Comment calculer des intérêts

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Calculer un intérêt simple

Calculer un intérêt composé

Calculer un intérêt en composition continue

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Résumé de l'article

Beaucoup de personnes ont une vague notion de ce qu'est un intérêt accolé à un prêt d'argent, mais plus rares sont celles qui savent le calculer. L'intérêt est en quelque sorte la rémunération pour une somme d'argent prêtée ou confiée à une banque. En fait, il existe trois sortes d'intérêt : le simple, facile à calculer et qui est accolé à des prêts de courte durée, le prêt composé, plus complexe à calculer, mais plus rémunérateur pour le prêteur, et enfin, l'intérêt continu, le plus rémunérateur et principalement utilisé par les banques pour calculer leurs prêts hypothécaires. Pour calculer ces différents intérêts, vous avez besoin du même genre d'informations, simplement les formules sont différentes.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer un intérêt simple

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   Déterminez le capital. Le capital est une somme d'argent qui a été placée sur laquelle vont courir des intérêts. Ce capital peut être une somme que vous déposez à la banque pour la faire fructifier dans un compte d'épargne ou l'achat d'obligations. Le taux d'intérêt est fixe et votre capital vous rapporte chaque année une certaine somme, laquelle est fonction du capital et du taux. À l'inverse, si vous empruntez, vous paierez des intérêts à celui qui vous a prêté l'argent.

   • Que ce soit dans le cadre d'un placement ou d'un emprunt, la formule de calcul des intérêts à verser comporte toujours la variable C, comme Capital .
   • Supposons que vous vouliez prêter à un ami la somme de 2 000 € : ce nombre est le montant du capital.
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   Déterminez le taux d'intérêt. Pour pouvoir calculer des intérêts, outre le capital, vous devez connaitre le taux auquel l'argent est placé ou prêté : c'est ce qu'on appelle le taux d'intérêt. Ce dernier est toujours fixé à l'avance après accord entre les deux parties et généralement notifié dans le contrat de placement .

   • Vous avez donc prêté à votre ami la somme de 2 000 € pour une durée de 6 mois. Vous avez, par exemple, convenu que cet argent était prêté au taux unique de 1,5 % pour toute la période. Votre ami rendra le même jour le capital et les intérêts. Tout pourcentage peut être transformé en un nombre décimal, il suffit de le diviser par 100 :
     • 1,5 % ÷ 100 = 0,015
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   Tenez compte de la durée du prêt. La durée du prêt est la période pendant laquelle une personne rembourse son prêt. Si les hypothèques sont généralement limitées dans le temps, il n'en va pas de même pour les prêts classiques avec les banques ou les privés qui fixent de gré à gré la durée de remboursement.

   • La durée et le taux du prêt doivent être cohérents, c'est-à-dire qu'ils auront les mêmes unités logiques. Ainsi, si le taux d'intérêt est spécifié comme étant annuel, la durée devra aussi être donnée en années. Si vous empruntez, par exemple, sur 6 mois à un taux annuel de 3 %, le nombre à prendre en compte pour la durée est de 0,5.
   • Prenons un autre exemple. Si vous empruntez pour 6 mois à un taux mensuel de 1 % par mois, la durée de remboursement qu'il faut prendre en compte est 6.
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   Calculez le montant des intérêts. Le montant des intérêts ($I$) s'obtient en multipliant le capital ($C$) par le taux d'intérêt ($i$) et par la durée du prêt ($n$). La formule de calcul est assez simple.

   • $I=C\times i\times n$
   • Reprenons l'exemple du prêt à un ami. Le capital ($C$) est de 2 000 €, le taux d'intérêt ($i$), de 0,015 et la durée ($n$), de six mois. Dans l'exemple pris, le prêt est stipulé avec un taux unique, ce qui fait que $n=1$. Le montant des intérêts ($I$) se présente comme suit :
     • $I=C\times i\times n=(2\ 000)(0,015)(1)=30$. Votre ami devra vous verser au bout de six mois 30 € d'intérêts.
   • Si vous voulez connaitre le capital acquis au bout du temps n ($C_{n}$), constitué du capital de départ auquel viennent s'ajouter les intérêts, servez-vous de la formule : $C_{n}=C(1+(i\times n))$. Avec notre exemple, cela donne les calculs suivants :
     • $C_{n}=C(1+(i\times n))$
     • $C_{6m}=2\ 000(1+(0,015\times 1))=2\ 000(1+(0,015)$
     • $C_{6m}=2\ 000(1,015)$
     • $C_{6m}=2\ 030$
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   Exercez-vous sur un autre cas. Admettons que vous ayez décidé de placer la somme de 5 000 € sur un compte d'épargne rémunéré au taux annuel de 3 %. Au bout de trois mois, vous avez besoin d'argent et vous voulez savoir combien il y a sur ce compte, intérêts compris.

   • $C_{n}=C(1+(i\times n))$
   • $C_{3m}=5\ 000(1+(0,03\times 0,25))=5\ 000(1+(0,0075))$
   • $C_{3m}=5\ 000(1,0075)$
   • $C_{3m}=5\ 037,5$
   • En trois mois, votre capital vous a rapporté 37,50 €.
   • Vous aurez noté que n = 0,25, puisque vous n'avez laissé votre capital que trois mois, soit un quart de l'année (1/4 ou 0,25).
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Calculer un intérêt composé

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   Comprenez bien ce qu'est un intérêt composé. Un capital produit des intérêts composés si, à la fin de chaque période de placement, les intérêts de ladite période sont ajoutés au capital pour produire d'autres intérêts. Admettons que vous placiez 100 € à un taux annuel de 5 %. Au bout d'un an, vous avez gagné 5 €, qui, si vous les laissez placés avec le capital départ, vous rapporteront au bout de la deuxième année 5 % de 105 €. Au bout d'un certain nombre d'années, un tel intérêt rapporte un bénéfice intéressant .

   • La formule de calcul de l'intérêt composé se présente comme suit :
     • $C_{n}=C(1+{\frac {i}{p}})^{pn}$
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   Connaissez le capital de départ (C). Comme dans le cas précédent, tout commence avec la somme de départ : le capital. Que vous ayez emprunté ou placé une certaine somme, le calcul est de toute façon le même. Le plus souvent, le capital est identifié par la lettre $C$ (pour Capital ).
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   Prenez le bon taux d'intérêt. Il est toujours fixé au moment de la transaction et le calcul des intérêts oblige à le présenter sous forme décimale. Le taux en pourcentage doit donc être transformé et pour cela, divisez le pourcentage par 100, ce qui revient à déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche. Le taux d'intérêt doit être fonction de la nature de la durée : le taux est annuel si la durée est en années. Le taux d'intérêt est conventionnellement noté $i$ .

   • Prenons l'exemple d'une carte de crédit dont le taux d'intérêt annuel est de 15 %. Mais, comme les intérêts sont calculés le plus souvent tous les mois, vous devez connaitre le taux mensuel. En ce cas, divisez le taux annuel par 12 pour obtenir un taux mensuel, ici de 1,25 %. Ces deux taux, 15 % annuels ou 1,25 % mensuel sont strictement équivalents.
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   Connaissez la périodicité des intérêts. Cette périodicité est celle au bout de laquelle les intérêts de la période précédente sont ajoutés au capital restant. Avec certains placements, les intérêts sont ajoutés une seule fois par an, pour d'autres, c'est chaque mois ou chaque trimestre. Pour le calcul d'un intérêt composé, vous devez connaitre cette périodicité .

   • Si les intérêts sont versés annuellement (une seule fois dans l'année), alors p = 1.
   • Si les intérêts sont versés trimestriellement (quatre fois dans l'année), alors p = 4.
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   Connaissez la durée du prêt. C'est la période durant laquelle le capital produit des intérêts. Assez souvent, cette durée de prêt ou de placement est annuelle. Si la durée est exprimée en mois et non pas en années, vous devez convertir cette durée en années .

   • Si vous voyez un prêt sur un an, alors $n=1$, mais s'il est sur 18 mois, alors $n=1,5$.
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   Sachez bien ce que vous cherchez à calculer. Supposons que vous placiez 5 000 € sur un compte d'épargne qui rapporte 5 % par mois. Quelle somme allez-vous avoir au bout de trois ans  ?

   • Pour trouver la somme finale, vous avez besoin d'un certain nombre de valeurs. Dans le cas présenté, vous avez :
     • $C=5\ 000$ (capital)
     • $i=0,05$ (taux d'intérêt)
     • $p=12$ (périodicité)
     • $n=3$ (durée)
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   Calculez l'intérêt composé avec la formule. Vous savez ce que vous cherchez (la somme finale) et vous avez toutes les autres données. Entrez ces dernières dans la formule et faites les calculs.

   • Reprenons le cas évoqué plus haut. Les calculs sont les suivants :
     • $C_{n}=C(1+{\frac {i}{p}})^{pn}$ (formule théorique)
     • $C_{3}=5\ 000(1+{\frac {0,05}{12}})^{12\times 3}$
     • $C_{3}=5\ 000(1+0,00417)^{36}$
     • $C_{3}=5\ 000(1,00417)^{36}$
     • $C_{3}=5\ 000(1,1616)$
     • $C_{3}=5\ 808$
   • En résumé, au bout de trois ans de placement d'une somme de 5 000 € à 5 %, vous avez sur votre compte 5 808 €, à savoir 5 000 € de capital et 808 € d'intérêts.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer un intérêt en composition continue

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   Comprenez ce qu'est un intérêt en composition continue. On l'a vu, placer un capital à intérêt composé rapporte plus chaque fois que les intérêts sont versés, puisque le capital de référence s'en trouve augmenté. Si ces derniers sont versés trimestriellement, votre capital rapportera plus que s'ils sont versés annuellement, et s'ils sont versés mensuellement, ils rapporteront plus que trimestriellement. Si les intérêts étaient versés en continu, par exemple, chaque seconde, vous gagneriez énormément… mais cela n'existe pas  !

   • Des mathématiciens ont réussi à mettre en formule (et elle est simple !) le calcul d'un capital qui serait placé avec un taux continu, les intérêts venant gonfler en flux continu le capital déjà placé et augmenté de précédents intérêts. Cette formule de calcul de l'intérêt en composition continue est la suivante :
     • $C_{n}=Ce^{in}$
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   Ayez les bonnes données. Comme pour les autres formules vues plus haut, vous avez besoin de certaines données pour calculer cette rémunération particulière d'un capital. Ces données sont dans leur ensemble assez semblables aux précédentes .

   • L'élément $C_{n}$ représente la somme au bout de n années de placement avec un intérêt continu.
   • L'élément $C$ est le capital de départ.
   • L'élément $e$ qui semble être une variable n'en est pas une, puisqu'il s'agit d'une constante, appelée constante d'Euler du nom de Léonard Euler, mathématicien suisse qui en a déterminé la valeur.
     • Sur les calculatrices scientifiques, vous avez une touche qui donne cette valeur, c'est $e^{x}$. Si vous entrez la valeur 1 et que vous appuyez sur cette touche, vous obtenez en fait $e^{1}=e$, et vous voyez apparaitre sa valeur, soit environ 2,718.
   • L'élément $i$ est le taux d'intérêt annuel.
   • L'élément $n$ est la durée du prêt, libellée en années.
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   Identifiez les données du prêt. Les banques utilisent ce genre de taux pour fixer les taux de leurs prêts immobiliers hypothécaires. Partons d'un emprunt de 200 000 € à un taux continu de 4,2 % pendant 30 ans. Les valeurs à utiliser sont alors les suivantes  :

   • $C=200\ 000$,
   • $e$ n'est toujours pas une variable, mais bien une constante valant environ 2,718,
   • $i={\frac {4,2}{100}}=0,042$,
   • $n=30$.
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   Calculez le montant théorique de l'hypothèque. Entrez vos valeurs dans la formule de calcul et vous obtiendrez la somme que vous devriez réellement verser sur ces 30 ans .

   • $C_{n}=Ce^{in}$
   • $C_{30}=200\ 000\times 2,718^{(0,042)(30)}$
   • $C_{30}=200\ 000\times 2,718^{1,26}$
   • $C_{30}=200\ 000\times 3,525$
   • $C_{30}=705\ 000$
   • Si l'emprunt n'est jamais remboursé, voyez la somme mirobolante dont vous devrez vous acquitter pour lever l'hypothèque.
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