Die Masse einer Kugel berechnen

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In diesem Artikel:

Das Volumen einer Kugel finden

Die Masse mit dem Volumen ausrechnen

Eine Beispielaufgabe lösen

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Literaturhinweise

Einfach ausgedrückt ist eine Kugel ein dreidimensionaler runder Ball. Um die Masse einer Kugel zu berechnen, musst du die Größe (das Volumen) der Kugel und ihre Dichte kennen. Du kannst das Volumen mit Hilfe des Radius, des Umfangs oder des Durchmessers der Kugel berechnen. Du kannst die Kugel auch unter Wasser tauchen, um ihr Volumen durch die Wasserverdrängung herauszufinden. Wenn du das Volumen kennst, kannst du es mit der Dichte multiplizieren, um die Masse herauszufinden.

Vorgehensweise

Teil 1

Teil 1 von 3:

Das Volumen einer Kugel finden

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   Rufe dir die Formel für das Volumen einer Kugel ins Gedächtnis. Eine Kugel ist ein dreidimensionaler runder Körper. Die primäre Formel für das Volumen einer Kugel ist:

   • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
     • $\pi =3,14$
     • $r={\text{Radius}}$
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   Finde das Volumen einer Kugel, wenn du den Radius kennst. Der Radius einer Kugel ist das Maß vom Mittelpunkt der Kugel zum äußeren Rand. Wenn dir die Aufgabe gestellt wird, das Volumen zu berechnen, wird man vermutlich den Radius angeben. Anderenfalls kann der Radius schwer zu messen sein, weil du den Mittelpunkt eines Festkörpers nicht genau erreichen kannst.

   • Nehmen wir an, dir wird gesagt, dass eine Kugel mit einem Radius von 10 cm existiert. Finde das Volumen auf diese Weise:
     • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
     • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}*(3,14)*10^{3}$
     • ${\text{Volumen}}=4,18667*1000$
     • ${\text{Volumen}}=4186,67{\text{cm}}^{3}$
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   Finde das Volumen, wenn man dir den Durchmesser nennt. Alternativ könnte dir der Durchmesser einer Kugel gegeben werden. Der Durchmesser entspricht dem Doppelten des Radius. Genauer gesagt ist der Durchmesser der Abstand, der von einem Rand der Kugel durch die Mitte zum entgegengesetzten Rand reicht. Um das Volumen ausgehend von einem Durchmesser (d) zu berechnen, änderst du die Formel folgendermaßen ab:

   • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}$
   • Als Beispiel für diese Berechnung sollst du das Volumen einer Kugel finden, deren Durchmesser 10 cm ist.
     • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}$
     • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {10}{2}})^{3}$
     • ${\text{Volume}}={\frac {4}{3}}*(3,14)*(5^{3})$
     • ${\text{Volume}}=4,18667*125$
     • ${\text{Volume}}=523,3{\text{cm}}^{3}$
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   Überarbeite die Formel, wenn du den Umfang kennst. Der Umfang einer Kugel ist wahrscheinlich das Leichteste, um es direkt zu messen. Du kannst ein Maßband verwenden, es vorsichtig um den breitesten Teil der Kugel wickeln und die Maße nehmen. Alternativ könnte dir der Umfang in einer Aufgabe gegeben sein. Um das Volumen ausgehend von dem Umfang (U) zu finden, überarbeitest du die Formel folgendermaßen:

   • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
   • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}\pi *({\frac {U}{2\pi }})^{3}$
   • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}\pi *({\frac {U^{3}}{8\pi ^{3}}})$
   • ${\text{Volumen}}={\frac {U^{3}}{6\pi ^{2}}}$
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   Berechne das Volumen, wenn du den Umfang kennst. Nehmen wir an, dir wird eine Kugel gegeben und du misst den Umfang auf 32 cm. Finde ihr Volumen heraus:

   • ${\text{Volumen}}={\frac {U^{3}}{6\pi ^{2}}}$
   • ${\text{Volumen}}={\frac {32^{3}}{6*3,14^{2}}}$
   • ${\text{Volumen}}={\frac {32.768}{59,158}}$
   • ${\text{Volumen}}=553,9{\text{cm}}^{3}$
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   Miss das Volumen durch die Wasserverdrängung. Eine letzte praktische Methode, um das Volumen zu messen, ist die Kugel unter Wasser zu tauchen. Du wirst einen Behälter brauchen, der groß genug ist, um die Kugel aufzunehmen, und mit präzisen Markierungen für das Volumenmaß.

   • Schütte genug Wasser in den Behälter, um die Kugel zu bedecken. Notiere dir das Maß.
   • Lege die Kugel ins Wasser. Beachte, dass der Wasserspiegel ansteigt. Notiere dir das neue Maß.
   • Subtrahiere das erste Maß von dem zweiten. Das Ergebnis ist das Volumen der Kugel.
     • Nehmen wir zum Beispiel an, das Wasser steigt von 100 ml auf 625 ml an, wenn du die Kugel eintauchst. Das Volumen ist daher 525 ml. Beachte dass 1 ml = 1 cm³ ist.
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Teil 2

Teil 2 von 3:

Die Masse mit dem Volumen ausrechnen

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   Finde die Dichte. Um mit dem Volumen die Masse zu berechnen, musst du die Dichte des Gegenstandes kennen. Verschiedene Materialien haben verschiedene Dichten. Denke zum Beispiel an eine Kugel aus Styropor und vergleiche ihr Gewicht mit einer Kugel derselben Größe aus Eisen. Eisen hat eine viel größere Dichte und wird daher eine größere Masse haben.

   • Du kannst die Dichte vieler Feststoffe finden, indem du dir Tabellen der Dichten im Internet, in Lehrbüchern oder in anderen Industriekatalogen ansiehst.
   • Hier sind zum Beispiel die verzeichneten Dichten einiger Feststoffe:
     • Aluminium = 2700 kg/m³
     • Butter = 870 kg/m³
     • Blei = 11.350 kg/m³
     • Flachpressplatten = 190 kg/m³
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   Rechne die Einheiten bei Bedarf um. Die Einheiten, die du beim berechnen des Volumens verwendet hast, müssen mit den Volumeneinheiten in der Dichtemessung übereinstimmen. Wenn nicht, dann musst du sie umrechnen.

   • Alle Beispiele im vorherigen Abschnitt ergaben Volumen in Kubikzentimetern. Die zitierte Tabelle gibt Dichten in Kubikmetern an. Weil ein Meter 100 Zentimeter hat, gibt es 10⁶ Kubikzentimeter in einem Kubikmeter. Teile die angegebenen Dichten durch 10⁶, um die Dichte in Einheiten von kg/cm³ anzugeben. (Das macht man am einfachsten, indem man das Dezimalkomma um 6 Stellen nach links verschiebt.)
   • Bei den vier Beispielmaterialien lauten die umgerechneten Dichten so:
     • Aluminum = 2700 kg/m³ = 0,0027 kg/cm³
     • Butter = 870 kg/m³ = 0,00087 kg/cm³
     • Blei = 11.350 kg/m³ = 0,01135 kg/cm³
     • Flachpressplatten = 190 kg/m³ = 0,00019 kg/cm³
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   Multipliziere das Volumen mit der Dichte, um die Masse zu ermitteln. Erinnere dich daran, dass die Formel für die Dichte ${\text{Dichte}}={\frac {\text{Masse}}{\text{Volumen}}}$ lautet. Wenn man sie umstellt, um die Masse zu erhalten, wird die Gleichung zu ${\text{Dichte}}*{\text{Volumen}}={\text{Masse}}$.

   • Finde unter Verwendung der vier Beispielmaterialien Aluminium, Butter, Blei und Flachpressplatten die Masse einer Kugel mit einem Volumen von 500 cm³.
     • ${\text{Aluminium}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,0027{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=1,35{\text{ kg}}$
     • ${\text{Butter}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,00087{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=0,435{\text{ kg}}$
     • ${\text{Blei}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,01135{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=5,675{\text{ kg}}$
     • ${\text{Flachpressplatten}}:500{\text{ cm}}^{3}*0,00019{\frac {\text{kg}}{{\text{cm}}^{3}}}=0,095{\text{ kg}}$
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Teil 3

Teil 3 von 3:

Eine Beispielaufgabe lösen

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   Lies die Aufgabe sorgfältig durch. Wenn du Aufgaben zur Berechnung der Masse beantwortest, musst du die ganze Aufgabe sorgfältig lesen. Beim Lesen kann es nützlich sein, die gegebenen Informationen hervorzuheben. Lies die ganze Aufgabe sorgfältig, um zu sehen, was du gebeten wirst zu lösen. Betrachte zum Beispiel folgende Aufgabe:

   • Eine große Kugel aus Massivmessing hat einen Durchmesser von 1,2 m. Finde die Masse der Kugel.
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   Bestimme die bekannten und die unbekannten Informationen. Beim sorgfältigen Durchlesen der Aufgabe solltest du erkennen, dass der Durchmesser angegeben ist, du wirst also die angepasste Formel verwenden:

   • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}$
   • Du solltest auch beachten, dass die Kugel aus Messing gemacht ist. Du wirst die Dichte von Messing online in einer Tabelle für Dichten nachschlagen müssen.
     • Auf der Webseite EngineeringToolbox.com findest du, dass die Dichte von Messing 8480 kg/m³ ist. Weil der Durchmesser der Kugel in Metern angegeben ist, wird das Volumen in Kubikmetern berechnet werden, du musst die Dichte also nicht umrechnen.
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   Berechne das Volumen. Um das Volumen zu berechnen, schreibst du die richtige Formel auf, setzt die bekannten Informationen ein und führst die Berechnungen folgendermaßen aus:

   • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {d}{2}})^{3}$
   • ${\text{Volumen}}={\frac {4}{3}}\pi ({\frac {1.2}{2}})^{3}$
   • ${\text{Volumen}}=4,18667*0,6^{3}$
   • ${\text{Volumen}}=4,18667*0,216$
   • ${\text{Volumen}}=0,90432{\text{ m}}^{3}$
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   Verwende die Dichte, um die Masse zu berechnen. Erinnere dich daran, dass ${\text{Masse}}={\text{Dichte}}*{\text{Volumen}}$ ist. Setze die Werte, die du kennst, ein, um die Masse zu ermitteln:

   • ${\text{Masse}}={\text{Dichte}}*{\text{Volumen}}$
   • ${\text{Masse}}=8480{\frac {\text{ kg}}{{\text{ m}}^{3}}}*0,90432{\text{ m}}^{3}$
   • ${\text{Masse}}=7668,6{\text{ kg}}$
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Tipps

• Ein vorausgesetztes Detail ist, dass die Dichte der Kugel durchgehend einheitlich ist. In den meisten Mathe- und Physikaufgaben geht man davon aus. Es ist jedoch möglich, dass eine Kugel einen Kern aus einem Material und eine Oberfläche aus einem anderen haben könnte.

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