule.

   • La media è (r+1)/2.
   • La variazione è n(r^2-1)/12.
   • La deviazione standard è la radice quadrata della variazione.
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   Usa la distribuzione normale con la media e la deviazione standard di cui sopra come approssimazione della somma dei dadi.
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Avvertenze

• L’uso di più tipi di dadi complica questi metodi. In questo caso, il modo più rapido per determinare la probabilità è solitamente l’enumerazione di tutti i possibili risultati per poi disporli in ordine crescente in base alle somme.

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