कैसे एबेकस (Abacus) का इस्तेमाल करें

एबेकस (abacus) (जिसका सबसे उपयोगी प्रकार सुयानपन है), गणना करने का एक बहुत ही सरल टूल (tool) है जिसका इस्तेमाल अभी भी दुनिया भर में किया जाता है। यह दृष्टिहीनों के लिए और उन सभी के लिए जो आधुनिक कंप्यूटर की रूट्स (roots) के बारे में जानना चाहते हैं, सीखने की एक बहुत ही उपयोगी डिवाइस (device) है। गिनने की बेसिक जानकारी लेने के बाद आप शीघ्रता से जोड़ने, घटाने, गुणा और भाग जैसी गणित कर सकते हैं।

विधि 1

विधि 1 का 4:

गिनना

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सबसे ऊपर वाली पंक्ति के प्रत्येक कॉलम (column) में एक या दो बीड्स (beads) होनी चाहिए, जबकि प्रत्येक कॉलम की सबसे नीचे वाली पंक्ति में चार बीड्स होने चाहिए। जब आप शुरू करेंगे, तब ऊपर वाली पंक्ति में सभी बीड्स ऊपर होने चाहिए, और नीचे वाली में सभी बीड्स नीचे होने चाहिए। ऊपर वाली पंक्ति के प्रत्येक बीड की वैल्यू (value) 5 होगी जबकि नीचे वाली पंक्ति के प्रत्येक बीड की वैल्यू 1 होगी।^{[१]Xरिसर्च सोर्स}
2
प्रत्येक कॉलम को एक प्लेस (place) वैल्यू दीजिये: जैसा आधुनिक कैलकुलेटर (calculator) में होता है, बीड्स का प्रत्येक कॉलम एक "प्लेस" वैल्यू दिखाता है जिससे कि आप संख्या बनाते हैं। तो, सबसे दाईं ओर वाला कॉलम होगा "वन्स (ones)" प्लेस (1-9), उसके बाईं ओर वाला होगा "टेन्स (tens)" प्लेस (10-99), और तीसरा होगा हंड्रेड्स (hundreds) (100-999), वगैरह।^{[२]Xरिसर्च सोर्स}
- अगर ज़रूरत समझिए, तो कुछ कॉलमों को आप दशमलव प्लेसेज़ (places) के लिए भी असाइन (assign) कर सकते हैं।
- जैसे कि, यदि आपको संख्या 10.5 दिखानी हो तब सबसे दायाँ कॉलम होगा टेन्थ्स (tenths) प्लेस (दशमलव के बाद का पहला स्थान), दूसरा कॉलम होगा वन्स प्लेस, और तीसरा होगा टेन्स प्लेस।
- उसी तरह संख्या 10.25 दिखाने के लिए, सबसे दाईं ओर होगी हंड्रेड्थ (hundredth) प्लेस, दूसरा कॉलम होगा टेन्थ्स प्लेस, तीसरा होगा वन्स प्लेस और चौथा होगा टेन्स प्लेस।
3
बीड्स को नीचे की पंक्ति से गिनना शुरू करिए: किसी अंक की गिनती के लिए, एक बीड को "ऊपर" की पोज़ीशन (position) में डालिए। एक बीड को सबसे नीचे वाली पंक्ति के सबसे दाहिनी ओर के कॉलम से "ऊपर" की पोज़ीशन में ले जाने से "एक" दिखेगा, और दो को खिसकाने से, "दो" दिखेगा, वगैरह।^{[३]Xरिसर्च सोर्स}
- आपके लिए ऊपर वाली पंक्ति की बीड्स को अँगूठे से खिसकाना सबसे आसान रहेगा, और नीचे वाली पंक्ति की बीड्स को इंडेक्स फिंगर (index finger) से।
चूंकि नीचे वाली पंक्ति में केवल चार बीड्स हैं, इसलिए "चार" से "पाँच" पर जाने के लिए, आप सबसे ऊपर वाली पंक्ति की बीड को "नीचे" वाली पोज़ीशन पर लाएँगे और नीचे वाली पंक्ति की चारों बीड्स को नीचे लाएँगे। इस पोज़ीशन को एबेकस पर "पाँच" पढ़ना सही होगा। "छह" के लिए, सबसे नीचे की पंक्ति से एक बीड को ऊपर खिसकाइए। तो ऊपर वाली पंक्ति में एक बीड नीचे होगी (जिससे 5 वैल्यू दिख रही है) और सबसे निचली पंक्ति की एक बीड ऊपर होगी।^{[४]Xरिसर्च सोर्स}
5
बड़ी संख्याओं के लिए यही पैटर्न (pattern) दोहराइए: एबेकस में प्रक्रिया आम तौर पर यही रहेगी। "नौ", जहां पर वन्स की जगह की सारी बीड्स ऊपर खिसकी हुई होती हैं और ऊपर वाली पंक्ति की एक बीड नीचे होती है, से आगे "दस" पर जाने के लिए, जहां टेन्स के स्थान से एक बीड ऊपर खिसकाई जाती है, (जबकि वन्स के स्थान वाली सभी बीड्स को वापस अपनी शुरुआत वाली पोज़ीशन "0" पर ले आया जाता है)।
- जैसे कि 11 के लिए पहले और दूसरे कॉलम की एक एक बीड को ऊपर खिसकाया जाएगा, और सबसे नीचे वाली पंक्ति में सभी को। बारह के लिए दूसरे कॉलम में दो और पहले कॉलम में एक बीड ऊपर होगी, तथा नीचे वाली पंक्ति में सभी, ऊपर को खिसकायी गई होंगी।
- दो सौ छब्बीस के लिए सबसे निचली पंक्ति के दूसरे और तीसरे कॉलम में दो ऊपर को खिसकाई गई होंगी। पहले कॉलम में सबसे निचली पंक्ति से एक बीड ऊपर खिसकी होगी और और सबसे ऊपर की पंक्ति की एक बीड नीचे को खिसकी होगी।

विधि 2

विधि 2 का 4:

जोड़ना और घटाना

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मान लीजिये कि आपको 1234 और 5678 को जोड़ना हो। सबसे पहले एबेकस में 1234 को एंटर (enter) करिए। जिसके लिए वन्स की जगह पर चार बीड्स ऊपर ले जाइए, टेन्स की जगह पर तीन, हंड्रेड्स की जगह दो और थाउजेंड्स (thousands) की जगह एक को ऊपर ले जाइए।^{[५]Xरिसर्च सोर्स}
सबसे पहले आप थाउजेंड्स के अंकों 1 और 5 को जोड़ेंगे, और इस मामले में 5 जोड़ने के लिए उस कॉलम की सबसे ऊपर वाली पंक्ति से एक बीड नीचे लाएँगे जबकि नीचे वाली बीड नीचे अपनी ही जगह पर छोड़ दी जाएगी। उसी तरह। हंड्रेड्स की जगह पर 6 जोड़ने के लिए हंड्रेड्स की जगह पर सबसे ऊपर वाली बीड को नीचे खिसकाएंगे और नीचे वाली पंक्ति की एक बीड को ऊपर खिसकाएंगे जिससे योग 8 हो जाएगा।
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एक्सचेंज को पूरा करिए: चूंकि टेन्स की जगह पर दो अंकों को जोड़ने से योग 10 हो जाएगा, आप 1 को हंड्रेड्स की जगह पर कैरी ओवर (carry over) करेंगे, जिससे उस कॉलम में 9 हो जाएगा। फिर टेन्स की जगह पर सभी बीड्स को नीचे खिसका दीजिये जिससे वहाँ शून्य हो जाएगा।
- वन्स कॉलम में भी, वैसी ही बात होगी। आठ और चार को जोड़ने से 12 आता है, इसलिए आप एक को टेन्स की जगह कैरी ओवर करेंगे, जिससे वह 1 हो जाएगा जिसके कारण वन्स की जगह 2 बचेगा।
आपके पास थाउजेंड्स के कॉलम में 6 है, हंड्रेड्स में 9। टेन्स में 1 और वन्स में 2: 1,234 + 5,678 = 6,912।
5
जोड़ने की प्रक्रिया का उल्टा करके घटाइए: पिछले कॉलम से अंकों को कैरी ओवर करने की जगह पर बॉरो (borrow) करिए। मान लीजिये कि आप 932 में से 867 घटा रहे हैं। एबेकस में 932 एंटर करने के बाद, बाएँ से शुरू करके कॉलम दर कॉलम घटाना शुरू कर दीजिये।
- नौ में से आठ घटाने से मिलेगा एक, इसलिए आप हंड्रेड्स की जगह पर एक बीड छोड़ देंगे।
- टेन्स की जगह पर, आप 3 में से 6 को नहीं घटा सकते, इसलिए आप हंड्रेड्स की जगह से 1 बॉरो करेंगे (जहां अब शून्य बचेगा) और 13 में से 6 घटायेंगे, जिससे टेन्स की जगह पर 7 रह जाएगा (ऊपर वाली एक बीड ऊपर रहेगी और दो नीचे वाली बीड्स बचेंगी)।
- वही काम वन्स की जगह पर करिए, टेन्स की जगह से एक बीड "बॉरो" कर लीजिये (जिससे वहाँ पर 6 हो जाएगा) तथा 2 में से 7 घटाने की जगह पर, आप 12 में से 7 घटायेंगे।
- वन्स कॉलम में 5 बचना चाहिए: 932 - 867 = 65

विधि 3

विधि 3 का 4:

गुणा करना

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1
एबेकस पर समस्या को रिकॉर्ड (record) करिए: एबेकस के सबसे बाएँ कॉलम से शुरुआत करिए। मान लीजिए कि आपको 34 और 12 का गुणा करना है। आपको "3", "4", "X", "1", "2", और "=" के लिए कॉलम असाइन (assign) करने हैं और बाकी कॉलम प्रोडक्ट (product) के लिए छोड़ने हैं।^{[६]Xरिसर्च सोर्स}
- “X” और “=” खाली कॉलमों से दिखाये जाएँगे।
- एबेकस के सबसे बाएँ कॉलम में 3 बीड्स ऊपर होनी चाहिए, उसके दाईं ओर वाले में 4 बीड्स ऊपर होनी चाहिए, फिर एक खाली कॉलम, उसके बाद वाले में एक बीड ऊपर और उसके बाद वाले में दो बीड्स ऊपर तथा उसके बाद एक खाली कॉलम। शेष कॉलम खुले रहने चाहिए।
2
कॉलमों को आल्टर्नेट करके (alternating) गुणा करिए: यहाँ पर क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। यहाँ आपको ब्रेक के बाद पहले कॉलम को पहले कॉलम से गुणा करना होगा, फिर ब्रेक के बाद पहले कॉलम को दूसरे कॉलम से गुणा करना होगा। फिर, आपको ब्रेक से पहले दूसरे कॉलम को, ब्रेक के बाद पहले कॉलम से गुणा करना होगा, उसके बाद ब्रेक से पहले दूसरे कॉलम को ब्रेक के बाद दूसरे कॉलम से गुणा करना होगा।^{[७]Xरिसर्च सोर्स}
- अगर आप बड़ी संख्याओं को गुणा कर रहे हों, तब भी यही पैटर्न बनाए रखिए: सबसे बाएँ अंक से शुरु करिए, और दाईं ओर आगे बढ़िए।
3
प्रोडक्ट को सही क्रम में रिकॉर्ड करिए: “=” वाले खाली कॉलम के बाद अपना उत्तर रिकॉर्ड करना शुरू करिए। जैसे-जैसे आप अंकों को गुणा करते जाएँगे आप बीड्स को एबेकस के दाईं ओर खिसकाते जाएँगे। जैसे कि 34 x 12 के लिए:^{[८]Xरिसर्च सोर्स}
- पहले 3 और 1 को गुणा करिए, और उनके प्रोडक्ट को पहले उत्तर वाले कॉलम में रिकॉर्ड करिए। उस सातवें कॉलम में तीन बीड्स को ऊपर खिसका दीजिये।
- उसके बाद 3 और 2 का गुणा करिए और उनके प्रोडक्ट को आठवें कॉलम में रिकॉर्ड करिए। ऊपर वाले सेक्शन में एक बीड को नीचे खिसकाइए और नीचे वाले में एक बीड को ऊपर।
- जब आप 4 और 1 का गुणा करेंगे, तब उस प्रोडक्ट (4) को आठवें कॉलम, अर्थात उत्तर वाले दूसरे कॉलम में जोड़ दीजिये। चूंकि आप उस कॉलम में 4 को 6 में जोड़ रहे हैं, उत्तर वाले पहले कॉलम में एक बीड कैरी करिए, जिससे सातवें कॉलम में 4 हो जाएगा (सबसे निचले सेक्शन से चार बीड्स को केंद्रीय बार की ओर ऊपर खिसकाया जाएगा) और आठवें में 0 (सभी बीड्स अपनी शुरुआत वाली पोज़ीशन में रहेंगी: ऊपर के सेक्शन की बीड्स ऊपर को खिसकी रहेंगी, और नीचे वाली नीचे खिसकी रहेंगी)।
- अंतिम दो अंकों 4 और 2 के प्रोडक्ट को उत्तर वाले अंतिम कॉलम में रिकॉर्ड करिए। अब उसको ऐसा दिखना चाहिए 4, खाली, और 8, जिसका अर्थ होगा कि आपका उत्तर है 408।

विधि 4

विधि 4 का 4:

भाग देना

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1
डिवीज़र (divisor) तथा डिविडेंड (dividend) के दाईं ओर अपने उत्तर के लिए जगह छोड़ दीजिये: जब आप एबेकस पर भाग दे रहे हों तब डिवीज़र को सबसे बाएँ कॉलम(मों) में रखा जाएगा। उसके दाईं ओर दो खाली कॉलम छोड़ दीजिये, फिर डिविडेंड उसके बाद वाले कॉलमों में रखिए। उसके दाईं ओर के बचे हुये कॉलम उत्तर संबंधी काम के लिए रखे जाएँगे। अभी उन्हें खाली छोड़ दीजिये।^{[९]Xरिसर्च सोर्स}
- जैसे कि, 34 को 2 से भाग देने के लिए, सबसे बाएँ कॉलम में 2 रखिए, फिर दो कॉलम खाली छोड़ दीजिये, उसके बाद उसके दाईं ओर 34 रखिए। अन्य कॉलमों को उत्तर के लिए खाली छोड़ दीजिये।
- ऐसा करने के लिए सबसे बाएँ कॉलम में, नीचे वाली दो बीड्स को ऊपर खिसकाइए। उसके बाद दो कॉलमों को खाली छोड़ दीजिये। चौथे कॉलम में तीन बीड्स को नीचे से ऊपर खिसकाइए। बाएँ से पांचवें कॉलम में, चार बीड्स को नीचे से ऊपर खिसका दीजिये।
- डिवीज़र और डिविडेंड के बीच में खाली कॉलम केवल इसलिए हैं कि संख्याओं को अलग-अलग देखा जा सके और आप एक को दूसरा समझ कर उलझ न जाएँ।
2
कोशिएंट (quotient) को रिकॉर्ड करिए: डिविडेंड के पहले अंक (3) को डिवीज़र (2) से भाग दीजिये, और उसे उत्तर सेक्शन के पहले खाली कॉलम में रखिए। दो, तीन में एक बार जाएगा, इसलिए वहाँ 1 रिकॉर्ड करिए।
- इसके लिए, उत्तर सेक्शन के पहले कॉलम में नीचे वाले भाग से एक बीड ऊपर खिसका दीजिए।
- अगर आप चाहें तो डिविडेंड तथा उत्तर वाले सेक्शन के कॉलमों के बीच एक कॉलम छोड़ सकते हैं। इससे आपको डिविडेंड तथा गणना के काम में अंतर करने में आसानी होगी।
3
रिमेंडर (remainder) निकालिए: इसके बाद, आपको रिमेंडर निकालने के लिए उत्तर सेक्शन के पहले कॉलम के कोशिएंट (1) को कॉलम एक के डिविडेंड (2) से गुणा करना होगा। इस प्रोडक्ट (2) को डिविडेंड के पहले कॉलम से घटाना होगा। अब डिविडेंड 14 दिखना चाहिए।
- ताकि डिविडेंड को 14 पढ़ा जा सके, पांचवें कॉलम में नीचे वाले हिस्से की दो बीड्स, जो अभी केंद्रीय बार की ओर उठा दी गईं थीं, को नीचे खिसका कर उनकी शुरुआत वाली पोज़ीशन पर लाना होगा। पांचवें कॉलम में नीचे वाले हिस्से में केवल एक बीड को केंद्रीय बार की ओर ऊपर खिसका हुआ होना चाहिए।
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प्रक्रिया दोहराइए: प्रोडक्ट को डिविडेंड में से घटा कर (यहाँ पर उसे समाप्त करके), कोशिएंट के अगले अंक को उत्तर सेक्शन के अगले खाली कॉलम में रिकॉर्ड करिए। आपके बोर्ड पर अब होना चाहिए 2, उसके बाद दो खाली कॉलम, उसके बाद 1,7, जिसे यह प्रदर्शित होगा कि आपका डिवीज़र और कोशिएंट है, 17।
- सबसे बाएँ कॉलम के निचले भाग से दो बीड्स को केंद्रीय बार की ओर ऊपर खिसकाया जाएगा।
- इसके बाद कई खाली कॉलम होंगे।
- उत्तर सेक्शन के पहले कॉलम के निचले भाग से एक बीड को केंद्रीय बार की ओर ऊपर खिसकाया जाएगा।
- उत्तर सेक्शन के अगले कॉलम में, निचले सेक्शन से दो बीड्स को केंद्रीय बार की ओर ऊपर खिसकायेंगे तथा ऊपर के हिस्से में एक बीड को नीचे लाएँगे।